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Theorem mat1ghm 19585
Description: There is a group homomorphism from the additive group of a ring to the additive group of the ring of matrices with dimension 1 over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1rhmval.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
mat1rhmval.a  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
mat1rhmval.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mat1rhmval.o  |-  O  = 
<. E ,  E >.
mat1rhmval.f  |-  F  =  ( x  e.  K  |->  { <. O ,  x >. } )
Assertion
Ref Expression
mat1ghm  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  F  e.  ( R  GrpHom  A ) )
Distinct variable groups:    x, K    x, O    x, E    x, R    x, V    x, B    x, A    x, F

Proof of Theorem mat1ghm
Dummy variables  i 
j  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat1rhmval.k . 2  |-  K  =  ( Base `  R
)
2 mat1rhmval.b . 2  |-  B  =  ( Base `  A
)
3 eqid 2471 . 2  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
4 eqid 2471 . 2  |-  ( +g  `  A )  =  ( +g  `  A )
5 ringgrp 17863 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
65adantr 472 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  R  e.  Grp )
7 snfi 7668 . . 3  |-  { E }  e.  Fin
8 simpl 464 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  R  e.  Ring )
9 mat1rhmval.a . . . 4  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
109matgrp 19532 . . 3  |-  ( ( { E }  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Grp )
117, 8, 10sylancr 676 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  A  e.  Grp )
12 mat1rhmval.o . . 3  |-  O  = 
<. E ,  E >.
13 mat1rhmval.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  K  |->  { <. O ,  x >. } )
141, 9, 2, 12, 13mat1f 19584 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  F : K --> B )
158adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  ->  R  e.  Ring )
16 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  E  e.  V )
1716adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  ->  E  e.  V )
18 simpl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  K  /\  y  e.  K )  ->  w  e.  K )
1918adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  ->  w  e.  K )
201, 9, 2, 12, 13mat1rhmelval 19582 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  w  e.  K )  ->  ( E ( F `  w ) E )  =  w )
2115, 17, 19, 20syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( E ( F `
 w ) E )  =  w )
22 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  K  /\  y  e.  K )  ->  y  e.  K )
2322adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
y  e.  K )
241, 9, 2, 12, 13mat1rhmelval 19582 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  y  e.  K )  ->  ( E ( F `  y ) E )  =  y )
2515, 17, 23, 24syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( E ( F `
 y ) E )  =  y )
2621, 25oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( ( E ( F `  w ) E ) ( +g  `  R ) ( E ( F `  y
) E ) )  =  ( w ( +g  `  R ) y ) )
271, 9, 2, 12, 13mat1rhmcl 19583 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  w  e.  K )  ->  ( F `  w )  e.  B )
2815, 17, 19, 27syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( F `  w
)  e.  B )
291, 9, 2, 12, 13mat1rhmcl 19583 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  y  e.  K )  ->  ( F `  y )  e.  B )
3015, 17, 23, 29syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( F `  y
)  e.  B )
31 snidg 3986 . . . . . . . . 9  |-  ( E  e.  V  ->  E  e.  { E } )
3231, 31jca 541 . . . . . . . 8  |-  ( E  e.  V  ->  ( E  e.  { E }  /\  E  e.  { E } ) )
3332adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( E  e.  { E }  /\  E  e.  { E } ) )
3433adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( E  e.  { E }  /\  E  e. 
{ E } ) )
359, 2, 4, 3matplusgcell 19535 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F `  w )  e.  B  /\  ( F `  y
)  e.  B )  /\  ( E  e. 
{ E }  /\  E  e.  { E } ) )  -> 
( E ( ( F `  w ) ( +g  `  A
) ( F `  y ) ) E )  =  ( ( E ( F `  w ) E ) ( +g  `  R
) ( E ( F `  y ) E ) ) )
3628, 30, 34, 35syl21anc 1291 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( E ( ( F `  w ) ( +g  `  A
) ( F `  y ) ) E )  =  ( ( E ( F `  w ) E ) ( +g  `  R
) ( E ( F `  y ) E ) ) )
371, 3ringacl 17886 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  w  e.  K  /\  y  e.  K )  ->  (
w ( +g  `  R
) y )  e.  K )
3815, 19, 23, 37syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( w ( +g  `  R ) y )  e.  K )
391, 9, 2, 12, 13mat1rhmelval 19582 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  (
w ( +g  `  R
) y )  e.  K )  ->  ( E ( F `  ( w ( +g  `  R ) y ) ) E )  =  ( w ( +g  `  R ) y ) )
4015, 17, 38, 39syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( E ( F `
 ( w ( +g  `  R ) y ) ) E )  =  ( w ( +g  `  R
) y ) )
4126, 36, 403eqtr4rd 2516 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( E ( F `
 ( w ( +g  `  R ) y ) ) E )  =  ( E ( ( F `  w ) ( +g  `  A ) ( F `
 y ) ) E ) )
42 oveq1 6315 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  E  ->  (
i ( F `  ( w ( +g  `  R ) y ) ) j )  =  ( E ( F `
 ( w ( +g  `  R ) y ) ) j ) )
43 oveq1 6315 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  E  ->  (
i ( ( F `
 w ) ( +g  `  A ) ( F `  y
) ) j )  =  ( E ( ( F `  w
) ( +g  `  A
) ( F `  y ) ) j ) )
4442, 43eqeq12d 2486 . . . . . . 7  |-  ( i  =  E  ->  (
( i ( F `
 ( w ( +g  `  R ) y ) ) j )  =  ( i ( ( F `  w ) ( +g  `  A ) ( F `
 y ) ) j )  <->  ( E
( F `  (
w ( +g  `  R
) y ) ) j )  =  ( E ( ( F `
 w ) ( +g  `  A ) ( F `  y
) ) j ) ) )
45 oveq2 6316 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  E  ->  ( E ( F `  ( w ( +g  `  R ) y ) ) j )  =  ( E ( F `
 ( w ( +g  `  R ) y ) ) E ) )
46 oveq2 6316 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  E  ->  ( E ( ( F `
 w ) ( +g  `  A ) ( F `  y
) ) j )  =  ( E ( ( F `  w
) ( +g  `  A
) ( F `  y ) ) E ) )
4745, 46eqeq12d 2486 . . . . . . 7  |-  ( j  =  E  ->  (
( E ( F `
 ( w ( +g  `  R ) y ) ) j )  =  ( E ( ( F `  w ) ( +g  `  A ) ( F `
 y ) ) j )  <->  ( E
( F `  (
w ( +g  `  R
) y ) ) E )  =  ( E ( ( F `
 w ) ( +g  `  A ) ( F `  y
) ) E ) ) )
4844, 472ralsng 3999 . . . . . 6  |-  ( ( E  e.  V  /\  E  e.  V )  ->  ( A. i  e. 
