Theorem mat1mhm 18963

Description: There is a monoid homomorphism from the multiplicative group of a ring to the multiplicative group of the ring of matrices with dimension 1 over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1rhmval.k	|- K = ( Base ` R )
mat1rhmval.a	|- A = ( { E } Mat R )
mat1rhmval.b	|- B = ( Base ` A )
mat1rhmval.o	|- O = <. E , E >.
mat1rhmval.f	|- F = ( x e. K |-> { <. O , x >. } )
mat1mhm.m	|- M = (mulGrp ` R )
mat1mhm.n	|- N = (mulGrp ` A )

Assertion

Ref	Expression
mat1mhm	|- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> F e. ( M MndHom N ) )

Distinct variable groups:   x, K   x, O   x, E   x, R   x, V   x, B   x, A   x, F   x, M   x, N

Proof of Theorem mat1mhm

Dummy variables i j w y e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat1mhm.m	. . . . 5 |- M = (mulGrp ` R )
2	1	ringmgp 17182	. . . 4 |- ( R e. Ring -> M e. Mnd )
3	2	adantr 465	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> M e. Mnd )
4		snfi 7598	. . . . 5 |- { E } e. Fin
5		simpl 457	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> R e. Ring )
6		mat1rhmval.a	. . . . . 6 |- A = ( { E } Mat R )
7	6	matring 18922	. . . . 5 |- ( ( { E } e. Fin /\ R e. Ring ) -> A e. Ring )
8	4, 5, 7	sylancr 663	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> A e. Ring )
9		mat1mhm.n	. . . . 5 |- N = (mulGrp ` A )
10	9	ringmgp 17182	. . . 4 |- ( A e. Ring -> N e. Mnd )
11	8, 10	syl 16	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> N e. Mnd )
12	3, 11	jca 532	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> ( M e. Mnd /\ N e. Mnd ) )
13		mat1rhmval.k	. . . 4 |- K = ( Base ` R )
14		mat1rhmval.b	. . . 4 |- B = ( Base ` A )
15		mat1rhmval.o	. . . 4 |- O = <. E , E >.
16		mat1rhmval.f	. . . 4 |- F = ( x e. K |-> { <. O , x >. } )
17	13, 6, 14, 15, 16	mat1f 18961	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> F : K --> B )
18		ringmnd 17185	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> R e. Mnd )
19	18	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> R e. Mnd )
20	19	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> R e. Mnd )
21		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> E e. V )
22	21	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> E e. V )
23		simpll 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> R e. Ring )
24		eqid 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` A ) = ( Base ` A )
25		snidg 4040	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E e. V -> E e. { E } )
26	25	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> E e. { E } )
27		simprl 756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> w e. K )
28	13, 6, 24, 15, 16	mat1rhmcl 18960	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V /\ w e. K ) -> ( F ` w ) e. ( Base ` A ) )
29	23, 22, 27, 28	syl3anc 1229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( F ` w ) e. ( Base ` A ) )
30	6, 13, 24, 26, 26, 29	matecld 18905	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( E ( F ` w ) E ) e. K )
31		simprr 757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> y e. K )
32	13, 6, 24, 15, 16	mat1rhmcl 18960	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V /\ y e. K ) -> ( F ` y ) e. ( Base ` A ) )
33	23, 22, 31, 32	syl3anc 1229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( F ` y ) e. ( Base ` A ) )
34	6, 13, 24, 26, 26, 33	matecld 18905	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( E ( F ` y ) E ) e. K )
35		eqid 2443	. . . . . . . . . . 11 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
36	13, 35	ringcl 17190	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( E ( F ` w ) E ) e. K /\ ( E ( F ` y ) E ) e. K ) -> ( ( E ( F ` w ) E ) ( .r ` R ) ( E ( F ` y ) E ) ) e. K )
37	23, 30, 34, 36	syl3anc 1229	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( ( E ( F ` w ) E ) ( .r ` R ) ( E ( F ` y ) E ) ) e. K )
38		oveq2 6289	. . . . . . . . . . 11 |- ( e = E -> ( E ( F ` w ) e ) = ( E ( F ` w ) E ) )
39		oveq1 6288	. . . . . . . . . . 11 |- ( e = E -> ( e ( F ` y ) E ) = ( E ( F ` y ) E ) )
40	38, 39	oveq12d 6299	. . . . . . . . . 10 |- ( e = E -> ( ( E ( F ` w ) e ) ( .r ` R ) ( e ( F ` y ) E ) ) = ( ( E ( F ` w ) E ) ( .r ` R ) ( E ( F ` y ) E ) ) )
41	40	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) /\ e = E ) -> ( ( E ( F ` w ) e ) ( .r ` R ) ( e ( F ` y ) E ) ) = ( ( E ( F ` w ) E ) ( .r ` R ) ( E ( F ` y ) E ) ) )
42	13, 20, 22, 37, 41	gsumsnd 16957	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( R gsumg ( e e. { E } |-> ( ( E ( F ` w ) e ) ( .r ` R ) ( e ( F ` y ) E ) ) ) ) = ( ( E ( F ` w ) E ) ( .r ` R ) ( E ( F ` y ) E ) ) )
43	13, 6, 14, 15, 16	mat1rhmelval 18959	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V /\ w e. K ) -> ( E ( F ` w ) E ) = w )
44	23, 22, 27, 43	syl3anc 1229	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( E ( F ` w ) E ) = w )
45	13, 6, 14, 15, 16	mat1rhmelval 18959	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V /\ y e. K ) -> ( E ( F ` y ) E ) = y )
