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Theorem mat1mhm 18963
Description: There is a monoid homomorphism from the multiplicative group of a ring to the multiplicative group of the ring of matrices with dimension 1 over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1rhmval.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mat1rhmval.a  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
mat1rhmval.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mat1rhmval.o  |-  O  = 
<. E ,  E >.
mat1rhmval.f  |-  F  =  ( x  e.  K  |->  { <. O ,  x >. } )
mat1mhm.m  |-  M  =  (mulGrp `  R )
mat1mhm.n  |-  N  =  (mulGrp `  A )
Assertion
Ref Expression
mat1mhm  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  F  e.  ( M MndHom  N ) )
Distinct variable groups:    x, K    x, O    x, E    x, R    x, V    x, B    x, A    x, F    x, M    x, N

Proof of Theorem mat1mhm
Dummy variables  i 
j  w  y  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat1mhm.m . . . . 5  |-  M  =  (mulGrp `  R )
21ringmgp 17182 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  M  e. 
Mnd )
32adantr 465 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  M  e.  Mnd )
4 snfi 7598 . . . . 5  |-  { E }  e.  Fin
5 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  R  e.  Ring )
6 mat1rhmval.a . . . . . 6  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
76matring 18922 . . . . 5  |-  ( ( { E }  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
84, 5, 7sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  A  e.  Ring )
9 mat1mhm.n . . . . 5  |-  N  =  (mulGrp `  A )
109ringmgp 17182 . . . 4  |-  ( A  e.  Ring  ->  N  e. 
Mnd )
118, 10syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  N  e.  Mnd )
123, 11jca 532 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M  e.  Mnd  /\  N  e.  Mnd ) )
13 mat1rhmval.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
14 mat1rhmval.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  A
)
15 mat1rhmval.o . . . 4  |-  O  = 
<. E ,  E >.
16 mat1rhmval.f . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  K  |->  { <. O ,  x >. } )
1713, 6, 14, 15, 16mat1f 18961 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  F : K --> B )
18 ringmnd 17185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
1918adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  R  e.  Mnd )
2019adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  ->  R  e.  Mnd )
21 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  E  e.  V )
2221adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  ->  E  e.  V )
23 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  ->  R  e.  Ring )
24 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
25 snidg 4040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E  e.  V  ->  E  e.  { E } )
2625ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  ->  E  e.  { E } )
27 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  ->  w  e.  K )
2813, 6, 24, 15, 16mat1rhmcl 18960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  w  e.  K )  ->  ( F `  w )  e.  ( Base `  A
) )
2923, 22, 27, 28syl3anc 1229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( F `  w
)  e.  ( Base `  A ) )
306, 13, 24, 26, 26, 29matecld 18905 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( E ( F `
 w ) E )  e.  K )
31 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
y  e.  K )
3213, 6, 24, 15, 16mat1rhmcl 18960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  y  e.  K )  ->  ( F `  y )  e.  ( Base `  A
) )
3323, 22, 31, 32syl3anc 1229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( F `  y
)  e.  ( Base `  A ) )
346, 13, 24, 26, 26, 33matecld 18905 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( E ( F `
