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Theorem mat1mhm 19586
Description: There is a monoid homomorphism from the multiplicative group of a ring to the multiplicative group of the ring of matrices with dimension 1 over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1rhmval.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mat1rhmval.a  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
mat1rhmval.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mat1rhmval.o  |-  O  = 
<. E ,  E >.
mat1rhmval.f  |-  F  =  ( x  e.  K  |->  { <. O ,  x >. } )
mat1mhm.m  |-  M  =  (mulGrp `  R )
mat1mhm.n  |-  N  =  (mulGrp `  A )
Assertion
Ref Expression
mat1mhm  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  F  e.  ( M MndHom  N ) )
Distinct variable groups:    x, K    x, O    x, E    x, R    x, V    x, B    x, A    x, F    x, M    x, N

Proof of Theorem mat1mhm
Dummy variables  i 
j  w  y  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat1mhm.m . . . . 5  |-  M  =  (mulGrp `  R )
21ringmgp 17864 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  M  e. 
Mnd )
32adantr 472 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  M  e.  Mnd )
4 snfi 7668 . . . . 5  |-  { E }  e.  Fin
5 simpl 464 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  R  e.  Ring )
6 mat1rhmval.a . . . . . 6  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
76matring 19545 . . . . 5  |-  ( ( { E }  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
84, 5, 7sylancr 676 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  A  e.  Ring )
9 mat1mhm.n . . . . 5  |-  N  =  (mulGrp `  A )
109ringmgp 17864 . . . 4  |-  ( A  e.  Ring  ->  N  e. 
Mnd )
118, 10syl 17 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  N  e.  Mnd )
123, 11jca 541 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M  e.  Mnd  /\  N  e.  Mnd ) )
13 mat1rhmval.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  R
)
14 mat1rhmval.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  A
)
15 mat1rhmval.o . . . 4  |-  O  = 
<. E ,  E >.
16 mat1rhmval.f . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  K  |->  { <. O ,  x >. } )
1713, 6, 14, 15, 16mat1f 19584 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  F : K --> B )
18 ringmnd 17867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
1918adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  R  e.  Mnd )
2019adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  ->  R  e.  Mnd )
21 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  E  e.  V )
2221adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  ->  E  e.  V )
23 simpll 768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  ->  R  e.  Ring )
24 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
25 snidg 3986 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E  e.  V  ->  E  e.  { E } )
2625ad2antlr 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  ->  E  e.  { E } )
27 simprl 772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  ->  w  e.  K )
2813, 6, 24, 15, 16mat1rhmcl 19583 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  w  e.  K )  ->  ( F `  w )  e.  ( Base `  A
) )
2923, 22, 27, 28syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( F `  w
)  e.  ( Base `  A ) )
306, 13, 24, 26, 26, 29matecld 19528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( E ( F `
 w ) E )  e.  K )
31 simprr 774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
y  e.  K )
3213, 6, 24, 15, 16mat1rhmcl 19583 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  y  e.  K )  ->  ( F `  y )  e.  ( Base `  A
) )
3323, 22, 31, 32syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( F `  y
)  e.  ( Base `  A ) )
