Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matassa Structured version   Unicode version

Theorem matassa 19238
 Description: Existence of the matrix algebra, see also the statement in [Lang] p. 505:"Then Matn(R) is an algebra over R" . (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
matassa.a Mat
Assertion
Ref Expression
matassa AssAlg

Proof of Theorem matassa
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 matassa.a . . 3 Mat
2 eqid 2402 . . 3
31, 2matbas2 19215 . 2
41matsca2 19214 . 2 Scalar
5 eqidd 2403 . 2
6 eqidd 2403 . 2
7 eqid 2402 . . 3 maMul maMul
81, 7matmulr 19232 . 2 maMul
9 crngring 17529 . . 3
101matlmod 19223 . . 3
119, 10sylan2 472 . 2
121matring 19237 . . 3
139, 12sylan2 472 . 2
14 simpr 459 . 2
159ad2antlr 725 . . . 4
16 simpll 752 . . . 4
17 eqid 2402 . . . 4
18 simpr1 1003 . . . 4
19 simpr2 1004 . . . 4
20 simpr3 1005 . . . 4
212, 15, 7, 16, 16, 16, 17, 18, 19, 20mamuvs1 19199 . . 3 maMul maMul
223adantr 463 . . . . . 6
2319, 22eleqtrd 2492 . . . . 5
24 eqid 2402 . . . . . 6
25 eqid 2402 . . . . . 6
26 eqid 2402 . . . . . 6
271, 24, 2, 25, 17, 26matvsca2 19222 . . . . 5
2818, 23, 27syl2anc 659 . . . 4
2928oveq1d 6293 . . 3 maMul maMul
302, 15, 7, 16, 16, 16, 19, 20mamucl 19195 . . . . 5 maMul
3130, 22eleqtrd 2492 . . . 4 maMul
321, 24, 2, 25, 17, 26matvsca2 19222 . . . 4 maMul maMul maMul
3318, 31, 32syl2anc 659 . . 3 maMul maMul
3421, 29, 333eqtr4d 2453 . 2 maMul maMul
35 simplr 754 . . . 4
3635, 2, 17, 7, 16, 16, 16, 19, 18, 20mamuvs2 19200 . . 3 maMul maMul
3720, 22eleqtrd 2492 . . . . 5
381, 24, 2, 25, 17, 26matvsca2 19222 . . . . 5
3918, 37, 38syl2anc 659 . . . 4
4039oveq2d 6294 . . 3 maMul maMul
4136, 40, 333eqtr4d 2453 . 2 maMul maMul
423, 4, 5, 6, 8, 11, 13, 14, 34, 41isassad 18292 1 AssAlg
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842  csn 3972  cotp 3980   cxp 4821  cfv 5569  (class class class)co 6278   cof 6519   cmap 7457  cfn 7554  cbs 14841  cmulr 14910  cvsca 14913  crg 17518  ccrg 17519  clmod 17832  AssAlgcasa 18278   maMul cmmul 19177   Mat cmat 19201 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-ot 3981  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-hash 12453  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-hom 14933  df-cco 14934  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-prds 15062  df-pws 15064  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-mhm 16290  df-submnd 16291  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-mulg 16384  df-subg 16522  df-ghm 16589  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-abl 17125  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-cring 17521  df-subrg 17747  df-lmod 17834  df-lss 17899  df-sra 18138  df-rgmod 18139  df-assa 18281  df-dsmm 19061  df-frlm 19076  df-mamu 19178  df-mat 19202 This theorem is referenced by:  matinv  19471  cpmadugsumlemB  19667  cpmadugsumlemC  19668  cayhamlem2  19677
 Copyright terms: Public domain W3C validator