MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matgsumcl Structured version   Unicode version

Theorem matgsumcl 18304
Description: Closure of a group sum over the diagonal coefficients of a square matrix over a commutative ring. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
madetsumid.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
madetsumid.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
madetsumid.u  |-  U  =  (mulGrp `  R )
Assertion
Ref Expression
matgsumcl  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( U  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r M r ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
Distinct variable groups:    B, r    M, r    N, r    R, r
Allowed substitution hints:    A( r)    U( r)

Proof of Theorem matgsumcl
StepHypRef Expression
1 madetsumid.u . . 3  |-  U  =  (mulGrp `  R )
2 eqid 2441 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
31, 2mgpbas 16587 . 2  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  U )
41crngmgp 16643 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  U  e. CMnd )
54adantr 462 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  U  e. CMnd )
6 madetsumid.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
7 madetsumid.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  A
)
86, 7matrcl 18271 . . . 4  |-  ( M  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
98adantl 463 . . 3  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
109simpld 456 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  N  e.  Fin )
11 simpr 458 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  M  e.  B )
126, 2, 7matbas2i 18282 . . . . . 6  |-  ( M  e.  B  ->  M  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
13 elmapi 7230 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( N  X.  N ) )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R
) )
1411, 12, 133syl 20 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  M : ( N  X.  N ) --> ( Base `  R ) )
1514adantr 462 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  r  e.  N
)  ->  M :
( N  X.  N
) --> ( Base `  R
) )
16 simpr 458 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  r  e.  N
)  ->  r  e.  N )
1715, 16, 16fovrnd 6234 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  /\  r  e.  N
)  ->  ( r M r )  e.  ( Base `  R
) )
1817ralrimiva 2797 . 2  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  A. r  e.  N  ( r M r )  e.  ( Base `  R
) )
193, 5, 10, 18gsummptcl 16448 1  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  M  e.  B )  ->  ( U  gsumg  ( r  e.  N  |->  ( r M r ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   _Vcvv 2970    e. cmpt 4347    X. cxp 4834   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    ^m cmap 7210   Fincfn 7306   Basecbs 14170    gsumg cgsu 14375  CMndccmn 16270  mulGrpcmgp 16581   CRingccrg 16636   Mat cmat 18239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-ot 3883  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-hash 12100  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-hom 14258  df-cco 14259  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-prds 14382  df-pws 14384  df-mnd 15411  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-mgp 16582  df-cring 16638  df-sra 17231  df-rgmod 17232  df-dsmm 18116  df-frlm 18131  df-mat 18241
This theorem is referenced by:  madetsumid  18305
  Copyright terms: Public domain W3C validator