346, 13, 24, 26, 26, 33matecld 19528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( E ( F `
 y ) E )  e.  K )
35 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
3613, 35ringcl 17872 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( E ( F `  w ) E )  e.  K  /\  ( E ( F `  y ) E )  e.  K )  -> 
( ( E ( F `  w ) E ) ( .r
`  R ) ( E ( F `  y ) E ) )  e.  K )
3723, 30, 34, 36syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( ( E ( F `  w ) E ) ( .r
`  R ) ( E ( F `  y ) E ) )  e.  K )
38 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  =  E  ->  ( E ( F `  w ) e )  =  ( E ( F `  w ) E ) )
39 oveq1 6315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  =  E  ->  (
e ( F `  y ) E )  =  ( E ( F `  y ) E ) )
4038, 39oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  E  ->  (
( E ( F `
 w ) e ) ( .r `  R ) ( e ( F `  y
) E ) )  =  ( ( E ( F `  w
) E ) ( .r `  R ) ( E ( F `
 y ) E ) ) )
4140adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  E  e.  V
)  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  /\  e  =  E )  ->  ( ( E ( F `  w ) e ) ( .r
`  R ) ( e ( F `  y ) E ) )  =  ( ( E ( F `  w ) E ) ( .r `  R
) ( E ( F `  y ) E ) ) )
4213, 20, 22, 37, 41gsumsnd 17663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( R  gsumg  ( e  e.  { E }  |->  ( ( E ( F `  w ) e ) ( .r `  R
) ( e ( F `  y ) E ) ) ) )  =  ( ( E ( F `  w ) E ) ( .r `  R
) ( E ( F `  y ) E ) ) )
4313, 6, 14, 15, 16mat1rhmelval 19582 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  w  e.  K )  ->  ( E ( F `  w ) E )  =  w )
4423, 22, 27, 43syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( E ( F `
 w ) E )  =  w )
4513, 6, 14, 15, 16mat1rhmelval 19582 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  y  e.  K )  ->  ( E ( F `  y ) E )  =  y )
4623, 22, 31, 45syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( E ( F `
 y ) E )  =  y )
4744, 46oveq12d 6326 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( ( E ( F `  w ) E ) ( .r
`  R ) ( E ( F `  y ) E ) )  =  ( w ( .r `  R
) y ) )
4842, 47eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( R  gsumg  ( e  e.  { E }  |->  ( ( E ( F `  w ) e ) ( .r `  R
) ( e ( F `  y ) E ) ) ) )  =  ( w ( .r `  R
) y ) )
4913, 6, 14, 15, 16mat1rhmcl 19583 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  w  e.  K )  ->  ( F `  w )  e.  B )
5023, 22, 27, 49syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( F `  w
)  e.  B )
5113, 6, 14, 15, 16mat1rhmcl 19583 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  y  e.  K )  ->  ( F `  y )  e.  B )
5223, 22, 31, 51syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( F `  y
)  e.  B )
5350, 52jca 541 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( ( F `  w )  e.  B  /\  ( F `  y
)  e.  B ) )
5425, 25jca 541 . . . . . . . . 9  |-  ( E  e.  V  ->  ( E  e.  { E }  /\  E  e.  { E } ) )
5554ad2antlr 741 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( E  e.  { E }  /\  E  e. 
{ E } ) )
56 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  A )  =  ( .r `  A
)
576, 14, 35, 56matmulcell 19547 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( F `  w
)  e.  B  /\  ( F `  y )  e.  B )  /\  ( E  e.  { E }  /\  E  e.  { E } ) )  -> 
( E ( ( F `  w ) ( .r `  A
) ( F `  y ) ) E )  =  ( R 
gsumg  ( e  e.  { E }  |->  ( ( E ( F `  w ) e ) ( .r `  R
) ( e ( F `  y ) E ) ) ) ) )
5823, 53, 55, 57syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( E ( ( F `  w ) ( .r `  A
) ( F `  y ) ) E )  =  ( R 
gsumg  ( e  e.  { E }  |->  ( ( E ( F `  w ) e ) ( .r `  R
) ( e ( F `  y ) E ) ) ) ) )
5913, 35ringcl 17872 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  w  e.  K  /\  y  e.  K )  ->  (
w ( .r `  R ) y )  e.  K )
6023, 27, 31, 59syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( w ( .r
