Theorem matplusg 19516

Description: The matrix ring has the same addition as its underlying group. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matbas.a	|- A = ( N Mat R )
matbas.g	|- G = ( R freeLMod ( N X. N ) )

Assertion

Ref	Expression
matplusg	|- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> ( +g ` G ) = ( +g ` A ) )

Proof of Theorem matplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matbas.a	. . . 4 |- A = ( N Mat R )
2		matbas.g	. . . 4 |- G = ( R freeLMod ( N X. N ) )
3		eqid 2471	. . . 4 |- ( R maMul <. N , N , N >. ) = ( R maMul <. N , N , N >. )
4	1, 2, 3	matval 19513	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> A = ( G sSet <. ( .r ` ndx ) , ( R maMul <. N , N , N >. ) >. ) )
5	4	fveq2d 5883	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> ( +g ` A ) = ( +g ` ( G sSet <. ( .r ` ndx ) , ( R maMul <. N , N , N >. ) >. ) ) )
6		plusgid 15303	. . 3 |- +g = Slot ( +g ` ndx )
7		plusgndx 15302	. . . 4 |- ( +g ` ndx ) = 2
8		2re 10701	. . . . . 6 |- 2 e. RR
9		2lt3 10800	. . . . . 6 |- 2 < 3
10	8, 9	ltneii 9765	. . . . 5 |- 2 =/= 3
11		mulrndx 15320	. . . . 5 |- ( .r ` ndx ) = 3
12	10, 11	neeqtrri 2716	. . . 4 |- 2 =/= ( .r ` ndx )
13	7, 12	eqnetri 2713	. . 3 |- ( +g ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )
14	6, 13	setsnid 15243	. 2 |- ( +g ` G ) = ( +g ` ( G sSet <. ( .r ` ndx ) , ( R maMul <. N , N , N >. ) >. ) )
15	5, 14	syl6reqr 2524	1 |- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> ( +g ` G ) = ( +g ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   <.cop 3965   <.cotp 3967   X. cxp 4837   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   2c2 10681   3c3 10682   ndxcnx 15196   sSet csts 15197   +g cplusg 15268   .rcmulr 15269   freeLMod cfrlm 19386   maMul cmmul 19485   Mat cmat 19509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-sets 15205  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-mat 19510

This theorem is referenced by:  mat0  19519  matinvg  19520  matplusg2  19529  matlmod  19531  matsubg  19534  matgsum  19539