Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  matbas Unicode version

Theorem matbas 27336
Description: The matrix ring has the same base set as its underlying group. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
matbas.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
matbas.g  |-  G  =  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )
Assertion
Ref Expression
matbas  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  ( Base `  G
)  =  ( Base `  A ) )

Proof of Theorem matbas
StepHypRef Expression
1 matbas.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 matbas.g . . . 4  |-  G  =  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )
3 eqid 2404 . . . 4  |-  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
41, 2, 3matval 27333 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  A  =  ( G sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) >. )
)
54fveq2d 5691 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  ( Base `  A
)  =  ( Base `  ( G sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
>. ) ) )
6 baseid 13466 . . 3  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
7 basendx 13469 . . . 4  |-  ( Base `  ndx )  =  1
8 1re 9046 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
9 1lt3 10100 . . . . . 6  |-  1  <  3
108, 9ltneii 9142 . . . . 5  |-  1  =/=  3
11 mulrndx 13529 . . . . 5  |-  ( .r
`  ndx )  =  3
1210, 11neeqtrri 2590 . . . 4  |-  1  =/=  ( .r `  ndx )
137, 12eqnetri 2584 . . 3  |-  ( Base `  ndx )  =/=  ( .r `  ndx )
146, 13setsnid 13464 . 2  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  ( G sSet  <.
( .r `  ndx ) ,  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) >. )
)
155, 14syl6reqr 2455 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  ( Base `  G
)  =  ( Base `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   <.cop 3777   <.cotp 3778    X. cxp 4835   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   1c1 8947   3c3 10006   ndxcnx 13421   sSet csts 13422   Basecbs 13424   .rcmulr 13485   freeLMod cfrlm 27080   maMul cmmul 27307   Mat cmat 27308
This theorem is referenced by:  mat0  27340  matinvg  27341  matbas2  27343  matplusg2  27345  matvsca2  27346  matlmod  27347
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-ot 3784  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-mulr 13498  df-mat 27310
  Copyright terms: Public domain W3C validator