Theorem mat1mhm 19586

Description: There is a monoid homomorphism from the multiplicative group of a ring to the multiplicative group of the ring of matrices with dimension 1 over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1rhmval.k	|- K = ( Base ` R )
mat1rhmval.a	|- A = ( { E } Mat R )
mat1rhmval.b	|- B = ( Base ` A )
mat1rhmval.o	|- O = <. E , E >.
mat1rhmval.f	|- F = ( x e. K |-> { <. O , x >. } )
mat1mhm.m	|- M = (mulGrp ` R )
mat1mhm.n	|- N = (mulGrp ` A )

Assertion

Ref	Expression
mat1mhm	|- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> F e. ( M MndHom N ) )

Distinct variable groups:   x, K   x, O   x, E   x, R   x, V   x, B   x, A   x, F   x, M   x, N

Proof of Theorem mat1mhm

Dummy variables i j w y e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat1mhm.m	. . . . 5 |- M = (mulGrp ` R )
2	1	ringmgp 17864	. . . 4 |- ( R e. Ring -> M e. Mnd )
3	2	adantr 472	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> M e. Mnd )
4		snfi 7668	. . . . 5 |- { E } e. Fin
5		simpl 464	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> R e. Ring )
6		mat1rhmval.a	. . . . . 6 |- A = ( { E } Mat R )
7	6	matring 19545	. . . . 5 |- ( ( { E } e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Ring )
8	4, 5, 7	sylancr 676	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> A e. Ring )
9		mat1mhm.n	. . . . 5 |- N = (mulGrp ` A )
10	9	ringmgp 17864	. . . 4 |- ( A e. Ring -> N e. Mnd )
11	8, 10	syl 17	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> N e. Mnd )
12	3, 11	jca 541	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> ( M e. Mnd /\ N e. Mnd ) )
13		mat1rhmval.k	. . . 4 |- K = ( Base ` R )
14		mat1rhmval.b	. . . 4 |- B = ( Base ` A )
15		mat1rhmval.o	. . . 4 |- O = <. E , E >.
16		mat1rhmval.f	. . . 4 |- F = ( x e. K |-> { <. O , x >. } )
17	13, 6, 14, 15, 16	mat1f 19584	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> F : K --> B )
18		ringmnd 17867	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> R e. Mnd )
19	18	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> R e. Mnd )
20	19	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> R e. Mnd )
21		simpr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> E e. V )
22	21	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> E e. V )
23		simpll 768	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> R e. Ring )
24		eqid 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` A ) = ( Base ` A )
25		snidg 3986	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E e. V -> E e. { E } )
26	25	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> E e. { E } )
27		simprl 772	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> w e. K )
28	13, 6, 24, 15, 16	mat1rhmcl 19583	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V /\ w e. K ) -> ( F ` w ) e. ( Base ` A ) )
29	23, 22, 27, 28	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( F ` w ) e. ( Base ` A ) )
30	6, 13, 24, 26, 26, 29	matecld 19528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( E ( F ` w ) E ) e. K )
31		simprr 774	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> y e. K )
32	13, 6, 24, 15, 16	mat1rhmcl 19583	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V /\ y e. K ) -> ( F ` y ) e. ( Base ` A ) )
33	23, 22, 31, 32	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( F ` y ) e. ( Base ` A ) )
34	6, 13, 24, 26, 26, 33	matecld 19528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( E ( F ` y ) E ) e. K )
35		eqid 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
36	13, 35	ringcl 17872	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( E ( F ` w ) E ) e. K /\ ( E ( F ` y ) E ) e. K ) -> ( ( E ( F ` w ) E ) ( .r ` R ) ( E ( F ` y ) E ) ) e. K )
37	23, 30, 34, 36	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( ( E ( F ` w ) E ) ( .r ` R ) ( E ( F ` y ) E ) ) e. K )
38		oveq2 6316	. . . . . . . . . . 11 |- ( e = E -> ( E ( F ` w ) e ) = ( E ( F ` w ) E ) )
39		oveq1 6315	. . . . . . . . . . 11 |- ( e = E -> ( e ( F ` y ) E ) = ( E ( F ` y ) E ) )
40	38, 39	oveq12d 6326	. . . . . . . . . 10 |- ( e = E -> ( ( E ( F ` w ) e ) ( .r ` R ) ( e ( F ` y ) E ) ) = ( ( E ( F ` w ) E ) ( .r ` R ) ( E ( F ` y ) E ) ) )
41	40	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) /\ e = E ) -> ( ( E ( F ` w ) e ) ( .r ` R ) ( e ( F ` y ) E ) ) = ( ( E ( F ` w ) E ) ( .r ` R ) ( E ( F ` y ) E ) ) )
42	13, 20, 22, 37, 41	gsumsnd 17663	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( R gsumg ( e e. { E } |-> ( ( E ( F ` w ) e ) ( .r ` R ) ( e ( F ` y ) E ) ) ) ) = ( ( E ( F ` w ) E ) ( .r ` R ) ( E ( F ` y ) E ) ) )
43	13, 6, 14, 15, 16	mat1rhmelval 19582	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V /\ w e. K ) -> ( E ( F ` w ) E ) = w )