 y ) E )  e.  K )
35 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
3613, 35ringcl 17190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( E ( F `  w ) E )  e.  K  /\  ( E ( F `  y ) E )  e.  K )  -> 
( ( E ( F `  w ) E ) ( .r
`  R ) ( E ( F `  y ) E ) )  e.  K )
3723, 30, 34, 36syl3anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( ( E ( F `  w ) E ) ( .r
`  R ) ( E ( F `  y ) E ) )  e.  K )
38 oveq2 6289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  =  E  ->  ( E ( F `  w ) e )  =  ( E ( F `  w ) E ) )
39 oveq1 6288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  =  E  ->  (
e ( F `  y ) E )  =  ( E ( F `  y ) E ) )
4038, 39oveq12d 6299 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  E  ->  (
( E ( F `
 w ) e ) ( .r `  R ) ( e ( F `  y
) E ) )  =  ( ( E ( F `  w
) E ) ( .r `  R ) ( E ( F `
 y ) E ) ) )
4140adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  E  e.  V
)  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  /\  e  =  E )  ->  ( ( E ( F `  w ) e ) ( .r
`  R ) ( e ( F `  y ) E ) )  =  ( ( E ( F `  w ) E ) ( .r `  R
) ( E ( F `  y ) E ) ) )
4213, 20, 22, 37, 41gsumsnd 16957 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( R  gsumg  ( e  e.  { E }  |->  ( ( E ( F `  w ) e ) ( .r `  R
) ( e ( F `  y ) E ) ) ) )  =  ( ( E ( F `  w ) E ) ( .r `  R
) ( E ( F `  y ) E ) ) )
4313, 6, 14, 15, 16mat1rhmelval 18959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  w  e.  K )  ->  ( E ( F `  w ) E )  =  w )
4423, 22, 27, 43syl3anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( E ( F `
 w ) E )  =  w )
4513, 6, 14, 15, 16mat1rhmelval 18959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  y  e.  K )  ->  ( E ( F `  y ) E )  =  y )
4623, 22, 31, 45syl3anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( E ( F `
 y ) E )  =  y )
4744, 46oveq12d 6299 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( ( E ( F `  w ) E ) ( .r
`  R ) ( E ( F `  y ) E ) )  =  ( w ( .r `  R
) y ) )
4842, 47eqtrd 2484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( R  gsumg  ( e  e.  { E }  |->  ( ( E ( F `  w ) e ) ( .r `  R
) ( e ( F `  y ) E ) ) ) )  =  ( w ( .r `  R
) y ) )
4913, 6, 14, 15, 16mat1rhmcl 18960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  w  e.  K )  ->  ( F `  w )  e.  B )
5023, 22, 27, 49syl3anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( F `  w
)  e.  B )
5113, 6, 14, 15, 16mat1rhmcl 18960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  y  e.  K )  ->  ( F `  y )  e.  B )
5223, 22, 31, 51syl3anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( F `  y
)  e.  B )
5350, 52jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( ( F `  w )  e.  B  /\  ( F `  y
)  e.  B ) )
5425, 25jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( E  e.  V  ->  ( E  e.  { E }  /\  E  e.  { E } ) )
5554ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( E  e.  { E }  /\  E  e. 
{ E } ) )
56 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  A )  =  ( .r `  A
)
576, 14, 35, 56matmulcell 18924 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( F `  w
)  e.  B  /\  ( F `  y )  e.  B )  /\  ( E  e.  { E }  /\  E  e.  { E } ) )  -> 
( E ( ( F `  w ) ( .r `  A
) ( F `  y ) ) E )  =  ( R 
gsumg  ( e  e.  { E }  |->  ( ( E ( F `  w ) e ) ( .r `  R
) ( e ( F `  y ) E ) ) ) ) )
5823, 53, 55, 57syl3anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( E ( ( F `  w ) ( .r `  A
) ( F `  y ) ) E )  =  ( R 
gsumg  ( e  e.  { E }  |->  ( ( E ( F `  w ) e ) ( .r `  R
) ( e ( F `  y ) E ) ) ) ) )
5913, 35ringcl 17190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  w  e.  K  /\  y  e.  K )  ->  (
w ( .r `  R ) y )  e.  K )
6023, 27, 31, 59syl3anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( w ( .r
