MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matgsumcl Structured version   Unicode version

Theorem matgsumcl 19132
Description: Closure of a group sum over the diagonal coefficients of a square matrix over a commutative ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
madetsumid.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
madetsumid.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
madetsumid.u  |-  U  =  (mulGrp `  R )
Assertion
Ref Expression
matgsumcl  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( U  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r M r ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
Distinct variable groups:    B, r    M, r    N, r    R, r
Allowed substitution hints:    A( r)    U( r)

Proof of Theorem matgsumcl
StepHypRef Expression
1 madetsumid.u . . 3  |-  U  =  (mulGrp `  R )
2 eqid 2454 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
31, 2mgpbas 17345 . 2  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  U )
41crngmgp 17404 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  U  e. CMnd )
54adantr 463 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  U  e. CMnd )
6 madetsumid.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
7 madetsumid.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  A
)
86, 7matrcl 19084 . . . 4  |-  ( M  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
98adantl 464 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
109simpld 457 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  N  e.  Fin )
11 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  M  e.  B )
126, 2, 7matbas2i 19094 . . . . . 6  |-  ( M  e.  B  ->  M  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
13 elmapi 7433 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R
) )
1411, 12, 133syl 20 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
1514adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  r  e.  N
)  ->  M :
( N  X.  N
) --> ( Base `  R
) )
16 simpr 459 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  r  e.  N
)  ->  r  e.  N )
1715, 16, 16fovrnd 6420 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  r  e.  N
)  ->  ( r M r )  e.  ( Base `  R
) )
1817ralrimiva 2868 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  A. r  e.  N  ( r M r )  e.  ( Base `  R
) )
193, 5, 10, 18gsummptcl 17193 1  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( U  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r M r ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106    |-> cmpt 4497    X. cxp 4986   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    ^m cmap 7412   Fincfn 7509   Basecbs 14719    gsumg cgsu 14933  CMndccmn 17000  mulGrpcmgp 17339   CRingccrg 17397   Mat cmat 19079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-ot 4025  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-hash 12391  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-hom 14811  df-cco 14812  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-prds 14940  df-pws 14942  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-mgp 17340  df-cring 17399  df-sra 18016  df-rgmod 18017  df-dsmm 18939  df-frlm 18954  df-mat 19080
This theorem is referenced by:  madetsumid  19133
  Copyright terms: Public domain W3C validator