Theorem matbas2 18450

Description: The base set of the matrix ring as a set exponential. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
matbas2.a	|- A = ( N Mat R )
matbas2.k	|- K = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
matbas2	|- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> ( K ^m ( N X. N ) ) = ( Base ` A ) )

Proof of Theorem matbas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpfi 7697	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ N e. Fin ) -> ( N X. N ) e. Fin )
2	1	anidms 645	. . . . 5 |- ( N e. Fin -> ( N X. N ) e. Fin )
3	2	anim2i 569	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ N e. Fin ) -> ( R e. V /\ ( N X. N ) e. Fin ) )
4	3	ancoms 453	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> ( R e. V /\ ( N X. N ) e. Fin ) )
5		eqid 2454	. . . 4 |- ( R freeLMod ( N X. N ) ) = ( R freeLMod ( N X. N ) )
6		matbas2.k	. . . 4 |- K = ( Base ` R )
7	5, 6	frlmfibas 18317	. . 3 |- ( ( R e. V /\ ( N X. N ) e. Fin ) -> ( K ^m ( N X. N ) ) = ( Base ` ( R freeLMod ( N X. N ) ) ) )
8	4, 7	syl 16	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> ( K ^m ( N X. N ) ) = ( Base ` ( R freeLMod ( N X. N ) ) ) )
9		matbas2.a	. . 3 |- A = ( N Mat R )
10	9, 5	matbas 18442	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> ( Base ` ( R freeLMod ( N X. N ) ) ) = ( Base ` A ) )
11	8, 10	eqtrd 2495	1 |- ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> ( K ^m ( N X. N ) ) = ( Base ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   X. cxp 4949   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   ^m cmap 7327   Fincfn 7423   Basecbs 14295   freeLMod cfrlm 18299   Mat cmat 18408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-ot 3997  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-fz 11558  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-hom 14384  df-cco 14385  df-0g 14502  df-prds 14508  df-pws 14510  df-sra 17379  df-rgmod 17380  df-dsmm 18285  df-frlm 18300  df-mat 18410

This theorem is referenced by:  matbas2i  18451  matbas2d  18452  mat0dimbas0  18453  matecl  18454  matrng  18459  matassa  18460  mat1  18464  mattposcl  18467  mavmulval  18486  mavmulcl  18488  mavmulass  18490  mavmumamul1  18496  mdetunilem9  18561  cramerimplem2  18625  matvscacell  31041  mpt2matmul  31048  mat1dimelbas  31053  mat2pmatmul  31240  decpmatmullem  31278