`  R ) y )  e.  K )
6113, 6, 14, 15, 16mat1rhmelval 19582 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  (
w ( .r `  R ) y )  e.  K )  -> 
( E ( F `
 ( w ( .r `  R ) y ) ) E )  =  ( w ( .r `  R
) y ) )
6223, 22, 60, 61syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( E ( F `
 ( w ( .r `  R ) y ) ) E )  =  ( w ( .r `  R
) y ) )
6348, 58, 623eqtr4rd 2516 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( E ( F `
 ( w ( .r `  R ) y ) ) E )  =  ( E ( ( F `  w ) ( .r
`  A ) ( F `  y ) ) E ) )
64 oveq1 6315 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  E  ->  (
i ( F `  ( w ( .r
`  R ) y ) ) j )  =  ( E ( F `  ( w ( .r `  R
) y ) ) j ) )
65 oveq1 6315 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  E  ->  (
i ( ( F `
 w ) ( .r `  A ) ( F `  y
) ) j )  =  ( E ( ( F `  w
) ( .r `  A ) ( F `
 y ) ) j ) )
6664, 65eqeq12d 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  E  ->  (
( i ( F `
 ( w ( .r `  R ) y ) ) j )  =  ( i ( ( F `  w ) ( .r
`  A ) ( F `  y ) ) j )  <->  ( E
( F `  (
w ( .r `  R ) y ) ) j )  =  ( E ( ( F `  w ) ( .r `  A
) ( F `  y ) ) j ) ) )
67 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  E  ->  ( E ( F `  ( w ( .r
`  R ) y ) ) j )  =  ( E ( F `  ( w ( .r `  R
) y ) ) E ) )
68 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  E  ->  ( E ( ( F `
 w ) ( .r `  A ) ( F `  y
) ) j )  =  ( E ( ( F `  w
) ( .r `  A ) ( F `
 y ) ) E ) )
6967, 68eqeq12d 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  E  ->  (
( E ( F `
 ( w ( .r `  R ) y ) ) j )  =  ( E ( ( F `  w ) ( .r
`  A ) ( F `  y ) ) j )  <->  ( E
( F `  (
w ( .r `  R ) y ) ) E )  =  ( E ( ( F `  w ) ( .r `  A
) ( F `  y ) ) E ) ) )
7066, 692ralsng 3999 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  V  /\  E  e.  V )  ->  ( A. i  e. 
{ E } A. j  e.  { E }  ( i ( F `  ( w ( .r `  R
) y ) ) j )  =  ( i ( ( F `
 w ) ( .r `  A ) ( F `  y
) ) j )  <-> 
( E ( F `
 ( w ( .r `  R ) y ) ) E )  =  ( E ( ( F `  w ) ( .r
`  A ) ( F `  y ) ) E ) ) )
7121, 70sylancom 680 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( A. i  e.  { E } A. j  e.  { E }  ( i
( F `  (
w ( .r `  R ) y ) ) j )  =  ( i ( ( F `  w ) ( .r `  A
) ( F `  y ) ) j )  <->  ( E ( F `  ( w ( .r `  R
) y ) ) E )  =  ( E ( ( F `
 w ) ( .r `  A ) ( F `  y
) ) E ) ) )
7271adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( A. i  e. 
{ E } A. j  e.  { E }  ( i ( F `  ( w ( .r `  R
) y ) ) j )  =  ( i ( ( F `
 w ) ( .r `  A ) ( F `  y
) ) j )  <-> 
( E ( F `
 ( w ( .r `  R ) y ) ) E )  =  ( E ( ( F `  w ) ( .r
`  A ) ( F `  y ) ) E ) ) )
7363, 72mpbird 240 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  ->  A. i  e.  { E } A. j  e.  { E }  ( i
( F `  (
w ( .r `  R ) y ) ) j )  =  ( i ( ( F `  w ) ( .r `  A
) ( F `  y ) ) j ) )
7413, 6, 14, 15, 16mat1rhmcl 19583 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  (
w ( .r `  R ) y )  e.  K )  -> 
( F `  (
w ( .r `  R ) y ) )  e.  B )
7523, 22, 60, 74syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( F `  (
w ( .r `  R ) y ) )  e.  B )
768adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  ->  A  e.  Ring )
7714, 56ringcl 17872 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Ring  /\  ( F `  w )  e.  B  /\  ( F `  y )  e.  B )  ->  (
( F `  w
) ( .r `  A ) ( F `
 y ) )  e.  B )
7876, 50, 52, 77syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( ( F `  w ) ( .r
`  A ) ( F `  y ) )  e.  B )
796, 14eqmat 19526 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  (
w ( .r `  R ) y ) )  e.  B  /\  ( ( F `  w ) ( .r
`  A ) ( F `  y ) )  e.  B )  ->  ( ( F `
 ( w ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( F `  w ) ( .r
`  A ) ( F `  y ) )  <->  A. i  e.  { E } A. j  e. 