`  R ) y )  e.  K )
6113, 6, 14, 15, 16mat1rhmelval 18959 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  (
w ( .r `  R ) y )  e.  K )  -> 
( E ( F `
 ( w ( .r `  R ) y ) ) E )  =  ( w ( .r `  R
) y ) )
6223, 22, 60, 61syl3anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( E ( F `
 ( w ( .r `  R ) y ) ) E )  =  ( w ( .r `  R
) y ) )
6348, 58, 623eqtr4rd 2495 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( E ( F `
 ( w ( .r `  R ) y ) ) E )  =  ( E ( ( F `  w ) ( .r
`  A ) ( F `  y ) ) E ) )
64 oveq1 6288 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  E  ->  (
i ( F `  ( w ( .r
`  R ) y ) ) j )  =  ( E ( F `  ( w ( .r `  R
) y ) ) j ) )
65 oveq1 6288 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  E  ->  (
i ( ( F `
 w ) ( .r `  A ) ( F `  y
) ) j )  =  ( E ( ( F `  w
) ( .r `  A ) ( F `
 y ) ) j ) )
6664, 65eqeq12d 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  E  ->  (
( i ( F `
 ( w ( .r `  R ) y ) ) j )  =  ( i ( ( F `  w ) ( .r
`  A ) ( F `  y ) ) j )  <->  ( E
( F `  (
w ( .r `  R ) y ) ) j )  =  ( E ( ( F `  w ) ( .r `  A
) ( F `  y ) ) j ) ) )
67 oveq2 6289 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  E  ->  ( E ( F `  ( w ( .r
`  R ) y ) ) j )  =  ( E ( F `  ( w ( .r `  R
) y ) ) E ) )
68 oveq2 6289 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  E  ->  ( E ( ( F `
 w ) ( .r `  A ) ( F `  y
) ) j )  =  ( E ( ( F `  w
) ( .r `  A ) ( F `
 y ) ) E ) )
6967, 68eqeq12d 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  E  ->  (
( E ( F `
 ( w ( .r `  R ) y ) ) j )  =  ( E ( ( F `  w ) ( .r
`  A ) ( F `  y ) ) j )  <->  ( E
( F `  (
w ( .r `  R ) y ) ) E )  =  ( E ( ( F `  w ) ( .r `  A
) ( F `  y ) ) E ) ) )
7066, 692ralsng 4051 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  V  /\  E  e.  V )  ->  ( A. i  e. 
{ E } A. j  e.  { E }  ( i ( F `  ( w ( .r `  R
) y ) ) j )  =  ( i ( ( F `
 w ) ( .r `  A ) ( F `  y
) ) j )  <-> 
( E ( F `
 ( w ( .r `  R ) y ) ) E )  =  ( E ( ( F `  w ) ( .r
`  A ) ( F `  y ) ) E ) ) )
7121, 70sylancom 667 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( A. i  e.  { E } A. j  e.  { E }  ( i
( F `  (
w ( .r `  R ) y ) ) j )  =  ( i ( ( F `  w ) ( .r `  A
) ( F `  y ) ) j )  <->  ( E ( F `  ( w ( .r `  R
) y ) ) E )  =  ( E ( ( F `
 w ) ( .r `  A ) ( F `  y
) ) E ) ) )
7271adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( A. i  e. 
{ E } A. j  e.  { E }  ( i ( F `  ( w ( .r `  R
) y ) ) j )  =  ( i ( ( F `
 w ) ( .r `  A ) ( F `  y
) ) j )  <-> 
( E ( F `
 ( w ( .r `  R ) y ) ) E )  =  ( E ( ( F `  w ) ( .r
`  A ) ( F `  y ) ) E ) ) )
7363, 72mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  ->  A. i  e.  { E } A. j  e.  { E }  ( i
( F `  (
w ( .r `  R ) y ) ) j )  =  ( i ( ( F `  w ) ( .r `  A
) ( F `  y ) ) j ) )
7413, 6, 14, 15, 16mat1rhmcl 18960 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  (
w ( .r `  R ) y )  e.  K )  -> 
( F `  (
w ( .r `  R ) y ) )  e.  B )
7523, 22, 60, 74syl3anc 1229 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( F `  (
w ( .r `  R ) y ) )  e.  B )
768adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  ->  A  e.  Ring )
7714, 56ringcl 17190 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Ring  /\  ( F `  w )  e.  B  /\  ( F `  y )  e.  B )  ->  (
( F `  w
) ( .r `  A ) ( F `
 y ) )  e.  B )
7876, 50, 52, 77syl3anc 1229 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( ( F `  w ) ( .r
`  A ) ( F `  y ) )  e.  B )
796, 14eqmat 18903 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  (
w ( .r `  R ) y ) )  e.  B  /\  ( ( F `  w ) ( .r
`  A ) ( F `  y ) )  e.  B )  ->  ( ( F `
 ( w ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( F `  w ) ( .r
`  A ) ( F `  y ) )  <->  A. i  e.  { E } A. j  e. 
