MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matplusg2 Structured version   Unicode version

Theorem matplusg2 18456
Description: Addition in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
matplusg2.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
matplusg2.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
matplusg2.p  |-  .+b  =  ( +g  `  A )
matplusg2.q  |-  .+  =  ( +g  `  R )
Assertion
Ref Expression
matplusg2  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+b  Y
)  =  ( X  oF  .+  Y
) )

Proof of Theorem matplusg2
StepHypRef Expression
1 matplusg2.a . . . . . 6  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 matplusg2.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  A
)
31, 2matrcl 18440 . . . . 5  |-  ( X  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
43adantr 465 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )
)
5 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) )  =  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )
61, 5matplusg 18443 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  ( +g  `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( +g  `  A
) )
7 matplusg2.p . . . . 5  |-  .+b  =  ( +g  `  A )
86, 7syl6eqr 2513 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  ( +g  `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  = 
.+b  )
94, 8syl 16 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( +g  `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  = 
.+b  )
109oveqd 6220 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( +g  `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) Y )  =  ( X  .+b  Y )
)
11 eqid 2454 . . 3  |-  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )
124simprd 463 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  R  e.  _V )
134simpld 459 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  N  e.  Fin )
14 xpfi 7697 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( N  X.  N
)  e.  Fin )
1513, 13, 14syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( N  X.  N
)  e.  Fin )
16 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
171, 5matbas 18442 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( Base `  A
) )
184, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( Base `  A
) )
1918, 2syl6eqr 2513 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  B )
2016, 19eleqtrrd 2545 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) )
21 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
2221, 19eleqtrrd 2545 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) )
23 matplusg2.q . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  R )
24 eqid 2454 . . 3  |-  ( +g  `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  ( +g  `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )
255, 11, 12, 15, 20, 22, 23, 24frlmplusgval 18319 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( +g  `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) Y )  =  ( X  oF  .+  Y ) )
2610, 25eqtr3d 2497 1  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+b  Y
)  =  ( X  oF  .+  Y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    X. cxp 4949   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    oFcof 6431   Fincfn 7423   Basecbs 14295   +g cplusg 14360   freeLMod cfrlm 18299   Mat cmat 18408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-ot 3997  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-fz 11558  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-hom 14384  df-cco 14385  df-prds 14508  df-pws 14510  df-sra 17379  df-rgmod 17380  df-dsmm 18285  df-frlm 18300  df-mat 18410
This theorem is referenced by:  matrng  18459  matplusgcell  31037  mat2pmatghm  31239  pm2mpghm  31323
  Copyright terms: Public domain W3C validator