Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  matplusgcell Structured version   Unicode version

Theorem matplusgcell 31012
Description: Addition in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by AV, 2-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
matplusgcell.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
matplusgcell.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
matplusgcell.p  |-  .+b  =  ( +g  `  A )
matplusgcell.q  |-  .+  =  ( +g  `  R )
Assertion
Ref Expression
matplusgcell  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N ) )  -> 
( I ( X 
.+b  Y ) J )  =  ( ( I X J ) 
.+  ( I Y J ) ) )

Proof of Theorem matplusgcell
StepHypRef Expression
1 matplusgcell.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 matplusgcell.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  A
)
3 matplusgcell.p . . . . 5  |-  .+b  =  ( +g  `  A )
4 matplusgcell.q . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  R )
51, 2, 3, 4matplusg2 18448 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+b  Y
)  =  ( X  oF  .+  Y
) )
65oveqd 6212 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( I ( X 
.+b  Y ) J )  =  ( I ( X  oF  .+  Y ) J ) )
76adantr 465 . 2  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N ) )  -> 
( I ( X 
.+b  Y ) J )  =  ( I ( X  oF  .+  Y ) J ) )
8 df-ov 6198 . . 3  |-  ( I ( X  oF  .+  Y ) J )  =  ( ( X  oF  .+  Y ) `  <. I ,  J >. )
98a1i 11 . 2  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N ) )  -> 
( I ( X  oF  .+  Y
) J )  =  ( ( X  oF  .+  Y ) `  <. I ,  J >. ) )
10 opelxp 4972 . . 3  |-  ( <.
I ,  J >.  e.  ( N  X.  N
)  <->  ( I  e.  N  /\  J  e.  N ) )
11 eqid 2452 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
121, 11, 2matbas2i 18443 . . . . . 6  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
13 elmapfn 7340 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) )  ->  X  Fn  ( N  X.  N ) )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( X  e.  B  ->  X  Fn  ( N  X.  N
) )
1514adantr 465 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  Fn  ( N  X.  N ) )
161, 11, 2matbas2i 18443 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  B  ->  Y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
17 elmapfn 7340 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) )  ->  Y  Fn  ( N  X.  N ) )
1816, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( Y  e.  B  ->  Y  Fn  ( N  X.  N
) )
1918adantl 466 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  Fn  ( N  X.  N ) )
201, 2matrcl 18432 . . . . . 6  |-  ( X  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
21 xpfi 7689 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( N  X.  N
)  e.  Fin )
2221anidms 645 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( N  X.  N )  e. 
Fin )
2322adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  ( N  X.  N
)  e.  Fin )
2420, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( X  e.  B  ->  ( N  X.  N )  e. 
Fin )
2524adantr 465 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N  X.  N
)  e.  Fin )
26 inidm 3662 . . . 4  |-  ( ( N  X.  N )  i^i  ( N  X.  N ) )  =  ( N  X.  N
)
27 df-ov 6198 . . . . . 6  |-  ( I X J )  =  ( X `  <. I ,  J >. )
2827eqcomi 2465 . . . . 5  |-  ( X `
 <. I ,  J >. )  =  ( I X J )
2928a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  <. I ,  J >.  e.  ( N  X.  N ) )  ->  ( X `  <. I ,  J >. )  =  ( I X J ) )
30 df-ov 6198 . . . . . 6  |-  ( I Y J )  =  ( Y `  <. I ,  J >. )
3130eqcomi 2465 . . . . 5  |-  ( Y `
 <. I ,  J >. )  =  ( I Y J )
3231a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  <. I ,  J >.  e.  ( N  X.  N ) )  ->  ( Y `  <. I ,  J >. )  =  ( I Y J ) )
3315, 19, 25, 25, 26, 29, 32ofval 6434 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  <. I ,  J >.  e.  ( N  X.  N ) )  ->  ( ( X  oF  .+  Y
) `  <. I ,  J >. )  =  ( ( I X J )  .+  ( I Y J ) ) )
3410, 33sylan2br 476 . 2  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N ) )  -> 
( ( X  oF  .+  Y ) `  <. I ,  J >. )  =  ( ( I X J )  .+  ( I Y J ) ) )
357, 9, 343eqtrd 2497 1  |-  ( ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( I  e.  N  /\  J  e.  N ) )  -> 
( I ( X 
.+b  Y ) J )  =  ( ( I X J ) 
.+  ( I Y J ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3072   <.cop 3986    X. cxp 4941    Fn wfn 5516   ` cfv 5521  (class class class)co 6195    oFcof 6423    ^m cmap 7319   Fincfn 7415   Basecbs 14287   +g cplusg 14352   Mat cmat 18400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-ot 3989  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-of 6425  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-supp 6796  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-ixp 7369  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-fsupp 7727  df-sup 7797  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-fz 11550  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-ip 14370  df-tset 14371  df-ple 14372  df-ds 14374  df-hom 14376  df-cco 14377  df-0g 14494  df-prds 14500  df-pws 14502  df-sra 17371  df-rgmod 17372  df-dsmm 18277  df-frlm 18292  df-mat 18402
This theorem is referenced by:  cpmatacl  31187  mat2pmatghm  31201  pm2mpghm  31284
  Copyright terms: Public domain W3C validator