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Theorem mat2pmatghm 19038
Description: The transformation of matrices into polynomial matrices is an additive group homomorphism. (Contributed by AV, 28-Oct-2019.) (Proof shortened by AV, 28-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat2pmatbas.t  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
mat2pmatbas.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mat2pmatbas.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mat2pmatbas.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
mat2pmatbas.c  |-  C  =  ( N Mat  P )
mat2pmatbas0.h  |-  H  =  ( Base `  C
)
Assertion
Ref Expression
mat2pmatghm  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  T  e.  ( A  GrpHom  C ) )

Proof of Theorem mat2pmatghm
Dummy variables  x  y  i  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat2pmatbas.b . 2  |-  B  =  ( Base `  A
)
2 mat2pmatbas0.h . 2  |-  H  =  ( Base `  C
)
3 eqid 2467 . 2  |-  ( +g  `  A )  =  ( +g  `  A )
4 eqid 2467 . 2  |-  ( +g  `  C )  =  ( +g  `  C )
5 mat2pmatbas.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
65matrng 18752 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
7 rnggrp 17017 . . 3  |-  ( A  e.  Ring  ->  A  e. 
Grp )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Grp )
9 mat2pmatbas.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
10 mat2pmatbas.c . . . 4  |-  C  =  ( N Mat  P )
119, 10pmatrng 19001 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  C  e.  Ring )
12 rnggrp 17017 . . 3  |-  ( C  e.  Ring  ->  C  e. 
Grp )
1311, 12syl 16 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  C  e.  Grp )
14 mat2pmatbas.t . . 3  |-  T  =  ( N matToPolyMat  R )
1514, 5, 1, 9, 10, 2mat2pmatf 19036 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  T : B --> H )
16 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
17 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  N  e.  Fin )
1817adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  N  e.  Fin )
199ply1rng 18100 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
2019adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  P  e.  Ring )
2120adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  P  e.  Ring )
22 simp1lr 1060 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
23 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
24 simp2 997 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  N )
25 simp3 998 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
26 simp1rl 1061 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  x  e.  B )
275, 23, 1, 24, 25, 26matecld 18735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( i x j )  e.  ( Base `  R ) )
28 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  (algSc `  P )  =  (algSc `  P )
299, 28, 23, 16ply1sclcl 18138 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i x j )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
(algSc `  P ) `  ( i x j ) )  e.  (
Base `  P )
)
3022, 27, 29syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( (algSc `  P
) `  ( i
x j ) )  e.  ( Base `  P
) )
3110, 16, 2, 18, 21, 30matbas2d 18732 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  ( i x j ) ) )  e.  H )
32 simp1rr 1062 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  y  e.  B )
335, 23, 1, 24, 25, 32matecld 18735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( i y j )  e.  ( Base `  R ) )
349, 28, 23, 16ply1sclcl 18138 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i y j )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
(algSc `  P ) `  ( i y j ) )  e.  (
Base `  P )
)
3522, 33, 34syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( (algSc `  P
) `  ( i
y j ) )  e.  ( Base `  P
) )
3610, 16, 2, 18, 21, 35matbas2d 18732 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  ( i y j ) ) )  e.  H )
37 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
3810, 2, 4, 37matplusg2 18736 . . . . 5  |-  ( ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P
) `  ( i
x j ) ) )  e.  H  /\  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P
) `  ( i
y j ) ) )  e.  H )  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i x j ) ) ) ( +g  `  C ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) ) )  =  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i x j ) ) )  oF ( +g  `  P
) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) ) ) )
3931, 36, 38syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P
) `  ( i
x j ) ) ) ( +g  `  C
) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) ) )  =  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i x j ) ) )  oF ( +g  `  P
) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) ) ) )
40 fvex 5876 . . . . . . 7  |-  ( (algSc `  P ) `  (
i x j ) )  e.  _V
4140a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( (algSc `  P
) `  ( i
x j ) )  e.  _V )
42 fvex 5876 . . . . . . 7  |-  ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) )  e.  _V
4342a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( (algSc `  P
) `  ( i
y j ) )  e.  _V )
