MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matplusg Structured version   Unicode version

Theorem matplusg 18443
Description: The matrix ring has the same addition as its underlying group. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
matbas.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
matbas.g  |-  G  =  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )
Assertion
Ref Expression
matplusg  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  ( +g  `  G
)  =  ( +g  `  A ) )

Proof of Theorem matplusg
StepHypRef Expression
1 matbas.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 matbas.g . . . 4  |-  G  =  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )
3 eqid 2454 . . . 4  |-  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
41, 2, 3matval 18439 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  A  =  ( G sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) >. )
)
54fveq2d 5806 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  ( +g  `  A
)  =  ( +g  `  ( G sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
>. ) ) )
6 plusgid 14395 . . 3  |-  +g  = Slot  ( +g  `  ndx )
7 plusgndx 14394 . . . 4  |-  ( +g  ` 
ndx )  =  2
8 2re 10505 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
9 2lt3 10603 . . . . . 6  |-  2  <  3
108, 9ltneii 9601 . . . . 5  |-  2  =/=  3
11 mulrndx 14405 . . . . 5  |-  ( .r
`  ndx )  =  3
1210, 11neeqtrri 2751 . . . 4  |-  2  =/=  ( .r `  ndx )
137, 12eqnetri 2748 . . 3  |-  ( +g  ` 
ndx )  =/=  ( .r `  ndx )
146, 13setsnid 14337 . 2  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  ( G sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) >. )
)
155, 14syl6reqr 2514 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  ( +g  `  G
)  =  ( +g  `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   <.cop 3994   <.cotp 3996    X. cxp 4949   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Fincfn 7423   2c2 10485   3c3 10486   ndxcnx 14292   sSet csts 14293   +g cplusg 14360   .rcmulr 14361   freeLMod cfrlm 18299   maMul cmmul 18407   Mat cmat 18408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-ot 3997  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-sets 14301  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-mat 18410
This theorem is referenced by:  mat0  18446  matinvg  18447  matplusg2  18456  matlmod  18458  matsubg  31036  matgsum  31047
  Copyright terms: Public domain W3C validator