MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matplusg2 Structured version   Unicode version

Theorem matplusg2 18798
Description: Addition in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
matplusg2.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
matplusg2.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
matplusg2.p  |-  .+b  =  ( +g  `  A )
matplusg2.q  |-  .+  =  ( +g  `  R )
Assertion
Ref Expression
matplusg2  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+b  Y
)  =  ( X  oF  .+  Y
) )

Proof of Theorem matplusg2
StepHypRef Expression
1 matplusg2.a . . . . . 6  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 matplusg2.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  A
)
31, 2matrcl 18783 . . . . 5  |-  ( X  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
43adantr 465 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )
)
5 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) )  =  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )
61, 5matplusg 18785 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  ( +g  `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( +g  `  A
) )
7 matplusg2.p . . . . 5  |-  .+b  =  ( +g  `  A )
86, 7syl6eqr 2526 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  ( +g  `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  = 
.+b  )
94, 8syl 16 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( +g  `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  = 
.+b  )
109oveqd 6312 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( +g  `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) Y )  =  ( X  .+b  Y )
)
11 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )
124simprd 463 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  R  e.  _V )
134simpld 459 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  N  e.  Fin )
14 xpfi 7803 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( N  X.  N
)  e.  Fin )
1513, 13, 14syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N  X.  N
)  e.  Fin )
16 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
171, 5matbas 18784 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( Base `  A
) )
184, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( Base `  A
) )
1918, 2syl6eqr 2526 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  B )
2016, 19eleqtrrd 2558 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) )
21 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
2221, 19eleqtrrd 2558 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) )
23 matplusg2.q . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  R )
24 eqid 2467 . . 3  |-  ( +g  `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  ( +g  `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )
255, 11, 12, 15, 20, 22, 23, 24frlmplusgval 18666 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( +g  `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) Y )  =  ( X  oF  .+  Y ) )
2610, 25eqtr3d 2510 1  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+b  Y
)  =  ( X  oF  .+  Y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118    X. cxp 5003   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    oFcof 6533   Fincfn 7528   Basecbs 14507   +g cplusg 14572   freeLMod cfrlm 18646   Mat cmat 18778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-ot 4042  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-hom 14596  df-cco 14597  df-prds 14720  df-pws 14722  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-dsmm 18632  df-frlm 18647  df-mat 18779
This theorem is referenced by:  matplusgcell  18804  matring  18814  mat2pmatghm  19100  pm2mpghm  19186
  Copyright terms: Public domain W3C validator