46	23, 22, 31, 45	syl3anc 1229	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( E ( F ` y ) E ) = y )
47	44, 46	oveq12d 6299	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( ( E ( F ` w ) E ) ( .r ` R ) ( E ( F ` y ) E ) ) = ( w ( .r ` R ) y ) )
48	42, 47	eqtrd 2484	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( R gsumg ( e e. { E } |-> ( ( E ( F ` w ) e ) ( .r ` R ) ( e ( F ` y ) E ) ) ) ) = ( w ( .r ` R ) y ) )
49	13, 6, 14, 15, 16	mat1rhmcl 18960	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V /\ w e. K ) -> ( F ` w ) e. B )
50	23, 22, 27, 49	syl3anc 1229	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( F ` w ) e. B )
51	13, 6, 14, 15, 16	mat1rhmcl 18960	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V /\ y e. K ) -> ( F ` y ) e. B )
52	23, 22, 31, 51	syl3anc 1229	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( F ` y ) e. B )
53	50, 52	jca 532	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( ( F ` w ) e. B /\ ( F ` y ) e. B ) )
54	25, 25	jca 532	. . . . . . . . 9 |- ( E e. V -> ( E e. { E } /\ E e. { E } ) )
55	54	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( E e. { E } /\ E e. { E } ) )
56		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( .r ` A ) = ( .r ` A )
57	6, 14, 35, 56	matmulcell 18924	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( F ` w ) e. B /\ ( F ` y ) e. B ) /\ ( E e. { E } /\ E e. { E } ) ) -> ( E ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) E ) = ( R gsumg ( e e. { E } |-> ( ( E ( F ` w ) e ) ( .r ` R ) ( e ( F ` y ) E ) ) ) ) )
58	23, 53, 55, 57	syl3anc 1229	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( E ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) E ) = ( R gsumg ( e e. { E } |-> ( ( E ( F ` w ) e ) ( .r ` R ) ( e ( F ` y ) E ) ) ) ) )
59	13, 35	ringcl 17190	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ w e. K /\ y e. K ) -> ( w ( .r ` R ) y ) e. K )
60	23, 27, 31, 59	syl3anc 1229	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( w ( .r ` R ) y ) e. K )
61	13, 6, 14, 15, 16	mat1rhmelval 18959	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V /\ ( w ( .r ` R ) y ) e. K ) -> ( E ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) E ) = ( w ( .r ` R ) y ) )
62	23, 22, 60, 61	syl3anc 1229	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( E ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) E ) = ( w ( .r ` R ) y ) )
63	48, 58, 62	3eqtr4rd 2495	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( E ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) E ) = ( E ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) E ) )
64		oveq1 6288	. . . . . . . . . 10 |- ( i = E -> ( i ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) j ) = ( E ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) j ) )
65		oveq1 6288	. . . . . . . . . 10 |- ( i = E -> ( i ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) j ) = ( E ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) j ) )
66	64, 65	eqeq12d 2465	. . . . . . . . 9 |- ( i = E -> ( ( i ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) j ) = ( i ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) j ) <-> ( E ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) j ) = ( E ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) j ) ) )
67		oveq2 6289	. . . . . . . . . 10 |- ( j = E -> ( E ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) j ) = ( E ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) E ) )
68		oveq2 6289	. . . . . . . . . 10 |- ( j = E -> ( E ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) j ) = ( E ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) E ) )
69	67, 68	eqeq12d 2465	. . . . . . . . 9 |- ( j = E -> ( ( E ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) j ) = ( E ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) j ) <-> ( E ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) E ) = ( E ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) E ) ) )
70	66, 69	2ralsng 4051	. . . . . . . 8 |- ( ( E e. V /\ E e. V ) -> ( A. i e. { E } A. j e. { E } ( i ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) j ) = ( i ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) j ) <-> ( E ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) E ) = ( E ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) E ) ) )
71	21, 70	sylancom 667	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> ( A. i e. { E } A. j e. { E } ( i ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) j ) = ( i ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) j ) <-> ( E ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) E ) = ( E ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) E ) ) )
72	71	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( A. i e. { E } A. j e. { E } ( i ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) j ) = ( i ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) j ) <-> ( E ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) E ) = ( E ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) E ) ) )