{ E }  (
i ( F `  ( w ( .r
`  R ) y ) ) j )  =  ( i ( ( F `  w
) ( .r `  A ) ( F `
 y ) ) j ) ) )
8075, 78, 79syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( ( F `  ( w ( .r
`  R ) y ) )  =  ( ( F `  w
) ( .r `  A ) ( F `
 y ) )  <->  A. i  e.  { E } A. j  e.  { E }  ( i
( F `  (
w ( .r `  R ) y ) ) j )  =  ( i ( ( F `  w ) ( .r `  A
) ( F `  y ) ) j ) ) )
8173, 80mpbird 240 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( F `  (
w ( .r `  R ) y ) )  =  ( ( F `  w ) ( .r `  A
) ( F `  y ) ) )
8281ralrimivva 2814 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  A. w  e.  K  A. y  e.  K  ( F `  ( w ( .r
`  R ) y ) )  =  ( ( F `  w
) ( .r `  A ) ( F `
 y ) ) )
83 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
8413, 83ringidcl 17879 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  K )
8584adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( 1r `  R )  e.  K )
8613, 6, 14, 15, 16mat1rhmval 19581 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  ( 1r `  R )  e.  K )  ->  ( F `  ( 1r `  R ) )  =  { <. O ,  ( 1r `  R )
>. } )
8785, 86mpd3an3 1391 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( F `  ( 1r `  R ) )  =  { <. O ,  ( 1r `  R )
>. } )
886, 13, 15mat1dimid 19576 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( 1r `  A )  =  { <. O ,  ( 1r `  R )
>. } )
8987, 88eqtr4d 2508 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( F `  ( 1r `  R ) )  =  ( 1r `  A
) )
9017, 82, 893jca 1210 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( F : K --> B  /\  A. w  e.  K  A. y  e.  K  ( F `  ( w
( .r `  R
) y ) )  =  ( ( F `
 w ) ( .r `  A ) ( F `  y
) )  /\  ( F `  ( 1r `  R ) )  =  ( 1r `  A
) ) )
911, 13mgpbas 17807 . . 3  |-  K  =  ( Base `  M
)
929, 14mgpbas 17807 . . 3  |-  B  =  ( Base `  N
)
931, 35mgpplusg 17805 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( +g  `  M
)
949, 56mgpplusg 17805 . . 3  |-  ( .r
`  A )  =  ( +g  `  N
)
951, 83ringidval 17815 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 0g `  M
)
96 eqid 2471 . . . 4  |-  ( 1r
`  A )  =  ( 1r `  A
)
979, 96ringidval 17815 . . 3  |-  ( 1r
`  A )  =  ( 0g `  N
)
9891, 92, 93, 94, 95, 97ismhm 16662 . 2  |-  ( F  e.  ( M MndHom  N
)  <->  ( ( M  e.  Mnd  /\  N  e.  Mnd )  /\  ( F : K --> B  /\  A. w  e.  K  A. y  e.  K  ( F `  ( w
( .r `  R
) y ) )  =  ( ( F `
 w ) ( .r `  A ) ( F `  y
) )  /\  ( F `  ( 1r `  R ) )  =  ( 1r `  A
) ) ) )
9912, 90, 98sylanbrc 677 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  F  e.  ( M MndHom  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   {csn 3959   <.cop 3965    |-> cmpt 4454   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   Basecbs 15199   .rcmulr 15269    gsumg cgsu 15417   Mndcmnd 16613   MndHom cmhm 16658  mulGrpcmgp 17801   1rcur 17813   Ringcrg 17858   Mat cmat 19509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-hom 15292  df-cco 15293  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-prds 15424  df-pws 15426  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-dsmm 19372  df-frlm 19387  df-mamu 19486  df-mat 19510
This theorem is referenced by:  mat1rhm  19587
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