MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matbas Structured version   Unicode version

Theorem matbas 18409
Description: The matrix ring has the same base set as its underlying group. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
matbas.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
matbas.g  |-  G  =  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )
Assertion
Ref Expression
matbas  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  ( Base `  G
)  =  ( Base `  A ) )

Proof of Theorem matbas
StepHypRef Expression
1 matbas.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 matbas.g . . . 4  |-  G  =  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )
3 eqid 2450 . . . 4  |-  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
41, 2, 3matval 18406 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  A  =  ( G sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) >. )
)
54fveq2d 5779 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  ( Base `  A
)  =  ( Base `  ( G sSet  <. ( .r `  ndx ) ,  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
>. ) ) )
6 baseid 14308 . . 3  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
7 basendx 14311 . . . 4  |-  ( Base `  ndx )  =  1
8 1re 9472 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
9 1lt3 10577 . . . . . 6  |-  1  <  3
108, 9ltneii 9574 . . . . 5  |-  1  =/=  3
11 mulrndx 14371 . . . . 5  |-  ( .r
`  ndx )  =  3
1210, 11neeqtrri 2744 . . . 4  |-  1  =/=  ( .r `  ndx )
137, 12eqnetri 2741 . . 3  |-  ( Base `  ndx )  =/=  ( .r `  ndx )
146, 13setsnid 14304 . 2  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  ( G sSet  <.
( .r `  ndx ) ,  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) >. )
)
155, 14syl6reqr 2509 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  V )  ->  ( Base `  G
)  =  ( Base `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1757   <.cop 3967   <.cotp 3969    X. cxp 4922   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   Fincfn 7396   1c1 9370   3c3 10459   ndxcnx 14259   sSet csts 14260   Basecbs 14262   .rcmulr 14327   freeLMod cfrlm 18266   maMul cmmul 18374   Mat cmat 18375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-ot 3970  df-uni 4176  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-er 7187  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-ndx 14265  df-slot 14266  df-base 14267  df-sets 14268  df-mulr 14340  df-mat 18377
This theorem is referenced by:  mat0  18413  matinvg  18414  matbas2  18417  matplusg2  18423  matvsca2  18424  matlmod  18425  matsubg  30990  matsubgcell  30992  matgsum  31001
  Copyright terms: Public domain W3C validator