Theorem matplusg 19370

Description: The matrix ring has the same addition as its underlying group. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matbas.a	|- A = ( N Mat R )
matbas.g	|- G = ( R freeLMod ( N X. N ) )

Assertion

Ref	Expression
matplusg	|- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> ( +g ` G ) = ( +g ` A ) )

Proof of Theorem matplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matbas.a	. . . 4 |- A = ( N Mat R )
2		matbas.g	. . . 4 |- G = ( R freeLMod ( N X. N ) )
3		eqid 2429	. . . 4 |- ( R maMul <. N , N , N >. ) = ( R maMul <. N , N , N >. )
4	1, 2, 3	matval 19367	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> A = ( G sSet <. ( .r ` ndx ) , ( R maMul <. N , N , N >. ) >. ) )
5	4	fveq2d 5885	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> ( +g ` A ) = ( +g ` ( G sSet <. ( .r ` ndx ) , ( R maMul <. N , N , N >. ) >. ) ) )
6		plusgid 15187	. . 3 |- +g = Slot ( +g ` ndx )
7		plusgndx 15186	. . . 4 |- ( +g ` ndx ) = 2
8		2re 10679	. . . . . 6 |- 2 e. RR
9		2lt3 10777	. . . . . 6 |- 2 < 3
10	8, 9	ltneii 9746	. . . . 5 |- 2 =/= 3
11		mulrndx 15201	. . . . 5 |- ( .r ` ndx ) = 3
12	10, 11	neeqtrri 2730	. . . 4 |- 2 =/= ( .r ` ndx )
13	7, 12	eqnetri 2727	. . 3 |- ( +g ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )
14	6, 13	setsnid 15128	. 2 |- ( +g ` G ) = ( +g ` ( G sSet <. ( .r ` ndx ) , ( R maMul <. N , N , N >. ) >. ) )
15	5, 14	syl6reqr 2489	1 |- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> ( +g ` G ) = ( +g ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1870   <.cop 4008   <.cotp 4010   X. cxp 4852   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Fincfn 7577   2c2 10659   3c3 10660   ndxcnx 15081   sSet csts 15082   +g cplusg 15152   .rcmulr 15153   freeLMod cfrlm 19240   maMul cmmul 19339   Mat cmat 19363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-ot 4011  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-sets 15090  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-mat 19364

This theorem is referenced by:  mat0  19373  matinvg  19374  matplusg2  19383  matlmod  19385  matsubg  19388  matgsum  19393