Theorem matplusg 18785

Description: The matrix ring has the same addition as its underlying group. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matbas.a	|- A = ( N Mat R )
matbas.g	|- G = ( R freeLMod ( N X. N ) )

Assertion

Ref	Expression
matplusg	|- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> ( +g ` G ) = ( +g ` A ) )

Proof of Theorem matplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matbas.a	. . . 4 |- A = ( N Mat R )
2		matbas.g	. . . 4 |- G = ( R freeLMod ( N X. N ) )
3		eqid 2467	. . . 4 |- ( R maMul <. N , N , N >. ) = ( R maMul <. N , N , N >. )
4	1, 2, 3	matval 18782	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> A = ( G sSet <. ( .r ` ndx ) , ( R maMul <. N , N , N >. ) >. ) )
5	4	fveq2d 5876	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> ( +g ` A ) = ( +g ` ( G sSet <. ( .r ` ndx ) , ( R maMul <. N , N , N >. ) >. ) ) )
6		plusgid 14607	. . 3 |- +g = Slot ( +g ` ndx )
7		plusgndx 14606	. . . 4 |- ( +g ` ndx ) = 2
8		2re 10617	. . . . . 6 |- 2 e. RR
9		2lt3 10715	. . . . . 6 |- 2 < 3
10	8, 9	ltneii 9709	. . . . 5 |- 2 =/= 3
11		mulrndx 14617	. . . . 5 |- ( .r ` ndx ) = 3
12	10, 11	neeqtrri 2766	. . . 4 |- 2 =/= ( .r ` ndx )
13	7, 12	eqnetri 2763	. . 3 |- ( +g ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )
14	6, 13	setsnid 14549	. 2 |- ( +g ` G ) = ( +g ` ( G sSet <. ( .r ` ndx ) , ( R maMul <. N , N , N >. ) >. ) )
15	5, 14	syl6reqr 2527	1 |- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> ( +g ` G ) = ( +g ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   <.cop 4039   <.cotp 4041   X. cxp 5003   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Fincfn 7528   2c2 10597   3c3 10598   ndxcnx 14504   sSet csts 14505   +g cplusg 14572   .rcmulr 14573   freeLMod cfrlm 18646   maMul cmmul 18754   Mat cmat 18778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-ot 4042  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-sets 14513  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-mat 18779

This theorem is referenced by:  mat0  18788  matinvg  18789  matplusg2  18798  matlmod  18800  matsubg  18803  matgsum  18808