73	63, 72	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> A. i e. { E } A. j e. { E } ( i ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) j ) = ( i ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) j ) )
74	13, 6, 14, 15, 16	mat1rhmcl 18960	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V /\ ( w ( .r ` R ) y ) e. K ) -> ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) e. B )
75	23, 22, 60, 74	syl3anc 1229	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) e. B )
76	8	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> A e. Ring )
77	14, 56	ringcl 17190	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Ring /\ ( F ` w ) e. B /\ ( F ` y ) e. B ) -> ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) e. B )
78	76, 50, 52, 77	syl3anc 1229	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) e. B )
79	6, 14	eqmat 18903	. . . . . 6 |- ( ( ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) e. B /\ ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) e. B ) -> ( ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) = ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) <-> A. i e. { E } A. j e. { E } ( i ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) j ) = ( i ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) j ) ) )
80	75, 78, 79	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) = ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) <-> A. i e. { E } A. j e. { E } ( i ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) j ) = ( i ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) j ) ) )
81	73, 80	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( w e. K /\ y e. K ) ) -> ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) = ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) )
82	81	ralrimivva 2864	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> A. w e. K A. y e. K ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) = ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) )
83		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
84	13, 83	ringidcl 17197	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. K )
85	84	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> ( 1r ` R ) e. K )
86	13, 6, 14, 15, 16	mat1rhmval 18958	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V /\ ( 1r ` R ) e. K ) -> ( F ` ( 1r ` R ) ) = { <. O , ( 1r ` R ) >. } )
87	85, 86	mpd3an3 1326	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> ( F ` ( 1r ` R ) ) = { <. O , ( 1r ` R ) >. } )
88	6, 13, 15	mat1dimid 18953	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> ( 1r ` A ) = { <. O , ( 1r ` R ) >. } )
89	87, 88	eqtr4d 2487	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> ( F ` ( 1r ` R ) ) = ( 1r ` A ) )
90	17, 82, 89	3jca 1177	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> ( F : K --> B /\ A. w e. K A. y e. K ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) = ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( 1r ` R ) ) = ( 1r ` A ) ) )
91	1, 13	mgpbas 17125	. . 3 |- K = ( Base ` M )
92	9, 14	mgpbas 17125	. . 3 |- B = ( Base ` N )
93	1, 35	mgpplusg 17123	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( +g ` M )
94	9, 56	mgpplusg 17123	. . 3 |- ( .r ` A ) = ( +g ` N )
95	1, 83	ringidval 17133	. . 3 |- ( 1r ` R ) = ( 0g ` M )
96		eqid 2443	. . . 4 |- ( 1r ` A ) = ( 1r ` A )
97	9, 96	ringidval 17133	. . 3 |- ( 1r ` A ) = ( 0g ` N )
98	91, 92, 93, 94, 95, 97	ismhm 15946	. 2 |- ( F e. ( M MndHom N ) <-> ( ( M e. Mnd /\ N e. Mnd ) /\ ( F : K --> B /\ A. w e. K A. y e. K ( F ` ( w ( .r ` R ) y ) ) = ( ( F ` w ) ( .r ` A ) ( F ` y ) ) /\ ( F ` ( 1r ` R ) ) = ( 1r ` A ) ) ) )
99	12, 90, 98	sylanbrc 664	1 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> F e. ( M MndHom N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 974   = wceq 1383   e. wcel 1804   A.wral 2793   {csn 4014   <.cop 4020   |-> cmpt 4495   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   Basecbs 14613   .rcmulr 14679   gsum_g cgsu 14819   Mndcmnd 15897   MndHom cmhm 15942  mulGrpcmgp 17119   1rcur 17131   Ringcrg 17176   Mat cmat 18886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-ot 4023  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10986  df-uz 11092  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-seq 12089  df-hash 12387  df-struct 14615  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-ress 14620  df-plusg 14691  df-mulr 14692  df-sca 14694  df-vsca 14695  df-ip 14696  df-tset 14697  df-ple 14698  df-ds 14700  df-hom 14702  df-cco 14703  df-0g 14820  df-gsum 14821  df-prds 14826  df-pws 14828  df-mre 14964  df-mrc 14965  df-acs 14967  df-mgm 15850  df-sgrp 15889  df-mnd 15899  df-mhm 15944  df-submnd 15945  df-grp 16035  df-minusg 16036  df-sbg 16037  df-mulg 16038  df-subg 16176  df-ghm 16243  df-cntz 16333  df-cmn 16778  df-abl 16779  df-mgp 17120  df-ur 17132  df-ring 17178  df-subrg 17405  df-lmod 17492  df-lss 17557  df-sra 17796  df-rgmod 17797  df-dsmm 18740  df-frlm 18755  df-mamu 18863  df-mat 18887

This theorem is referenced by:  mat1rhm  18964