Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matecl Structured version   Unicode version

Theorem matecl 18454
 Description: Each entry (according to Wikipedia "Matrix (mathematics)", 30-Dec-2018, https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_(mathematics)#Definition (or element or component or coefficient or cell) of a matrix is an element of the underlying ring. (Contributed by AV, 16-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
matecl.a Mat
matecl.k
Assertion
Ref Expression
matecl

Proof of Theorem matecl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 matecl.a . . . 4 Mat
2 eqid 2454 . . . 4
31, 2matrcl 18440 . . 3
5 matecl.k . . . . . . . . 9
61, 5matbas2 18450 . . . . . . . 8
76eqcomd 2462 . . . . . . 7
87eleq2d 2524 . . . . . 6
9 fvex 5812 . . . . . . . . . 10
105, 9eqeltri 2538 . . . . . . . . 9
1110a1i 11 . . . . . . . 8
12 xpexg 6620 . . . . . . . . 9
1312anidms 645 . . . . . . . 8
14 elmapg 7340 . . . . . . . 8
1511, 13, 14syl2anr 478 . . . . . . 7
16 ffnov 6307 . . . . . . . 8
17 oveq1 6210 . . . . . . . . . . . . 13
1817eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . 12
19 oveq2 6211 . . . . . . . . . . . . 13
2019eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . 12
2118, 20rspc2v 3186 . . . . . . . . . . 11
2221com12 31 . . . . . . . . . 10
2322adantl 466 . . . . . . . . 9
2423a1i 11 . . . . . . . 8
2516, 24syl5bi 217 . . . . . . 7
2615, 25sylbid 215 . . . . . 6
278, 26sylbid 215 . . . . 5
2827com13 80 . . . 4
2928ex 434 . . 3
30293imp1 1201 . 2
314, 30mpdan 668 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 965   wceq 1370   wcel 1758  wral 2799  cvv 3078   cxp 4949   wfn 5524  wf 5525  cfv 5529  (class class class)co 6203   cmap 7327  cfn 7423  cbs 14295   Mat cmat 18408 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-ot 3997  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-fz 11558  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-hom 14384  df-cco 14385  df-0g 14502  df-prds 14508  df-pws 14510  df-sra 17379  df-rgmod 17380  df-dsmm 18285  df-frlm 18300  df-mat 18410 This theorem is referenced by:  matecld  18455  matepmcl  18477  matepm2cl  18478  marrepcl  18505  marepvcl  18510  mulmarep1el  18513  mulmarep1gsum1  18514  submabas  18519  m1detdiag  18538  mdetdiag  18540  m2detleib  18572  marep01ma  18601  smadiadetlem4  18610  matinvgcell  31039  dmatmul  31075  dmatmulcl  31078  dmatcrng  31080  scmatmulcl  31085  scmatcrng  31087  mat2pmatbas  31235  m2pminv2  31259  decpmatmul  31279  mptcoe1matfsupp  31309  mply1topmatcl  31312  pm2mpghm  31323  cpscmat  31348  cpscmatgsumbin  31350  cpscmatgsummon  31351  cpmadumatpolylem1  31387  cpmadumatpolylem3  31389
 Copyright terms: Public domain W3C validator