Theorem matplusg 18443

Description: The matrix ring has the same addition as its underlying group. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matbas.a	|- A = ( N Mat R )
matbas.g	|- G = ( R freeLMod ( N X. N ) )

Assertion

Ref	Expression
matplusg	|- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> ( +g ` G ) = ( +g ` A ) )

Proof of Theorem matplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matbas.a	. . . 4 |- A = ( N Mat R )
2		matbas.g	. . . 4 |- G = ( R freeLMod ( N X. N ) )
3		eqid 2454	. . . 4 |- ( R maMul <. N , N , N >. ) = ( R maMul <. N , N , N >. )
4	1, 2, 3	matval 18439	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> A = ( G sSet <. ( .r ` ndx ) , ( R maMul <. N , N , N >. ) >. ) )
5	4	fveq2d 5806	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> ( +g ` A ) = ( +g ` ( G sSet <. ( .r ` ndx ) , ( R maMul <. N , N , N >. ) >. ) ) )
6		plusgid 14395	. . 3 |- +g = Slot ( +g ` ndx )
7		plusgndx 14394	. . . 4 |- ( +g ` ndx ) = 2
8		2re 10505	. . . . . 6 |- 2 e. RR
9		2lt3 10603	. . . . . 6 |- 2 < 3
10	8, 9	ltneii 9601	. . . . 5 |- 2 =/= 3
11		mulrndx 14405	. . . . 5 |- ( .r ` ndx ) = 3
12	10, 11	neeqtrri 2751	. . . 4 |- 2 =/= ( .r ` ndx )
13	7, 12	eqnetri 2748	. . 3 |- ( +g ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )
14	6, 13	setsnid 14337	. 2 |- ( +g ` G ) = ( +g ` ( G sSet <. ( .r ` ndx ) , ( R maMul <. N , N , N >. ) >. ) )
15	5, 14	syl6reqr 2514	1 |- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> ( +g ` G ) = ( +g ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   <.cop 3994   <.cotp 3996   X. cxp 4949   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Fincfn 7423   2c2 10485   3c3 10486   ndxcnx 14292   sSet csts 14293   +g cplusg 14360   .rcmulr 14361   freeLMod cfrlm 18299   maMul cmmul 18407   Mat cmat 18408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-ot 3997  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-sets 14301  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-mat 18410

This theorem is referenced by:  mat0  18446  matinvg  18447  matplusg2  18456  matlmod  18458  matsubg  31036  matgsum  31047