44 eqidd 2468 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  ( i x j ) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P
) `  ( i
x j ) ) ) )
45 eqidd 2468 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  ( i y j ) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P
) `  ( i
y j ) ) ) )
4618, 18, 41, 43, 44, 45offval22 6863 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P
) `  ( i
x j ) ) )  oF ( +g  `  P ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P
) `  ( i
y j ) ) ) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( ( (algSc `  P
) `  ( i
x j ) ) ( +g  `  P
) ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) ) ) )
47 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)
48473ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )
49 3simpc 995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( i  e.  N  /\  j  e.  N
) )
50 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
515, 1, 3, 50matplusgcell 18742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( i  e.  N  /\  j  e.  N ) )  -> 
( i ( x ( +g  `  A
) y ) j )  =  ( ( i x j ) ( +g  `  R
) ( i y j ) ) )
5248, 49, 51syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( i ( x ( +g  `  A
) y ) j )  =  ( ( i x j ) ( +g  `  R
) ( i y j ) ) )
539ply1sca 18105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  =  (Scalar `  P )
)
5453adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  =  (Scalar `  P
) )
5554fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( +g  `  R )  =  ( +g  `  (Scalar `  P ) ) )
5655oveqd 6302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( i x j ) ( +g  `  R ) ( i y j ) )  =  ( ( i x j ) ( +g  `  (Scalar `  P ) ) ( i y j ) ) )
5756adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( i x j ) ( +g  `  R
) ( i y j ) )  =  ( ( i x j ) ( +g  `  (Scalar `  P )
) ( i y j ) ) )
58573ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( ( i x j ) ( +g  `  R ) ( i y j ) )  =  ( ( i x j ) ( +g  `  (Scalar `  P ) ) ( i y j ) ) )
5952, 58eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( i ( x ( +g  `  A
) y ) j )  =  ( ( i x j ) ( +g  `  (Scalar `  P ) ) ( i y j ) ) )
6059fveq2d 5870 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( (algSc `  P
) `  ( i
( x ( +g  `  A ) y ) j ) )  =  ( (algSc `  P
) `  ( (
i x j ) ( +g  `  (Scalar `  P ) ) ( i y j ) ) ) )
61 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
62213ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  P  e.  Ring )
639ply1lmod 18104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
LMod )
6463adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  P  e.  LMod )
6564adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  P  e.  LMod )
66653ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  P  e.  LMod )
6728, 61, 62, 66asclghm 17798 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (algSc `  P )  e.  ( (Scalar `  P
)  GrpHom  P ) )
6854eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
(Scalar `  P )  =  R )
6968fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( Base `  (Scalar `  P
) )  =  (
Base `  R )
)
7069eleq2d 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( i x j )  e.  (
Base `  (Scalar `  P
) )  <->  ( i
x j )  e.  ( Base `  R
) ) )
7170adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( i x j )  e.  ( Base `  (Scalar `  P )
)  <->  ( i x j )  e.  (
Base `  R )
) )
72713ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( ( i x j )  e.  (
Base `  (Scalar `  P
) )  <->  ( i
x j )  e.  ( Base `  R
) ) )
7327, 72mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( i x j )  e.  ( Base `  (Scalar `  P )
) )
7469eleq2d 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( i y j )  e.  (
Base `  (Scalar `  P
) )  <->  ( i
y j )  e.  ( Base `  R
) ) )
7574adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( i y j )  e.  ( Base `  (Scalar `  P )
)  <->  ( i y j )  e.  (
Base `  R )
) )
76753ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( ( i y j )  e.  (
Base `  (Scalar `  P
) )  <->  ( i
y j )  e.  ( Base `  R
) ) )
7733, 76mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( i y j )  e.  ( Base `  (Scalar `  P )
) )
78 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  (Scalar `  P )
)  =  ( Base `  (Scalar `  P )
)
79 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  (Scalar `  P )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  P )
)
8078, 79, 37ghmlin 16086 . . . . . . . 8  |-  ( ( (algSc `  P )  e.  ( (Scalar `  P
)  GrpHom  P )  /\  ( i x j )  e.  ( Base `  (Scalar `  P )
)  /\  ( i
y j )  e.  ( Base `  (Scalar `  P ) ) )  ->  ( (algSc `  P ) `  (
( i x j ) ( +g  `  (Scalar `  P ) ) ( i y j ) ) )  =  ( ( (algSc `  P
) `  ( i
x j ) ) ( +g  `  P
) ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) ) )
8167, 73, 77, 80syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( (algSc `  P
) `  ( (
i x j ) ( +g  `  (Scalar `  P ) ) ( i y j ) ) )  =  ( ( (algSc `  P
) `  ( i
x j ) ) ( +g  `  P
) ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) ) )
8260, 81eqtr2d 2509 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e. 
Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( ( (algSc `  P ) `  (
i x j ) ) ( +g  `  P
) ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) )  =  ( (algSc `  P ) `  ( i ( x ( +g  `  A
) y ) j ) ) )
8382mpt2eq3dva 6346 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( ( (algSc `  P
) `  ( i
x j ) ) ( +g  `  P
) ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P
) `  ( i
( x ( +g  `  A ) y ) j ) ) ) )
8446, 83eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P
) `  ( i
x j ) ) )  oF ( +g  `  P ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P
) `  ( i
y j ) ) ) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  ( i ( x ( +g  `  A
) y ) j ) ) ) )
8539, 84eqtr2d 2509 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  ( i ( x ( +g  `  A
) y ) j ) ) )  =  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i x j ) ) ) ( +g  `  C ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) ) ) )
86 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring ) )
87 rngmnd 17021 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Ring  ->  A  e. 
Mnd )
886, 87syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Mnd )
8988anim1i 568 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( A  e.  Mnd  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
) )
90 3anass 977 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Mnd  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  <->  ( A  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) ) )
9189, 90sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( A  e.  Mnd  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B ) )
921, 3mndcl 15740 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Mnd  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  A ) y )  e.  B )
9391, 92syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x ( +g  `  A
) y )  e.  B )
94 df-3an 975 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  (
x ( +g  `  A
) y )  e.  B )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  (
x ( +g  `  A
) y )  e.  B ) )
9586, 93, 94sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  ( x
( +g  `  A ) y )  e.  B
) )
9614, 5, 1, 9, 28mat2pmatval 19032 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  (
x ( +g  `  A
) y )  e.  B )  ->  ( T `  ( x
( +g  `  A ) y ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P
) `  ( i
( x ( +g  `  A ) y ) j ) ) ) )
9795, 96syl 16 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( T `  ( x
( +g  `  A ) y ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P
) `  ( i
( x ( +g  `  A ) y ) j ) ) ) )
98 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B )
9998anim2i 569 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  B
) )
100 df-3an 975 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  x  e.  B )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  B ) )
10199, 100sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  x  e.  B ) )
10214, 5, 1, 9, 28mat2pmatval 19032 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  x  e.  B )  ->  ( T `  x )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i x j ) ) ) )
103101, 102syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( T `  x )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i x j ) ) ) )
104 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
105104anim2i 569 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  y  e.  B
) )
106 df-3an 975 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  y  e.  B )  <->  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  y  e.  B ) )
107105, 106sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  y  e.  B ) )
10814, 5, 1, 9, 28mat2pmatval 19032 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring  /\  y  e.  B )  ->  ( T `  y )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) ) )
109107, 108syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( T `  y )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) ) )
110103, 109oveq12d 6303 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( T `  x
) ( +g  `  C
) ( T `  y ) )  =  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i x j ) ) ) ( +g  `  C ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( (algSc `  P ) `  (
i y j ) ) ) ) )
11185, 97, 1103eqtr4d 2518 . 2  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  ( T `  ( x
( +g  `  A ) y ) )  =  ( ( T `  x ) ( +g  `  C ) ( T `
 y ) ) )
1121, 2, 3, 4, 8, 13, 15, 111isghmd 16090 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  T  e.  ( A  GrpHom  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    |-> cmpt2 6287    oFcof 6523   Fincfn 7517   Basecbs 14493   +g cplusg 14558  Scalarcsca 14561   Mndcmnd 15729   Grpcgrp 15730    GrpHom cghm 16078   Ringcrg 17012   LModclmod 17324  algSccascl 17771  Poly1cpl1 18027   Mat cmat 18716   matToPolyMat cmat2pmat 19012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-hash 12375  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-hom 14582  df-cco 14583  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-prds 14706  df-pws 14708  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-mnd 15735  df-mhm 15789  df-submnd 15790  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-sbg 15873  df-mulg 15874  df-subg 16012  df-ghm 16079  df-cntz 16169  df-cmn 16615  df-abl 16616  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-rng 17014  df-subrg 17239  df-lmod 17326  df-lss 17391  df-sra 17630  df-rgmod 17631  df-ascl 17774  df-psr 17816  df-mpl 17818  df-opsr 17820  df-psr1 18030  df-ply1 18032  df-dsmm 18570  df-frlm 18585  df-mamu 18693  df-mat 18717  df-mat2pmat 19015
This theorem is referenced by:  mat2pmatrhm  19042  0mat2pmat  19044  m2cpmghm  19052  pm2mp  19133  cayhamlem4  19196
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