MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matplusg Structured version   Unicode version

Theorem matplusg 18785
Description: The matrix ring has the same addition as its underlying group. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
matbas.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
matbas.g  |-  G  =  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )
Assertion
Ref Expression
matplusg  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  ( +g  `  G
)  =  ( +g  `  A ) )

Proof of Theorem matplusg
StepHypRef Expression
1 matbas.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 matbas.g . . . 4  |-  G  =  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )
3 eqid 2467 . . . 4  |-  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
41, 2, 3matval 18782 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  A  =  ( G sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) >. )
)
54fveq2d 5876 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  ( +g  `  A
)  =  ( +g  `  ( G sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
>. ) ) )
6 plusgid 14607 . . 3  |-  +g  = Slot  ( +g  `  ndx )
7 plusgndx 14606 . . . 4  |-  ( +g  ` 
ndx )  =  2
8 2re 10617 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
9 2lt3 10715 . . . . . 6  |-  2  <  3
108, 9ltneii 9709 . . . . 5  |-  2  =/=  3
11 mulrndx 14617 . . . . 5  |-  ( .r
`  ndx )  =  3
1210, 11neeqtrri 2766 . . . 4  |-  2  =/=  ( .r `  ndx )
137, 12eqnetri 2763 . . 3  |-  ( +g  ` 
ndx )  =/=  ( .r `  ndx )
146, 13setsnid 14549 . 2  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  ( G sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) >. )
)
155, 14syl6reqr 2527 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  ( +g  `  G
)  =  ( +g  `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   <.cop 4039   <.cotp 4041    X. cxp 5003   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Fincfn 7528   2c2 10597   3c3 10598   ndxcnx 14504   sSet csts 14505   +g cplusg 14572   .rcmulr 14573   freeLMod cfrlm 18646   maMul cmmul 18754   Mat cmat 18778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-ot 4042  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-sets 14513  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-mat 18779
This theorem is referenced by:  mat0  18788  matinvg  18789  matplusg2  18798  matlmod  18800  matsubg  18803  matgsum  18808
  Copyright terms: Public domain W3C validator