{ E } A. j  e.  { E }  ( i ( F `  ( w ( +g  `  R
) y ) ) j )  =  ( i ( ( F `
 w ) ( +g  `  A ) ( F `  y
) ) j )  <-> 
( E ( F `
 ( w ( +g  `  R ) y ) ) E )  =  ( E ( ( F `  w ) ( +g  `  A ) ( F `
 y ) ) E ) ) )
4916, 16, 48syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( A. i  e.  { E } A. j  e.  { E }  ( i
( F `  (
w ( +g  `  R
) y ) ) j )  =  ( i ( ( F `
 w ) ( +g  `  A ) ( F `  y
) ) j )  <-> 
( E ( F `
 ( w ( +g  `  R ) y ) ) E )  =  ( E ( ( F `  w ) ( +g  `  A ) ( F `
 y ) ) E ) ) )
5049adantr 472 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( A. i  e. 
{ E } A. j  e.  { E }  ( i ( F `  ( w ( +g  `  R
) y ) ) j )  =  ( i ( ( F `
 w ) ( +g  `  A ) ( F `  y
) ) j )  <-> 
( E ( F `
 ( w ( +g  `  R ) y ) ) E )  =  ( E ( ( F `  w ) ( +g  `  A ) ( F `
 y ) ) E ) ) )
5141, 50mpbird 240 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  ->  A. i  e.  { E } A. j  e.  { E }  ( i
( F `  (
w ( +g  `  R
) y ) ) j )  =  ( i ( ( F `
 w ) ( +g  `  A ) ( F `  y
) ) j ) )
521, 9, 2, 12, 13mat1rhmcl 19583 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  (
w ( +g  `  R
) y )  e.  K )  ->  ( F `  ( w
( +g  `  R ) y ) )  e.  B )
5315, 17, 38, 52syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( F `  (
w ( +g  `  R
) y ) )  e.  B )
549matring 19545 . . . . . . 7  |-  ( ( { E }  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
557, 8, 54sylancr 676 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  A  e.  Ring )
5655adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  ->  A  e.  Ring )
572, 4ringacl 17886 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Ring  /\  ( F `  w )  e.  B  /\  ( F `  y )  e.  B )  ->  (
( F `  w
) ( +g  `  A
) ( F `  y ) )  e.  B )
5856, 28, 30, 57syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( ( F `  w ) ( +g  `  A ) ( F `
 y ) )  e.  B )
599, 2eqmat 19526 . . . 4  |-  ( ( ( F `  (
w ( +g  `  R
) y ) )  e.  B  /\  (
( F `  w
) ( +g  `  A
) ( F `  y ) )  e.  B )  ->  (
( F `  (
w ( +g  `  R
) y ) )  =  ( ( F `
 w ) ( +g  `  A ) ( F `  y
) )  <->  A. i  e.  { E } A. j  e.  { E }  ( i ( F `  ( w ( +g  `  R
) y ) ) j )  =  ( i ( ( F `
 w ) ( +g  `  A ) ( F `  y
) ) j ) ) )
6053, 58, 59syl2anc 673 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( ( F `  ( w ( +g  `  R ) y ) )  =  ( ( F `  w ) ( +g  `  A
) ( F `  y ) )  <->  A. i  e.  { E } A. j  e.  { E }  ( i ( F `  ( w ( +g  `  R
) y ) ) j )  =  ( i ( ( F `
 w ) ( +g  `  A ) ( F `  y
) ) j ) ) )
6151, 60mpbird 240 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( w  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( F `  (
w ( +g  `  R
) y ) )  =  ( ( F `
 w ) ( +g  `  A ) ( F `  y
) ) )
621, 2, 3, 4, 6, 11, 14, 61isghmd 16970 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  F  e.  ( R  GrpHom  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   {csn 3959   <.cop 3965    |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   Basecbs 15199   +g cplusg 15268   Grpcgrp 16747    GrpHom cghm 16958   Ringcrg 17858   Mat cmat 19509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-ot 3968  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-hom 15292  df-cco 15293  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-prds 15424  df-pws 15426  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-dsmm 19372  df-frlm 19387  df-mamu 19486  df-mat 19510
This theorem is referenced by:  mat1rhm  19587
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