MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1ov Structured version   Unicode version

Theorem mat1ov 18457
Description: Entries of an identity matrix, deduction form. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mat1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mat1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mat1ov.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mat1ov.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mat1ov.i  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
mat1ov.j  |-  ( ph  ->  J  e.  N )
mat1ov.u  |-  U  =  ( 1r `  A
)
Assertion
Ref Expression
mat1ov  |-  ( ph  ->  ( I U J )  =  if ( I  =  J ,  .1.  ,  .0.  ) )

Proof of Theorem mat1ov
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat1ov.u . . 3  |-  U  =  ( 1r `  A
)
2 mat1ov.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
3 mat1ov.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 mat1.a . . . . 5  |-  A  =  ( N Mat  R )
5 mat1.o . . . . 5  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
6 mat1.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
74, 5, 6mat1 18456 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  A
)  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) )
82, 3, 7syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1r `  A
)  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) )
91, 8syl5eq 2505 . 2  |-  ( ph  ->  U  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) )
10 eqeq12 2471 . . . 4  |-  ( ( i  =  I  /\  j  =  J )  ->  ( i  =  j  <-> 
I  =  J ) )
1110ifbid 3914 . . 3  |-  ( ( i  =  I  /\  j  =  J )  ->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( I  =  J ,  .1.  ,  .0.  )
)
1211adantl 466 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( i  =  I  /\  j  =  J ) )  ->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )  =  if (
I  =  J ,  .1.  ,  .0.  ) )
13 mat1ov.i . 2  |-  ( ph  ->  I  e.  N )
14 mat1ov.j . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  N )
15 fvex 5804 . . . . 5  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
165, 15eqeltri 2536 . . . 4  |-  .1.  e.  _V
17 fvex 5804 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
186, 17eqeltri 2536 . . . 4  |-  .0.  e.  _V
1916, 18ifex 3961 . . 3  |-  if ( I  =  J ,  .1.  ,  .0.  )  e. 
_V
2019a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  if ( I  =  J ,  .1.  ,  .0.  )  e.  _V )
219, 12, 13, 14, 20ovmpt2d 6323 1  |-  ( ph  ->  ( I U J )  =  if ( I  =  J ,  .1.  ,  .0.  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3072   ifcif 3894   ` cfv 5521  (class class class)co 6195    |-> cmpt2 6197   Fincfn 7415   0gc0g 14492   1rcur 16720   Ringcrg 16763   Mat cmat 18400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-ot 3989  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-of 6425  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-supp 6796  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-ixp 7369  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-fsupp 7727  df-sup 7797  df-oi 7830  df-card 8215  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-seq 11919  df-hash 12216  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-ip 14370  df-tset 14371  df-ple 14372  df-ds 14374  df-hom 14376  df-cco 14377  df-0g 14494  df-gsum 14495  df-prds 14500  df-pws 14502  df-mre 14638  df-mrc 14639  df-acs 14641  df-mnd 15529  df-mhm 15578  df-submnd 15579  df-grp 15659  df-minusg 15660  df-sbg 15661  df-mulg 15662  df-subg 15792  df-ghm 15859  df-cntz 15949  df-cmn 16395  df-abl 16396  df-mgp 16709  df-ur 16721  df-rng 16765  df-subrg 16981  df-lmod 17068  df-lss 17132  df-sra 17371  df-rgmod 17372  df-dsmm 18277  df-frlm 18292  df-mamu 18401  df-mat 18402
This theorem is referenced by:  ma1repveval  18504  1marepvmarrepid  18508  1marepvsma1  18516  mdet1  18534  mdetunilem8  18552  scmatel  31017  dmatid  31035  scmatid  31043  pmat1ovd  31170  mat2pmat1  31203  cpmat1dlem  31302  cpdmatlem2  31306  cpdmatlem3  31307  cpidmat  31314
  Copyright terms: Public domain W3C validator