MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1dimscm Structured version   Unicode version

Theorem mat1dimscm 18760
Description: The scalar multiplication in the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
mat1dim.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mat1dim.o  |-  O  = 
<. E ,  E >.
Assertion
Ref Expression
mat1dimscm  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .s
`  A ) {
<. O ,  Y >. } )  =  { <. O ,  ( X ( .r `  R ) Y ) >. } )

Proof of Theorem mat1dimscm
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat1dim.o . . . . . . . . . . 11  |-  O  = 
<. E ,  E >.
2 opex 4711 . . . . . . . . . . 11  |-  <. E ,  E >.  e.  _V
31, 2eqeltri 2551 . . . . . . . . . 10  |-  O  e. 
_V
43a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  B  ->  O  e.  _V )
54anim2i 569 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  e.  B  /\  O  e.  _V ) )
65ancomd 451 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( O  e.  _V  /\  X  e.  B ) )
7 fnsng 5634 . . . . . . 7  |-  ( ( O  e.  _V  /\  X  e.  B )  ->  { <. O ,  X >. }  Fn  { O } )
86, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  { <. O ,  X >. }  Fn  { O } )
98adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. O ,  X >. }  Fn  { O } )
10 xpsng 6061 . . . . . . . 8  |-  ( ( O  e.  _V  /\  X  e.  B )  ->  ( { O }  X.  { X } )  =  { <. O ,  X >. } )
116, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( { O }  X.  { X } )  =  { <. O ,  X >. } )
1211adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { O }  X.  { X } )  =  { <. O ,  X >. } )
1312fneq1d 5670 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( { O }  X.  { X }
)  Fn  { O } 
<->  { <. O ,  X >. }  Fn  { O } ) )
149, 13mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { O }  X.  { X } )  Fn  { O }
)
15 xpsng 6061 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E  e.  V  /\  E  e.  V )  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
161sneqi 4038 . . . . . . . . . 10  |-  { O }  =  { <. E ,  E >. }
1715, 16syl6eqr 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  e.  V  /\  E  e.  V )  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { O }
)
1817anidms 645 . . . . . . . 8  |-  ( E  e.  V  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { O } )
1918adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { O } )
2019adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { E }  X.  { E } )  =  { O }
)
2120xpeq1d 5022 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( { E }  X.  { E }
)  X.  { X } )  =  ( { O }  X.  { X } ) )
2221fneq1d 5670 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( { E }  X.  { E } )  X.  { X } )  Fn  { O }  <->  ( { O }  X.  { X }
)  Fn  { O } ) )
2314, 22mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( { E }  X.  { E }
)  X.  { X } )  Fn  { O } )
243a1i 11 . . . . 5  |-  ( X  e.  B  ->  O  e.  _V )
25 fnsng 5634 . . . . 5  |-  ( ( O  e.  _V  /\  Y  e.  B )  ->  { <. O ,  Y >. }  Fn  { O } )
2624, 25sylan 471 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  { <. O ,  Y >. }  Fn  { O } )
2726adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. O ,  Y >. }  Fn  { O } )
28 snex 4688 . . . 4  |-  { O }  e.  _V
2928a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { O }  e.  _V )
30 inidm 3707 . . 3  |-  ( { O }  i^i  { O } )  =  { O }
31 elsni 4052 . . . . 5  |-  ( x  e.  { O }  ->  x  =  O )
32 fveq2 5865 . . . . . . 7  |-  ( x  =  O  ->  (
( ( { E }  X.  { E }
)  X.  { X } ) `  x
)  =  ( ( ( { E }  X.  { E } )  X.  { X }
) `  O )
)
3315anidms 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E  e.  V  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
3433adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
3534adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
3635xpeq1d 5022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( { E }  X.  { E }
)  X.  { X } )  =  ( { <. E ,  E >. }  X.  { X } ) )
372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y  e.  B  ->  <. E ,  E >.  e.  _V )
3837anim2i 569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  e.  B  /\  <. E ,  E >.  e.  _V ) )
3938ancomd 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( <. E ,  E >.  e.  _V  /\  X  e.  B ) )
40 xpsng 6061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
<. E ,  E >.  e. 
_V  /\  X  e.  B )  ->  ( { <. E ,  E >. }  X.  { X } )  =  { <. <. E ,  E >. ,  X >. } )
411eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <. E ,  E >.  =  O
4241opeq1i 4216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <. <. E ,  E >. ,  X >.  = 
<. O ,  X >.
4342sneqi 4038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { <. <. E ,  E >. ,  X >. }  =  { <. O ,  X >. }
4440, 43syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. E ,  E >.  e. 
_V  /\  X  e.  B )  ->  ( { <. E ,  E >. }  X.  { X } )  =  { <. O ,  X >. } )
4539, 44syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( { <. E ,  E >. }  X.  { X } )  =  { <. O ,  X >. } )
4645adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. E ,  E >. }  X.  { X } )  =  { <. O ,  X >. } )
4736, 46eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( { E }  X.  { E }
)  X.  { X } )  =  { <. O ,  X >. } )
4847fveq1d 5867 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( { E }  X.  { E } )  X.  { X } ) `  O
)  =  ( {
<. O ,  X >. } `
 O ) )
49 fvsng 6094 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( O  e.  _V  /\  X  e.  B )  ->  ( { <. O ,  X >. } `  O
)  =  X )
506, 49syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( { <. O ,  X >. } `  O
)  =  X )
5150adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. O ,  X >. } `  O
)  =  X )
5248, 51eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( { E }  X.  { E } )  X.  { X } ) `  O
)  =  X )
5332, 52sylan9eq 2528 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  O  /\  ( ( R  e. 
