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Theorem mat2pmatghm 19398
Description: The transformation of matrices into polynomial matrices is an additive group homomorphism. (Contributed by AV, 28-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat2pmatbas.t  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
mat2pmatbas.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mat2pmatbas.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mat2pmatbas.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
mat2pmatbas.c  |-  C  =  ( N Mat  P )
mat2pmatbas0.h  |-  H  =  ( Base `  C
)
Assertion
Ref Expression
mat2pmatghm  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  T  e.  ( A  GrpHom  C ) )

Proof of Theorem mat2pmatghm
Dummy variables  x  y  i  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat2pmatbas.b . 2  |-  B  =  ( Base `  A
)
2 mat2pmatbas0.h . 2  |-  H  =  ( Base `  C
)
3 eqid 2454 . 2  |-  ( +g  `  A )  =  ( +g  `  A )
4 eqid 2454 . 2  |-  ( +g  `  C )  =  ( +g  `  C )
5 mat2pmatbas.a . . 3  |-  A  =  ( N Mat  R )
65matgrp 19099 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Grp )
7 mat2pmatbas.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
8 mat2pmatbas.c . . . 4  |-  C  =  ( N Mat  P )
97, 8pmatring 19361 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  C  e.  Ring )
10 ringgrp 17398 . . 3  |-  ( C  e.  Ring  ->  C  e. 
Grp )
119, 10syl 16 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  C  e.  Grp )
12 mat2pmatbas.t . . 3  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
1312, 5, 1, 7, 8, 2mat2pmatf 19396 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  T : B --> H )
14 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
15 simpl 455 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  N  e.  Fin )
1615adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  N  e.  Fin )
177ply1ring 18484 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
1817ad2antlr 724 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  P  e.  Ring )
19 simp1lr 1058 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
20 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
21 simp2 995 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  N )
22 simp3 996 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
23 simp1rl 1059 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  x  e.  B )
245, 20, 1, 21, 22, 23matecld 19095 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( i x j )  e.  ( Base `  R ) )
25 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  (algSc `  P )  =  (algSc `  P )
267, 25, 20, 14ply1sclcl 18522 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i x j )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
(algSc `  P ) `  ( i x j ) )  e.  (
Base `  P )
)
2719, 24, 26syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( (algSc `  P
) `  ( i
x j ) )  e.  ( Base `  P
) )
288, 14, 2, 16, 18, 27matbas2d 19092 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  ( i x j ) ) )  e.  H )
29 simp1rr 1060 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  y  e.  B )
305, 20, 1, 21, 22, 29matecld 19095 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( i y j )  e.  ( Base `  R ) )
317, 25, 20, 14ply1sclcl 18522 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i y j )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
(algSc `  P ) `  ( i y j ) )  e.  (
Base `  P )
)
3219, 30, 31syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( (algSc `  P
) `  ( i
y j ) )  e.  ( Base `  P
) )
338, 14, 2, 16, 18, 32matbas2d 19092 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  ( i y j ) ) )  e.  H )
34 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
358, 2, 4, 34matplusg2 19096 . . . . 5  |-  ( ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P
) `  ( i
x j ) ) )  e.  H  /\  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P
) `  ( i
y j ) ) )  e.  H )  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i x j ) ) ) ( +g  `  C ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) ) )  =  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i x j ) ) )  oF ( +g  `  P
) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) ) ) )
3628, 33, 35syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P
) `  ( i
x j ) ) ) ( +g  `  C
) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) ) )  =  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i x j ) ) )  oF ( +g  `  P
) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) ) ) )
37 fvex 5858 . . . . . . 7  |-  ( (algSc `  P ) `  (
i x j ) )  e.  _V
3837a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( (algSc `  P
) `  ( i
x j ) )  e.  _V )
39 fvex 5858 . . . . . . 7  |-  ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) )  e.  _V
4039a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( (algSc `  P
) `  ( i
y j ) )  e.  _V )
41 eqidd 2455 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  ( i x j ) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P
) `  ( i
x j ) ) ) )
42 eqidd 2455 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  ( i y j ) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P
) `  ( i
y j ) ) ) )
4316, 16, 38, 40, 41, 42offval22 6852 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P
) `  ( i
x j ) ) )  oF ( +g  `  P ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P
) `  ( i
y j ) ) ) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( ( (algSc `  P
) `  ( i
x j ) ) ( +g  `  P
) ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) ) ) )
44 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)
45443ad2ant1 1015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )
46 3simpc 993 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )
47 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
485, 1, 3, 47matplusgcell 19102 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( i ( x ( +g  `  A
) y ) j )  =  ( ( i x j ) ( +g  `  R
) ( i y j ) ) )
4945, 46, 48syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( i ( x ( +g  `  A
) y ) j )  =  ( ( i x j ) ( +g  `  R
) ( i y j ) ) )
507ply1sca 18489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  =  (Scalar `  P )
)
5150adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  =  (Scalar `  P
) )
5251fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( +g  `  R )  =  ( +g  `  (Scalar `  P ) ) )
5352oveqd 6287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( i x j ) ( +g  `  R ) ( i y j ) )  =  ( ( i x j ) ( +g  `  (Scalar `  P ) ) ( i y j ) ) )
5453adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( i x j ) ( +g  `  R
) ( i y j ) )  =  ( ( i x j ) ( +g  `  (Scalar `  P )
) ( i y j ) ) )
55543ad2ant1 1015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( ( i x j ) ( +g  `  R ) ( i y j ) )  =  ( ( i x j ) ( +g  `  (Scalar `  P ) ) ( i y j ) ) )
5649, 55eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( i ( x ( +g  `  A
) y ) j )  =  ( ( i x j ) ( +g  `  (Scalar `  P ) ) ( i y j ) ) )
5756fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( (algSc `  P
) `  ( i
( x ( +g  `  A ) y ) j ) )  =  ( (algSc `  P
) `  ( (
i x j ) ( +g  `  (Scalar `  P ) ) ( i y j ) ) ) )
58 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
59183ad2ant1 1015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  P  e.  Ring )
607ply1lmod 18488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
LMod )
6160ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  P  e.  LMod )
62613ad2ant1 1015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  P  e.  LMod )
6325, 58, 59, 62asclghm 18182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (algSc `  P )  e.  ( (Scalar `  P
)  GrpHom  P ) )
6451eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
(Scalar `  P )  =  R )
6564fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Base `  (Scalar `  P
) )  =  (
Base `  R )
)
6665eleq2d 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( i x j )  e.  (
Base `  (Scalar `  P
) )  <->  ( i
x j )  e.  ( Base `  R
) ) )
6766adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( i x j )  e.  ( Base `  (Scalar `  P )
)  <->  ( i x j )  e.  (
Base `  R )
) )
68673ad2ant1 1015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( ( i x j )  e.  (
Base `  (Scalar `  P
) )  <->  ( i
x j )  e.  ( Base `  R
) ) )
6924, 68mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( i x j )  e.  ( Base `  (Scalar `  P )
) )
7065eleq2d 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( i y j )  e.  (
Base `  (Scalar `  P
) )  <->  ( i
y j )  e.  ( Base `  R
) ) )
7170adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( i y j )  e.  ( Base `  (Scalar `  P )
)  <->  ( i y j )  e.  (
Base `  R )
) )
72713ad2ant1 1015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( ( i y j )  e.  (
Base `  (Scalar `  P
) )  <->  ( i
y j )  e.  ( Base `  R
) ) )
7330, 72mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( i y j )  e.  ( Base `  (Scalar `  P )
) )
74 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  (Scalar `  P )
)  =  ( Base `  (Scalar `  P )
)
75 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  (Scalar `  P )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  P )
)
7674, 75, 34ghmlin 16471 . . . . . . . 8  |-  ( ( (algSc `  P )  e.  ( (Scalar `  P
)  GrpHom  P )  /\  ( i x j )  e.  ( Base `  (Scalar `  P )
)  /\  ( i
y j )  e.  ( Base `  (Scalar `  P ) ) )  ->  ( (algSc `  P ) `  (
( i x j ) ( +g  `  (Scalar `  P ) ) ( i y j ) ) )  =  ( ( (algSc `  P
) `  ( i
x j ) ) ( +g  `  P
) ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) ) )
7763, 69, 73, 76syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( (algSc `  P
) `  ( (
i x j ) ( +g  `  (Scalar `  P ) ) ( i y j ) ) )  =  ( ( (algSc `  P
) `  ( i
x j ) ) ( +g  `  P
) ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) ) )
7857, 77eqtr2d 2496 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( ( (algSc `  P ) `  (
i x j ) ) ( +g  `  P
) ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) )  =  ( (algSc `  P ) `  ( i ( x ( +g  `  A
) y ) j ) ) )
7978mpt2eq3dva 6334 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( ( (algSc `  P
) `  ( i
x j ) ) ( +g  `  P
) ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P
) `  ( i
( x ( +g  `  A ) y ) j ) ) ) )
8043, 79eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P
) `  ( i
x j ) ) )  oF ( +g  `  P ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P
) `  ( i
y j ) ) ) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  ( i ( x ( +g  `  A
) y ) j ) ) ) )
8136, 80eqtr2d 2496 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  ( i ( x ( +g  `  A
) y ) j ) ) )  =  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i x j ) ) ) ( +g  `  C ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) ) ) )
82 simpl 455 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
835matring 19112 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
84 ringmnd 17402 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Ring  ->  A  e. 
