Theorem matplusg 19432

Description: The matrix ring has the same addition as its underlying group. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matbas.a	|- A = ( N Mat R )
matbas.g	|- G = ( R freeLMod ( N X. N ) )

Assertion

Ref	Expression
matplusg	|- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> ( +g ` G ) = ( +g ` A ) )

Proof of Theorem matplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matbas.a	. . . 4 |- A = ( N Mat R )
2		matbas.g	. . . 4 |- G = ( R freeLMod ( N X. N ) )
3		eqid 2450	. . . 4 |- ( R maMul <. N , N , N >. ) = ( R maMul <. N , N , N >. )
4	1, 2, 3	matval 19429	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> A = ( G sSet <. ( .r ` ndx ) , ( R maMul <. N , N , N >. ) >. ) )
5	4	fveq2d 5867	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> ( +g ` A ) = ( +g ` ( G sSet <. ( .r ` ndx ) , ( R maMul <. N , N , N >. ) >. ) ) )
6		plusgid 15218	. . 3 |- +g = Slot ( +g ` ndx )
7		plusgndx 15217	. . . 4 |- ( +g ` ndx ) = 2
8		2re 10676	. . . . . 6 |- 2 e. RR
9		2lt3 10774	. . . . . 6 |- 2 < 3
10	8, 9	ltneii 9744	. . . . 5 |- 2 =/= 3
11		mulrndx 15235	. . . . 5 |- ( .r ` ndx ) = 3
12	10, 11	neeqtrri 2696	. . . 4 |- 2 =/= ( .r ` ndx )
13	7, 12	eqnetri 2693	. . 3 |- ( +g ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )
14	6, 13	setsnid 15158	. 2 |- ( +g ` G ) = ( +g ` ( G sSet <. ( .r ` ndx ) , ( R maMul <. N , N , N >. ) >. ) )
15	5, 14	syl6reqr 2503	1 |- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> ( +g ` G ) = ( +g ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   <.cop 3973   <.cotp 3975   X. cxp 4831   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   Fincfn 7566   2c2 10656   3c3 10657   ndxcnx 15111   sSet csts 15112   +g cplusg 15183   .rcmulr 15184   freeLMod cfrlm 19302   maMul cmmul 19401   Mat cmat 19425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-ot 3976  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-sets 15120  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-mat 19426

This theorem is referenced by:  mat0  19435  matinvg  19436  matplusg2  19445  matlmod  19447  matsubg  19450  matgsum  19455