MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matrng Structured version   Unicode version

Theorem matrng 18442
Description: Existence of the matrix ring, see also the statement "For a given integer n > 0 the set of square n x n matrices form a ring." in [Lang] p. 504. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
matassa.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
Assertion
Ref Expression
matrng  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )

Proof of Theorem matrng
Dummy variables  a 
b  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 matassa.a . . 3  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 eqid 2451 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
31, 2matbas2 18433 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  =  ( Base `  A
) )
4 eqidd 2452 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( +g  `  A )  =  ( +g  `  A
) )
5 eqid 2451 . . 3  |-  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
61, 5matmulr 18424 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( .r `  A ) )
71matlmod 18441 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  LMod )
8 lmodgrp 17063 . . 3  |-  ( A  e.  LMod  ->  A  e. 
Grp )
97, 8syl 16 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Grp )
10 simp1r 1013 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )  ->  R  e.  Ring )
11 simp1l 1012 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )  ->  N  e.  Fin )
12 simp2 989 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )  ->  x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
13 simp3 990 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )  ->  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
142, 10, 5, 11, 11, 11, 12, 13mamucl 18412 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )  ->  ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y )  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) ) )
15 simplr 754 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  R  e.  Ring )
16 simpll 753 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  N  e.  Fin )
17 simpr1 994 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
18 simpr2 995 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
19 simpr3 996 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
202, 15, 16, 16, 16, 16, 17, 18, 19, 5, 5, 5, 5mamuass 18417 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( (
x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y ) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  =  ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( y ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
21 eqid 2451 . . . 4  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
222, 15, 5, 16, 16, 16, 21, 17, 18, 19mamudir 18419 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( x
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( y  oF ( +g  `  R
) z ) )  =  ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y )  oF ( +g  `  R
) ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
233adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  =  (
Base `  A )
)
2418, 23eleqtrd 2541 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  y  e.  ( Base `  A )
)
2519, 23eleqtrd 2541 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  z  e.  ( Base `  A )
)
26 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
27 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( +g  `  A )  =  ( +g  `  A )
281, 26, 27, 21matplusg2 18439 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( Base `  A )  /\  z  e.  ( Base `  A
) )  ->  (
y ( +g  `  A
) z )  =  ( y  oF ( +g  `  R
) z ) )
2924, 25, 28syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( y
( +g  `  A ) z )  =  ( y  oF ( +g  `  R ) z ) )
3029oveq2d 6208 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( x
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( y ( +g  `  A ) z ) )  =  ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( y  oF ( +g  `  R
) z ) ) )
312, 15, 5, 16, 16, 16, 17, 18mamucl 18412 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( x
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
3231, 23eleqtrd 2541 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( x
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y )  e.  (
Base `  A )
)
332, 15, 5, 16, 16, 16, 17, 19mamucl 18412 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( x
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
3433, 23eleqtrd 2541 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( x
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  e.  (
Base `  A )
)
351, 26, 27, 21matplusg2 18439 . . . 4  |-  ( ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y )  e.  ( Base `  A
)  /\  ( x
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  e.  (
Base `  A )
)  ->  ( (
x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y ) ( +g  `  A ) ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) )  =  ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y )  oF ( +g  `  R ) ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
3632, 34, 35syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( (
x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y ) ( +g  `  A ) ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) )  =  ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y )  oF ( +g  `  R ) ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
3722, 30, 363eqtr4d 2502 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( x
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( y ( +g  `  A ) z ) )  =  ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) y ) ( +g  `  A ) ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
382, 15, 5, 16, 16, 16, 21, 17, 18, 19mamudi 18418 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( (
x  oF ( +g  `  R ) y ) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  =  ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  oF ( +g  `  R
) ( y ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
3917, 23eleqtrd 2541 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  x  e.  ( Base `  A )
)
401, 26, 27, 21matplusg2 18439 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( Base `  A )  /\  y  e.  ( Base `  A
) )  ->  (
x ( +g  `  A
) y )  =  ( x  oF ( +g  `  R
) y ) )
4139, 24, 40syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( x