44	23, 22, 27, 43	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( E ( F ` w ) E ) = w )
45	13, 6, 14, 15, 16	mat1rhmelval 19582	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V /\ y e. K ) -> ( E ( F ` y ) E ) = y )
46	23, 22, 31, 45	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( E ( F ` y ) E ) = y )
47	44, 46	oveq12d 6326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( ( E ( F ` w ) E ) ( .r ` R ) ( E ( F ` y ) E ) ) = ( w ( .r ` R ) y ) )
48	42, 47	eqtrd 2505	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( R gsumg ( e e. { E } |-> ( ( E ( F ` w ) e ) ( .r ` R ) ( e ( F ` y ) E ) ) ) ) = ( w ( .r ` R ) y ) )
49	13, 6, 14, 15, 16	mat1rhmcl 19583	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V /\ w e. K ) -> ( F ` w ) e. B )
50	23, 22, 27, 49	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( F ` w ) e. B )
51	13, 6, 14, 15, 16	mat1rhmcl 19583	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V /\ y e. K ) -> ( F ` y ) e. B )
52	23, 22, 31, 51	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( F ` y ) e. B )
53	50, 52	jca 541	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( ( F ` w ) e. B /\ ( F ` y ) e. B ) )
54	25, 25	jca 541	. . . . . . . . 9 |- ( E e. V -> ( E e. { E } /\ E e. { E } ) )
55	54	ad2antlr 741	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( E e. { E } /\ E e. { E } ) )
56		eqid 2471	. . . . . . . . 9 |- ( .r ` A ) = ( .r ` A )
57	6, 14, 35, 56	matmulcell 19547	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( F ` w ) e. B /\ ( F ` y ) e. B ) /\ ( E e. { E } /\ E e. { E } ) ) -> ( E ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) E ) = ( R gsumg ( e e. { E } |-> ( ( E ( F ` w ) e ) ( .r ` R ) ( e ( F ` y ) E ) ) ) ) )
58	23, 53, 55, 57	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( E ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) E ) = ( R gsumg ( e e. { E } |-> ( ( E ( F ` w ) e ) ( .r ` R ) ( e ( F ` y ) E ) ) ) ) )
59	13, 35	ringcl 17872	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ w e. K /\ y e. K ) -> ( w ( .r ` R ) y ) e. K )
60	23, 27, 31, 59	syl3anc 1292	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( w ( .r ` R ) y ) e. K )
61	13, 6, 14, 15, 16	mat1rhmelval 19582	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V /\ ( w ( .r ` R ) y ) e. K ) -> ( E ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) E ) = ( w ( .r ` R ) y ) )
62	23, 22, 60, 61	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( E ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) E ) = ( w ( .r ` R ) y ) )
63	48, 58, 62	3eqtr4rd 2516	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( E ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) E ) = ( E ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) E ) )
64		oveq1 6315	. . . . . . . . . 10 |- ( i = E -> ( i ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) j ) = ( E ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) j ) )
65		oveq1 6315	. . . . . . . . . 10 |- ( i = E -> ( i ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) j ) = ( E ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) j ) )
66	64, 65	eqeq12d 2486	. . . . . . . . 9 |- ( i = E -> ( ( i ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) j ) = ( i ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) j ) <-> ( E ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) j ) = ( E ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) j ) ) )
67		oveq2 6316	. . . . . . . . . 10 |- ( j = E -> ( E ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) j ) = ( E ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) E ) )
68		oveq2 6316	. . . . . . . . . 10 |- ( j = E -> ( E ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) j ) = ( E ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) E ) )
69	67, 68	eqeq12d 2486	. . . . . . . . 9 |- ( j = E -> ( ( E ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) j ) = ( E ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) j ) <-> ( E ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) E ) = ( E ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) E ) ) )
70	66, 69	2ralsng 3999	. . . . . . . 8 |- ( ( E e. V /\ E e. V ) -> ( A. i e. { E } A. j e. { E } ( i ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) j ) = ( i ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) j ) <-> ( E ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) E ) = ( E ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) E ) ) )
71	21, 70	sylancom 680	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> ( A. i e. { E } A. j e. { E } ( i ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) j ) = ( i ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) j ) <-> ( E ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) E ) = ( E ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) E ) ) )
