Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1ghm Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mat1ghm 19585
 Description: There is a group homomorphism from the additive group of a ring to the additive group of the ring of matrices with dimension 1 over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1rhmval.k
mat1rhmval.a Mat
mat1rhmval.b
mat1rhmval.o
mat1rhmval.f
Assertion
Ref Expression
mat1ghm
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem mat1ghm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat1rhmval.k . 2
2 mat1rhmval.b . 2
3 eqid 2471 . 2
4 eqid 2471 . 2
5 ringgrp 17863 . . 3
7 snfi 7668 . . 3
8 simpl 464 . . 3
9 mat1rhmval.a . . . 4 Mat
109matgrp 19532 . . 3
117, 8, 10sylancr 676 . 2
12 mat1rhmval.o . . 3
13 mat1rhmval.f . . 3
141, 9, 2, 12, 13mat1f 19584 . 2
158adantr 472 . . . . . . 7
16 simpr 468 . . . . . . . 8
1716adantr 472 . . . . . . 7
18 simpl 464 . . . . . . . 8
1918adantl 473 . . . . . . 7
201, 9, 2, 12, 13mat1rhmelval 19582 . . . . . . 7
2115, 17, 19, 20syl3anc 1292 . . . . . 6
22 simpr 468 . . . . . . . 8
2322adantl 473 . . . . . . 7
241, 9, 2, 12, 13mat1rhmelval 19582 . . . . . . 7
2515, 17, 23, 24syl3anc 1292 . . . . . 6
2621, 25oveq12d 6326 . . . . 5
271, 9, 2, 12, 13mat1rhmcl 19583 . . . . . . 7
2815, 17, 19, 27syl3anc 1292 . . . . . 6
291, 9, 2, 12, 13mat1rhmcl 19583 . . . . . . 7
3015, 17, 23, 29syl3anc 1292 . . . . . 6
31 snidg 3986 . . . . . . . . 9
3231, 31jca 541 . . . . . . . 8
3332adantl 473 . . . . . . 7
3433adantr 472 . . . . . 6
359, 2, 4, 3matplusgcell 19535 . . . . . 6
3628, 30, 34, 35syl21anc 1291 . . . . 5
371, 3ringacl 17886 . . . . . . 7
3815, 19, 23, 37syl3anc 1292 . . . . . 6
391, 9, 2, 12, 13mat1rhmelval 19582 . . . . . 6
4015, 17, 38, 39syl3anc 1292 . . . . 5
4126, 36, 403eqtr4rd 2516 . . . 4
42 oveq1 6315 . . . . . . . 8
43 oveq1 6315 . . . . . . . 8
4442, 43eqeq12d 2486 . . . . . . 7
45 oveq2 6316 . . . . . . . 8
46 oveq2 6316 . . . . . . . 8
4745, 46eqeq12d 2486 . . . . . . 7
4844, 472ralsng 3999 . . . . . 6
4916, 16, 48syl2anc 673 . . . . 5
5049adantr 472 . . . 4
5141, 50mpbird 240 . . 3
521, 9, 2, 12, 13mat1rhmcl 19583 . . . . 5
5315, 17, 38, 52syl3anc 1292 . . . 4
549matring 19545 . . . . . . 7
557, 8, 54sylancr 676 . . . . . 6
5655adantr 472 . . . . 5
572, 4ringacl 17886 . . . . 5
5856, 28, 30, 57syl3anc 1292 . . . 4
599, 2eqmat 19526 . . . 4
6053, 58, 59syl2anc 673 . . 3
6151, 60mpbird 240 . 2
621, 2, 3, 4, 6, 11, 14, 61isghmd 16970 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  csn 3959  cop 3965   cmpt 4454  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  cbs 15199   cplusg 15268  cgrp 16747   cghm 16958  crg 17858   Mat cmat 19509 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-hom 15292  df-cco 15293  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-prds 15424  df-pws 15426  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-dsmm 19372  df-frlm 19387  df-mamu 19486  df-mat 19510 This theorem is referenced by:  mat1rhm  19587
 Copyright terms: Public domain W3C validator