MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matlmod Structured version   Unicode version

Theorem matlmod 19115
Description: The matrix ring is a linear structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
matlmod.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
Assertion
Ref Expression
matlmod  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  LMod )

Proof of Theorem matlmod
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqxpexg 6543 . . 3  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( N  X.  N )  e. 
_V )
2 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) )  =  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )
32frlmlmod 18970 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  X.  N )  e. 
_V )  ->  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) )  e.  LMod )
43ancoms 451 . . 3  |-  ( ( ( N  X.  N
)  e.  _V  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R freeLMod  ( N  X.  N ) )  e. 
LMod )
51, 4sylan 469 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R freeLMod  ( N  X.  N ) )  e. 
LMod )
6 eqidd 2403 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  (
Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) )
7 matlmod.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
87, 2matbas 19099 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  (
Base `  A )
)
97, 2matplusg 19100 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( +g  `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( +g  `  A
) )
109oveqdr 6258 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  (
Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) ) ) )  ->  ( x
( +g  `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) ) y )  =  ( x ( +g  `  A
) y ) )
11 eqidd 2403 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
(Scalar `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  (Scalar `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) )
127, 2matsca 19101 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
(Scalar `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  (Scalar `  A ) )
13 eqid 2402 . . 3  |-  ( Base `  (Scalar `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) )  =  ( Base `  (Scalar `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) )
147, 2matvsca 19102 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( .s `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( .s `  A
) )
1514oveqdr 6258 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  (
Base `  (Scalar `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) ) )  /\  y  e.  (
Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) ) )  ->  ( x ( .s `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) ) y )  =  ( x ( .s `  A
) y ) )
166, 8, 10, 11, 12, 13, 15lmodpropd 17785 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )  e.  LMod  <->  A  e.  LMod ) )
175, 16mpbid 210 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  LMod )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058    X. cxp 4940   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   Fincfn 7474   Basecbs 14733   +g cplusg 14801  Scalarcsca 14804   .scvsca 14805   Ringcrg 17410   LModclmod 17724   freeLMod cfrlm 18967   Mat cmat 19093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-ot 3980  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-ixp 7428  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-sup 7855  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-fz 11644  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-ip 14819  df-tset 14820  df-ple 14821  df-ds 14823  df-hom 14825  df-cco 14826  df-0g 14948  df-prds 14954  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-grp 16273  df-minusg 16274  df-sbg 16275  df-subg 16414  df-mgp 17354  df-ur 17366  df-ring 17412  df-subrg 17639  df-lmod 17726  df-lss 17791  df-sra 18030  df-rgmod 18031  df-dsmm 18953  df-frlm 18968  df-mat 19094
This theorem is referenced by:  matgrp  19116  matvscl  19117  matassa  19130  mat0dimscm  19155  scmatid  19200  scmataddcl  19202  scmatsubcl  19203  smatvscl  19210  scmatghm  19219  scmatmhm  19220  pmatlmod  19379  pm2mp  19510  chpmat1dlem  19520  chpmat1d  19521  cpmidpmatlem3  19557  cpmadugsumlemB  19559  cpmadugsumlemC  19560  chcoeffeqlem  19570
  Copyright terms: Public domain W3C validator