MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matecl Structured version   Unicode version

Theorem matecl 19381
Description: Each entry (according to Wikipedia "Matrix (mathematics)", 30-Dec-2018, https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_(mathematics)#Definition (or element or component or coefficient or cell) of a matrix is an element of the underlying ring. (Contributed by AV, 16-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
matecl.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
matecl.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
matecl  |-  ( ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  M  e.  ( Base `  A ) )  -> 
( I M J )  e.  K )

Proof of Theorem matecl
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 matecl.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 eqid 2429 . . . 4  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
31, 2matrcl 19368 . . 3  |-  ( M  e.  ( Base `  A
)  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e. 
_V ) )
433ad2ant3 1028 . 2  |-  ( ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  M  e.  ( Base `  A ) )  -> 
( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )
)
5 matecl.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( Base `  R
)
61, 5matbas2 19377 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  ( K  ^m  ( N  X.  N ) )  =  ( Base `  A
) )
76eqcomd 2437 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  ( Base `  A
)  =  ( K  ^m  ( N  X.  N ) ) )
87eleq2d 2499 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  ( M  e.  (
Base `  A )  <->  M  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N
) ) ) )
9 fvex 5891 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  e.  _V
105, 9eqeltri 2513 . . . . . . . . 9  |-  K  e. 
_V
1110a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  _V  ->  K  e.  _V )
12 sqxpexg 6610 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( N  X.  N )  e. 
_V )
13 elmapg 7493 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  _V  /\  ( N  X.  N
)  e.  _V )  ->  ( M  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N ) )  <-> 
M : ( N  X.  N ) --> K ) )
1411, 12, 13syl2anr 480 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  ( M  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N ) )  <-> 
M : ( N  X.  N ) --> K ) )
15 ffnov 6414 . . . . . . . 8  |-  ( M : ( N  X.  N ) --> K  <->  ( M  Fn  ( N  X.  N
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i M j )  e.  K ) )
16 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  I  ->  (
i M j )  =  ( I M j ) )
1716eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  I  ->  (
( i M j )  e.  K  <->  ( I M j )  e.  K ) )
18 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  J  ->  (
I M j )  =  ( I M J ) )
1918eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  J  ->  (
( I M j )  e.  K  <->  ( I M J )  e.  K
) )
2017, 19rspc2v 3197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  N  /\  J  e.  N )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i M j )  e.  K  ->  ( I M J )  e.  K ) )
2120com12 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i M j )  e.  K  ->  (
( I  e.  N  /\  J  e.  N
)  ->  ( I M J )  e.  K
) )
2221adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  Fn  ( N  X.  N )  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i M j )  e.  K )  -> 
( ( I  e.  N  /\  J  e.  N )  ->  (
I M J )  e.  K ) )
2322a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  ( ( M  Fn  ( N  X.  N
)  /\  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i M j )  e.  K )  ->  (
( I  e.  N  /\  J  e.  N
)  ->  ( I M J )  e.  K
) ) )
2415, 23syl5bi 220 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  ( M : ( N  X.  N ) --> K  ->  ( (
I  e.  N  /\  J  e.  N )  ->  ( I M J )  e.  K ) ) )
2514, 24sylbid 218 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  ( M  e.  ( K  ^m  ( N  X.  N ) )  ->  ( ( I  e.  N  /\  J  e.  N )  ->  (
I M J )  e.  K ) ) )
268, 25sylbid 218 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  ( M  e.  (
Base `  A )  ->  ( ( I  e.  N  /\  J  e.  N )  ->  (
I M J )  e.  K ) ) )
2726com13 83 . . . 4  |-  ( ( I  e.  N  /\  J  e.  N )  ->  ( M  e.  (
Base `  A )  ->  ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  _V )  ->  ( I M J )  e.  K ) ) )
2827ex 435 . . 3  |-  ( I  e.  N  ->  ( J  e.  N  ->  ( M  e.  ( Base `  A )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V )  ->  ( I M J )  e.  K ) ) ) )
29283imp1 1218 . 2  |-  ( ( ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  M  e.  ( Base `  A ) )  /\  ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  _V ) )  ->  (
I M J )  e.  K )
304, 29mpdan 672 1  |-  ( ( I  e.  N  /\  J  e.  N  /\  M  e.  ( Base `  A ) )  -> 
( I M J )  e.  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   _Vcvv 3087    X. cxp 4852    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    ^m cmap 7480   Fincfn 7577   Basecbs 15084   Mat cmat 19363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-ot 4011  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-hom 15176  df-cco 15177  df-0g 15299  df-prds 15305  df-pws 15307  df-sra 18330  df-rgmod 18331  df-dsmm 19226  df-frlm 19241  df-mat 19364
This theorem is referenced by:  matecld  19382  matinvgcell  19391  matepmcl  19418  matepm2cl  19419  dmatmul  19453  marrepcl  19520  marepvcl  19525  mulmarep1el  19528  mulmarep1gsum1  19529  submabas  19534  m1detdiag  19553  mdetdiag  19555  m2detleib  19587  marep01ma  19616  smadiadetlem4  19625  mat2pmatbas  19681  decpmatmul  19727  pm2mpghm  19771  chpscmat  19797  chpscmatgsumbin  19799  chpscmatgsummon  19800  mdetlap1  28491
  Copyright terms: Public domain W3C validator