Ring  /\  E  e.  V
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) ) )  ->  ( ( ( { E }  X.  { E } )  X. 
{ X } ) `
 x )  =  X )
5453ex 434 . . . . 5  |-  ( x  =  O  ->  (
( ( R  e. 
Ring  /\  E  e.  V
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( { E }  X.  { E } )  X.  { X } ) `  x
)  =  X ) )
5531, 54syl 16 . . . 4  |-  ( x  e.  { O }  ->  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
( { E }  X.  { E } )  X.  { X }
) `  x )  =  X ) )
5655impcom 430 . . 3  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  E  e.  V
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  /\  x  e.  { O } )  ->  (
( ( { E }  X.  { E }
)  X.  { X } ) `  x
)  =  X )
57 fveq2 5865 . . . . . . 7  |-  ( x  =  O  ->  ( { <. O ,  Y >. } `  x )  =  ( { <. O ,  Y >. } `  O ) )
58 fvsng 6094 . . . . . . . . 9  |-  ( ( O  e.  _V  /\  Y  e.  B )  ->  ( { <. O ,  Y >. } `  O
)  =  Y )
5924, 58sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( { <. O ,  Y >. } `  O
)  =  Y )
6059adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. O ,  Y >. } `  O
)  =  Y )
6157, 60sylan9eq 2528 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  O  /\  ( ( R  e. 
Ring  /\  E  e.  V
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) ) )  ->  ( { <. O ,  Y >. } `  x )  =  Y )
6261ex 434 . . . . 5  |-  ( x  =  O  ->  (
( ( R  e. 
Ring  /\  E  e.  V
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. O ,  Y >. } `  x
)  =  Y ) )
6331, 62syl 16 . . . 4  |-  ( x  e.  { O }  ->  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( { <. O ,  Y >. } `
 x )  =  Y ) )
6463impcom 430 . . 3  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  E  e.  V
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  /\  x  e.  { O } )  ->  ( { <. O ,  Y >. } `  x )  =  Y )
6523, 27, 29, 29, 30, 56, 64offval 6530 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( { E }  X.  { E } )  X.  { X } )  oF ( .r `  R
) { <. O ,  Y >. } )  =  ( x  e.  { O }  |->  ( X ( .r `  R
) Y ) ) )
66 simprl 755 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  X  e.  B )
67 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
6867anim2i 569 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( R  e. 
Ring  /\  E  e.  V
)  /\  Y  e.  B ) )
69 df-3an 975 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  Y  e.  B )  <->  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  Y  e.  B ) )
7068, 69sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  Y  e.  B )
)
71 mat1dim.a . . . . 5  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
72 mat1dim.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
7371, 72, 1mat1dimbas 18757 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  Y  e.  B )  ->  { <. O ,  Y >. }  e.  ( Base `  A )
)
7470, 73syl 16 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. O ,  Y >. }  e.  ( Base `  A ) )
75 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
76 eqid 2467 . . . 4  |-  ( .s
`  A )  =  ( .s `  A
)
77 eqid 2467 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
78 eqid 2467 . . . 4  |-  ( { E }  X.  { E } )  =  ( { E }  X.  { E } )
7971, 75, 72, 76, 77, 78matvsca2 18713 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  {
<. O ,  Y >. }  e.  ( Base `  A
) )  ->  ( X ( .s `  A ) { <. O ,  Y >. } )  =  ( ( ( { E }  X.  { E } )  X. 
{ X } )  oF ( .r
`  R ) {
<. O ,  Y >. } ) )
8066, 74, 79syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .s
`  A ) {
<. O ,  Y >. } )  =  ( ( ( { E }  X.  { E } )  X.  { X }
)  oF ( .r `  R ) { <. O ,  Y >. } ) )
81 3anass 977 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  <->  ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) ) )
8281biimpri 206 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )
8382adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)
8472, 77rngcl 17008 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( .r `  R ) Y )  e.  B )
8583, 84syl 16 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  R ) Y )  e.  B )
86 fmptsn 6080 . . 3  |-  ( ( O  e.  _V  /\  ( X ( .r `  R ) Y )  e.  B )  ->  { <. O ,  ( X ( .r `  R ) Y )
>. }  =  ( x  e.  { O }  |->  ( X ( .r
`  R ) Y ) ) )
873, 85, 86sylancr 663 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. O ,  ( X ( .r `  R ) Y )
>. }  =  ( x  e.  { O }  |->  ( X ( .r
`  R ) Y ) ) )
8865, 80, 873eqtr4d 2518 1  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .s
`  A ) {
<. O ,  Y >. } )  =  { <. O ,  ( X ( .r `  R ) Y ) >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   {csn 4027   <.cop 4033    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997    Fn wfn 5582   ` cfv 5587  (class class class)co 6283    oFcof 6521   Basecbs 14489   .rcmulr 14555   .scvsca 14558   Ringcrg 16995   Mat cmat 18692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-sup 7900  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-fz 11672  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-ip 14572  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-hom 14578  df-cco 14579  df-0g 14696  df-prds 14702  df-pws 14704  df-mnd 15731  df-mgp 16941  df-rng 16997  df-sra 17613  df-rgmod 17614  df-dsmm 18546  df-frlm 18561  df-mat 18693
This theorem is referenced by:  mat1scmat  18824
  Copyright terms: Public domain W3C validator