Mnd )
8583, 84syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Mnd )
8685anim1i 566 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( A  e.  Mnd  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
) )
87 3anass 975 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Mnd  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  <->  ( A  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) ) )
8886, 87sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( A  e.  Mnd  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B ) )
891, 3mndcl 16128 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Mnd  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  A ) y )  e.  B )
9088, 89syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x ( +g  `  A
) y )  e.  B )
91 df-3an 973 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  (
x ( +g  `  A
) y )  e.  B )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x ( +g  `  A
) y )  e.  B ) )
9282, 90, 91sylanbrc 662 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  ( x
( +g  `  A ) y )  e.  B
) )
9312, 5, 1, 7, 25mat2pmatval 19392 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  (
x ( +g  `  A
) y )  e.  B )  ->  ( T `  ( x
( +g  `  A ) y ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P
) `  ( i
( x ( +g  `  A ) y ) j ) ) ) )
9492, 93syl 16 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( T `  ( x
( +g  `  A ) y ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P
) `  ( i
( x ( +g  `  A ) y ) j ) ) ) )
95 simpl 455 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B )
9695anim2i 567 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  B
) )
97 df-3an 973 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  x  e.  B )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  B ) )
9896, 97sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  x  e.  B ) )
9912, 5, 1, 7, 25mat2pmatval 19392 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  x  e.  B )  ->  ( T `  x )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i x j ) ) ) )
10098, 99syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( T `  x )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i x j ) ) ) )
101 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
102101anim2i 567 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  y  e.  B
) )
103 df-3an 973 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  y  e.  B )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  y  e.  B ) )
104102, 103sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  y  e.  B ) )
10512, 5, 1, 7, 25mat2pmatval 19392 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  y  e.  B )  ->  ( T `  y )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) ) )
106104, 105syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( T `  y )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) ) )
107100, 106oveq12d 6288 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( T `  x
) ( +g  `  C
) ( T `  y ) )  =  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i x j ) ) ) ( +g  `  C ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) ) ) )
10881, 94, 1073eqtr4d 2505 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( T `  ( x
( +g  `  A ) y ) )  =  ( ( T `  x ) ( +g  `  C ) ( T `
 y ) ) )
1091, 2, 3, 4, 6, 11, 13, 108isghmd 16475 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  T  e.  ( A  GrpHom  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    |-> cmpt2 6272    oFcof 6511   Fincfn 7509   Basecbs 14716   +g cplusg 14784  Scalarcsca 14787   Mndcmnd 16118   Grpcgrp 16252    GrpHom cghm 16463   Ringcrg 17393   LModclmod 17707  algSccascl 18155  Poly1cpl1 18411   Mat cmat 19076   matToPolyMat cmat2pmat 19372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-ot 4025  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-ofr 6514  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-hash 12388  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-hom 14808  df-cco 14809  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-prds 14937  df-pws 14939  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-mhm 16165  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-mulg 16259  df-subg 16397  df-ghm 16464  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-subrg 17622  df-lmod 17709  df-lss 17774  df-sra 18013  df-rgmod 18014  df-ascl 18158  df-psr 18200  df-mpl 18202  df-opsr 18204  df-psr1 18414  df-ply1 18416  df-dsmm 18936  df-frlm 18951  df-mamu 19053  df-mat 19077  df-mat2pmat 19375
This theorem is referenced by:  mat2pmatrhm  19402  0mat2pmat  19404  m2cpmghm  19412  pm2mp  19493  cayhamlem4  19556
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