MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matlmod Structured version   Unicode version

Theorem matlmod 18698
Description: The matrix ring is a linear structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
matlmod.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
Assertion
Ref Expression
matlmod  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  LMod )

Proof of Theorem matlmod
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpexg 6709 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( N  X.  N
)  e.  _V )
21anidms 645 . . 3  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( N  X.  N )  e. 
_V )
3 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) )  =  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )
43frlmlmod 18547 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  X.  N )  e. 
_V )  ->  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) )  e.  LMod )
54ancoms 453 . . 3  |-  ( ( ( N  X.  N
)  e.  _V  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R freeLMod  ( N  X.  N ) )  e. 
LMod )
62, 5sylan 471 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R freeLMod  ( N  X.  N ) )  e. 
LMod )
7 eqidd 2468 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  (
Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) )
8 matlmod.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
98, 3matbas 18682 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  (
Base `  A )
)
108, 3matplusg 18683 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( +g  `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( +g  `  A
) )
1110proplem3 14942 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  (
Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) ) ) )  ->  ( x
( +g  `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) ) y )  =  ( x ( +g  `  A
) y ) )
12 eqidd 2468 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
(Scalar `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  (Scalar `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) )
138, 3matsca 18684 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
(Scalar `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) )  =  (Scalar `  A ) )
14 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base `  (Scalar `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) )  =  ( Base `  (Scalar `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) )
158, 3matvsca 18685 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( .s `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( .s `  A
) )
1615proplem3 14942 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  (
Base `  (Scalar `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) ) )  /\  y  e.  (
Base `  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) ) ) ) )  ->  ( x ( .s `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) ) y )  =  ( x ( .s `  A
) y ) )
177, 9, 11, 12, 13, 14, 16lmodpropd 17356 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )  e.  LMod  <->  A  e.  LMod ) )
186, 17mpbid 210 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  LMod )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    X. cxp 4997   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Fincfn 7513   Basecbs 14486   +g cplusg 14551  Scalarcsca 14554   .scvsca 14555   Ringcrg 16986   LModclmod 17295   freeLMod cfrlm 18544   Mat cmat 18676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-hom 14575  df-cco 14576  df-0g 14693  df-prds 14699  df-mnd 15728  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-sbg 15860  df-subg 15993  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-subrg 17210  df-lmod 17297  df-lss 17362  df-sra 17601  df-rgmod 17602  df-dsmm 18530  df-frlm 18545  df-mat 18677
This theorem is referenced by:  matgrp  18699  matvscl  18700  matrng  18712  matassa  18713  mat0dimscm  18738  scmatid  18783  scmataddcl  18785  scmatsubcl  18786  smatvscl  18793  scmatghm  18802  scmatmhm  18803  pmatlmod  18962  pm2mp  19093  chpmat1dlem  19103  chpmat1d  19104  chpdmatlem0  19105  cpmidpmatlem3  19140  cpmadugsumlemB  19142  cpmadugsumlemC  19143  chcoeffeqlem  19153
  Copyright terms: Public domain W3C validator