{ E }  (
i ( F `  ( w ( .r
`  R ) y ) ) j )  =  ( i ( ( F `  w
) ( .r `  A ) ( F `
 y ) ) j ) ) )
8075, 78, 79syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( ( F `  ( w ( .r
`  R ) y ) )  =  ( ( F `  w
) ( .r `  A ) ( F `
 y ) )  <->  A. i  e.  { E } A. j  e.  { E }  ( i
( F `  (
w ( .r `  R ) y ) ) j )  =  ( i ( ( F `  w ) ( .r `  A
) ( F `  y ) ) j ) ) )
8173, 80mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( F `  (
w ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( F `  w ) ( .r `  A
) ( F `  y ) ) )
8281ralrimivva 2864 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  A. w  e.  K  A. y  e.  K  ( F `  ( w ( .r
`  R ) y ) )  =  ( ( F `  w
) ( .r `  A ) ( F `
 y ) ) )
83 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
8413, 83ringidcl 17197 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  K )
8584adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( 1r `  R )  e.  K )
8613, 6, 14, 15, 16mat1rhmval 18958 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  ( 1r `  R )  e.  K )  ->  ( F `  ( 1r `  R ) )  =  { <. O ,  ( 1r `  R )
>. } )
8785, 86mpd3an3 1326 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( F `  ( 1r `  R ) )  =  { <. O ,  ( 1r `  R )
>. } )
886, 13, 15mat1dimid 18953 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( 1r `  A )  =  { <. O ,  ( 1r `  R )
>. } )
8987, 88eqtr4d 2487 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( F `  ( 1r `  R ) )  =  ( 1r `  A
) )
9017, 82, 893jca 1177 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( F : K --> B  /\  A. w  e.  K  A. y  e.  K  ( F `  ( w
( .r `  R
) y ) )  =  ( ( F `
 w ) ( .r `  A ) ( F `  y
) )  /\  ( F `  ( 1r `  R ) )  =  ( 1r `  A
) ) )
911, 13mgpbas 17125 . . 3  |-  K  =  ( Base `  M
)
929, 14mgpbas 17125 . . 3  |-  B  =  ( Base `  N
)
931, 35mgpplusg 17123 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( +g  `  M
)
949, 56mgpplusg 17123 . . 3  |-  ( .r
`  A )  =  ( +g  `  N
)
951, 83ringidval 17133 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  M
)
96 eqid 2443 . . . 4  |-  ( 1r
`  A )  =  ( 1r `  A
)
979, 96ringidval 17133 . . 3  |-  ( 1r
`  A )  =  ( 0g `  N
)
9891, 92, 93, 94, 95, 97ismhm 15946 . 2  |-  ( F  e.  ( M MndHom  N
)  <->  ( ( M  e.  Mnd  /\  N  e.  Mnd )  /\  ( F : K --> B  /\  A. w  e.  K  A. y  e.  K  ( F `  ( w
( .r `  R
) y ) )  =  ( ( F `
 w ) ( .r `  A ) ( F `  y
) )  /\  ( F `  ( 1r `  R ) )  =  ( 1r `  A
) ) ) )
9912, 90, 98sylanbrc 664 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  F  e.  ( M MndHom  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   {csn 4014   <.cop 4020    |-> cmpt 4495   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   Basecbs 14613   .rcmulr 14679    gsumg cgsu 14819   Mndcmnd 15897   MndHom cmhm 15942  mulGrpcmgp 17119   1rcur 17131   Ringcrg 17176   Mat cmat 18886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-ot 4023  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10986  df-uz 11092  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-seq 12089  df-hash 12387  df-struct 14615  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-ress 14620  df-plusg 14691  df-mulr 14692  df-sca 14694  df-vsca 14695  df-ip 14696  df-tset 14697  df-ple 14698  df-ds 14700  df-hom 14702  df-cco 14703  df-0g 14820  df-gsum 14821  df-prds 14826  df-pws 14828  df-mre 14964  df-mrc 14965  df-acs 14967  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-mhm 15944  df-submnd 15945  df-grp 16035  df-minusg 16036  df-sbg 16037  df-mulg 16038  df-subg 16176  df-ghm 16243  df-cntz 16333  df-cmn 16778  df-abl 16779  df-mgp 17120  df-ur 17132  df-ring 17178  df-subrg 17405  df-lmod 17492  df-lss 17557  df-sra 17796  df-rgmod 17797  df-dsmm 18740  df-frlm 18755  df-mamu 18863  df-mat 18887
This theorem is referenced by:  mat1rhm  18964
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