( +g  `  A ) y )  =  ( x  oF ( +g  `  R ) y ) )
4241oveq1d 6207 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  A
) y ) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  =  ( ( x  oF ( +g  `  R ) y ) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) )
432, 15, 5, 16, 16, 16, 18, 19mamucl 18412 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( y
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
4443, 23eleqtrd 2541 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( y
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  e.  (
Base `  A )
)
451, 26, 27, 21matplusg2 18439 . . . 4  |-  ( ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  e.  ( Base `  A
)  /\  ( y
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  e.  (
Base `  A )
)  ->  ( (
x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ( +g  `  A ) ( y ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) )  =  ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  oF ( +g  `  R ) ( y ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
4634, 44, 45syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( (
x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ( +g  `  A ) ( y ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) )  =  ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  oF ( +g  `  R ) ( y ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
4738, 42, 463eqtr4d 2502 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  /\  y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) )  /\  z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) ) )  ->  ( (
x ( +g  `  A
) y ) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z )  =  ( ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ( +g  `  A ) ( y ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) z ) ) )
48 simpr 461 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  e.  Ring )
49 eqid 2451 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
50 eqid 2451 . . 3  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
51 eqid 2451 . . 3  |-  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  b ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  =  ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  b ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )
52 simpl 457 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  N  e.  Fin )
532, 48, 49, 50, 51, 52mamudiagcl 18413 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  b ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
54 simplr 754 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) ) )  ->  R  e.  Ring )
55 simpll 753 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) ) )  ->  N  e.  Fin )
56 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) ) )  ->  x  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) ) )
572, 54, 49, 50, 51, 55, 55, 5, 56mamulid 18415 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) ) )  -> 
( ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  b ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) x )  =  x )
582, 54, 49, 50, 51, 55, 55, 5, 56mamurid 18416 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N
) ) )  -> 
( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( a  e.  N ,  b  e.  N  |->  if ( a  =  b ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) )  =  x )
593, 4, 6, 9, 14, 20, 37, 47, 53, 57, 58isrngd 16787 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   ifcif 3891   <.cotp 3985    X. cxp 4938   ` cfv 5518  (class class class)co 6192    |-> cmpt2 6194    oFcof 6420    ^m cmap 7316   Fincfn 7412   Basecbs 14278   +g cplusg 14342   0gc0g 14482   Grpcgrp 15514   1rcur 16710   Ringcrg 16753   LModclmod 17056   maMul cmmul 18390   Mat cmat 18391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-ot 3986  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-seq 11910  df-hash 12207  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-ip 14360  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-hom 14366  df-cco 14367  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-prds 14490  df-pws 14492  df-mre 14628  df-mrc 14629  df-acs 14631  df-mnd 15519  df-mhm 15568  df-submnd 15569  df-grp 15649  df-minusg 15650  df-sbg 15651  df-mulg 15652  df-subg 15782  df-ghm 15849  df-cntz 15939  df-cmn 16385  df-abl 16386  df-mgp 16699  df-ur 16711  df-rng 16755  df-subrg 16971  df-lmod 17058  df-lss 17122  df-sra 17361  df-rgmod 17362  df-dsmm 18268  df-frlm 18283  df-mamu 18392  df-mat 18393
This theorem is referenced by:  matassa  18443  mat1  18447  mat1bas  18449  matsc  18454  mdet1  18525  mdetunilem8  18543  mdetuni0  18545  mdetmul  18547  madulid  18569  matunit  18602  slesolinv  18604  slesolinvbi  18605  slesolex  18606  matinvgcell  31009  scmatel  31012  scmatscmid  31013  scmatscmidr  31014  mat0dim0  31019  mat0dimid  31020  mat0dimcrng  31022  mat1dimcrng  31029  dmatid  31030  dmatsubcl  31033  dmatsgrp  31034  dmatsrng  31036  scmatid  31038  scmatsubcl  31040  scmatsgrp  31041  scmatsrng  31043  pmatrng  31161  cpmatsubgpmat  31185  cpmatsrgpmat  31186  mat2pmatghm  31195  mat2pmatmul  31196  mat2pmat1  31197  mat2pmatmhm  31198  mat2pmatrhm  31199  m2cpmrhm  31211  m2cpmrngiso  31219  m2pmfzgsumcl  31221  m2cpminv0  31223  pmatcollpw1id  31228  pmatcollpw1dstlem1  31229  pmatcollpw1dst  31230  pmatcollpwfsupp  31231  monmatcollpw  31238  pmatcollpw3fi  31241  pmatcollpw4fi1lem1  31244  pmatcollpw4fi1lem2  31245  pmatcollpwscmatlem2  31248  pmatcollpwscmatlem3  31249  pmattomply1ghmlem1  31255  pmattomply1ghmlem2  31256  pmattomply1f1lem  31257  pmattomply1rn  31259  pmattomply1coe1  31261  idpmattoidmply1  31262  mp2pm2mplem5  31267  mp2pm2mp  31268  pmattomply1f1  31269  pmattomply1ghm  31272  pmattomply1mhmlem0  31274  pmattomply1mhmlem1  31275  pmattomply1mhmlem2  31276  pmattomply1mhm  31277  pmattomply1rhm  31278  pmattomply1rngiso  31279  monmat2matmon  31280  pmat2matp  31281  matcpmatval  31289  cpmat0d  31290  cpmat1dlem  31291  cpmat1d  31292  cpdmatlem0  31293  cpdmatlem1  31294  cpdmatlem2  31295  cpdmatlem3  31296  cp0mat  31302  cpidmat  31303  cpmidgsumm2pm  31325  cpmidpmatlem2  31327  cpmidpmatlem3  31328  cpmadugsumlemB  31330  cpmadugsumlemC  31331  cpmadumatpolylem3  31339  cayhamlem2  31341  chcoeffeqlem  31342  cayhamlem4  31345
  Copyright terms: Public domain W3C validator