72	71	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( A. i e. { E } A. j e. { E } ( i ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) j ) = ( i ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) j ) <-> ( E ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) E ) = ( E ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) E ) ) )
73	63, 72	mpbird 240	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> A. i e. { E } A. j e. { E } ( i ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) j ) = ( i ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) j ) )
74	13, 6, 14, 15, 16	mat1rhmcl 19583	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V /\ ( w ( .r ` R ) y ) e. K ) -> ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) e. B )
75	23, 22, 60, 74	syl3anc 1292	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) e. B )
76	8	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> A e. Ring )
77	14, 56	ringcl 17872	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Ring /\ ( F ` w ) e. B /\ ( F ` y ) e. B ) -> ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) e. B )
78	76, 50, 52, 77	syl3anc 1292	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) e. B )
79	6, 14	eqmat 19526	. . . . . 6 |- ( ( ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) e. B /\ ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) e. B ) -> ( ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) = ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) <-> A. i e. { E } A. j e. { E } ( i ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) j ) = ( i ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) j ) ) )
80	75, 78, 79	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) = ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) <-> A. i e. { E } A. j e. { E } ( i ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) j ) = ( i ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) j ) ) )
81	73, 80	mpbird 240	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) = ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) )
82	81	ralrimivva 2814	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> A. w e. K A. y e. K ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) = ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) )
83		eqid 2471	. . . . . . 7 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
84	13, 83	ringidcl 17879	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. K )
85	84	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> ( 1r ` R ) e. K )
86	13, 6, 14, 15, 16	mat1rhmval 19581	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V /\ ( 1r ` R ) e. K ) -> ( F ` ( 1r ` R ) ) = { <. O , ( 1r ` R ) >. } )
87	85, 86	mpd3an3 1391	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> ( F ` ( 1r ` R ) ) = { <. O , ( 1r ` R ) >. } )
88	6, 13, 15	mat1dimid 19576	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> ( 1r ` A ) = { <. O , ( 1r ` R ) >. } )
89	87, 88	eqtr4d 2508	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> ( F ` ( 1r ` R ) ) = ( 1r ` A ) )
90	17, 82, 89	3jca 1210	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> ( F : K --> B /\ A. w e. K A. y e. K ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) = ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( 1r ` R ) ) = ( 1r ` A ) ) )
91	1, 13	mgpbas 17807	. . 3 |- K = ( Base ` M )
92	9, 14	mgpbas 17807	. . 3 |- B = ( Base ` N )
93	1, 35	mgpplusg 17805	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( +g ` M )
94	9, 56	mgpplusg 17805	. . 3 |- ( .r ` A ) = ( +g ` N )
95	1, 83	ringidval 17815	. . 3 |- ( 1r ` R ) = ( 0g ` M )
96		eqid 2471	. . . 4 |- ( 1r ` A ) = ( 1r ` A )
97	9, 96	ringidval 17815	. . 3 |- ( 1r ` A ) = ( 0g ` N )
98	91, 92, 93, 94, 95, 97	ismhm 16662	. 2 |- ( F e. ( M MndHom N ) <-> ( ( M e. Mnd /\ N e. Mnd ) /\ ( F : K --> B /\ A. w e. K A. y e. K ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) = ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( 1r ` R ) ) = ( 1r ` A ) ) ) )
99	12, 90, 98	sylanbrc 677	1 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> F e. ( M MndHom N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   {csn 3959   <.cop 3965   |-> cmpt 4454   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   Basecbs 15199   .rcmulr 15269   gsum_g cgsu 15417   Mndcmnd 16613   MndHom cmhm 16658  mulGrpcmgp 17801   1rcur 17813   Ringcrg 17858   Mat cmat 19509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-hom 15292  df-cco 15293  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-prds 15424  df-pws 15426  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-dsmm 19372  df-frlm 19387  df-mamu 19486  df-mat 19510

This theorem is referenced by:  mat1rhm  19587