Theorem matbas2i 18731

Description: A matrix is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matbas2.a	|- A = ( N Mat R )
matbas2.k	|- K = ( Base ` R )
matbas2i.b	|- B = ( Base ` A )

Assertion

Ref	Expression
matbas2i	|- ( M e. B -> M e. ( K ^m ( N X. N ) ) )

Proof of Theorem matbas2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 |- ( M e. B -> M e. B )
2		matbas2i.b	. . 3 |- B = ( Base ` A )
3	1, 2	syl6eleq 2565	. 2 |- ( M e. B -> M e. ( Base ` A ) )
4		matbas2.a	. . . 4 |- A = ( N Mat R )
5	4, 2	matrcl 18721	. . 3 |- ( M e. B -> ( N e. Fin /\ R e. _V ) )
6		matbas2.k	. . . 4 |- K = ( Base ` R )
7	4, 6	matbas2 18730	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. _V ) -> ( K ^m ( N X. N ) ) = ( Base ` A ) )
8	5, 7	syl 16	. 2 |- ( M e. B -> ( K ^m ( N X. N ) ) = ( Base ` A ) )
9	3, 8	eleqtrrd 2558	1 |- ( M e. B -> M e. ( K ^m ( N X. N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   _Vcvv 3113   X. cxp 4997   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   ^m cmap 7421   Fincfn 7517   Basecbs 14493   Mat cmat 18716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-fz 11674  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-hom 14582  df-cco 14583  df-0g 14700  df-prds 14706  df-pws 14708  df-sra 17630  df-rgmod 17631  df-dsmm 18570  df-frlm 18585  df-mat 18717

This theorem is referenced by:  eqmat  18733  matplusgcell  18742  matsubgcell  18743  matmulcell  18754  mattposcl  18762  mattpostpos  18763  mattposm  18768  matgsumcl  18769  dmatmul  18806  mdetleib2  18897  mdetf  18904  mdetdiaglem  18907  mdetrlin  18911  mdetrsca  18912  mdetralt  18917  mdetunilem7  18927  mdetunilem9  18929  mdetmul  18932  maducoeval2  18949  maduf  18950  madutpos  18951  madugsum  18952  madurid  18953  decpmatval  19073  decpmatmul  19080  pmatcollpw3lem  19091