MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1dimscm Structured version   Unicode version

Theorem mat1dimscm 18844
Description: The scalar multiplication in the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
mat1dim.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mat1dim.o  |-  O  = 
<. E ,  E >.
Assertion
Ref Expression
mat1dimscm  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .s
`  A ) {
<. O ,  Y >. } )  =  { <. O ,  ( X ( .r `  R ) Y ) >. } )

Proof of Theorem mat1dimscm
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat1dim.o . . . . . . . . . . 11  |-  O  = 
<. E ,  E >.
2 opex 4697 . . . . . . . . . . 11  |-  <. E ,  E >.  e.  _V
31, 2eqeltri 2525 . . . . . . . . . 10  |-  O  e. 
_V
43a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  B  ->  O  e.  _V )
54anim2i 569 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  e.  B  /\  O  e.  _V ) )
65ancomd 451 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( O  e.  _V  /\  X  e.  B ) )
7 fnsng 5621 . . . . . . 7  |-  ( ( O  e.  _V  /\  X  e.  B )  ->  { <. O ,  X >. }  Fn  { O } )
86, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  { <. O ,  X >. }  Fn  { O } )
98adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. O ,  X >. }  Fn  { O } )
10 xpsng 6053 . . . . . . . 8  |-  ( ( O  e.  _V  /\  X  e.  B )  ->  ( { O }  X.  { X } )  =  { <. O ,  X >. } )
116, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( { O }  X.  { X } )  =  { <. O ,  X >. } )
1211adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { O }  X.  { X } )  =  { <. O ,  X >. } )
1312fneq1d 5657 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( { O }  X.  { X }
)  Fn  { O } 
<->  { <. O ,  X >. }  Fn  { O } ) )
149, 13mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { O }  X.  { X } )  Fn  { O }
)
15 xpsng 6053 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  e.  V  /\  E  e.  V )  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
161sneqi 4021 . . . . . . . . 9  |-  { O }  =  { <. E ,  E >. }
1715, 16syl6eqr 2500 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  V  /\  E  e.  V )  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { O }
)
1817anidms 645 . . . . . . 7  |-  ( E  e.  V  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { O } )
1918ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { E }  X.  { E } )  =  { O }
)
2019xpeq1d 5008 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( { E }  X.  { E }
)  X.  { X } )  =  ( { O }  X.  { X } ) )
2120fneq1d 5657 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( { E }  X.  { E } )  X.  { X } )  Fn  { O }  <->  ( { O }  X.  { X }
)  Fn  { O } ) )
2214, 21mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( { E }  X.  { E }
)  X.  { X } )  Fn  { O } )
233a1i 11 . . . . 5  |-  ( X  e.  B  ->  O  e.  _V )
24 fnsng 5621 . . . . 5  |-  ( ( O  e.  _V  /\  Y  e.  B )  ->  { <. O ,  Y >. }  Fn  { O } )
2523, 24sylan 471 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  { <. O ,  Y >. }  Fn  { O } )
2625adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. O ,  Y >. }  Fn  { O } )
27 snex 4674 . . . 4  |-  { O }  e.  _V
2827a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { O }  e.  _V )
29 inidm 3689 . . 3  |-  ( { O }  i^i  { O } )  =  { O }
30 elsni 4035 . . . . 5  |-  ( x  e.  { O }  ->  x  =  O )
31 fveq2 5852 . . . . . . 7  |-  ( x  =  O  ->  (
( ( { E }  X.  { E }
)  X.  { X } ) `  x
)  =  ( ( ( { E }  X.  { E } )  X.  { X }
) `  O )
)
3215anidms 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E  e.  V  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
3332ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
3433xpeq1d 5008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( { E }  X.  { E }
)  X.  { X } )  =  ( { <. E ,  E >. }  X.  { X } ) )
352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y  e.  B  ->  <. E ,  E >.  e.  _V )
3635anim2i 569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  e.  B  /\  <. E ,  E >.  e.  _V ) )
3736ancomd 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( <. E ,  E >.  e.  _V  /\  X  e.  B ) )
38 xpsng 6053 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
<. E ,  E >.  e. 
_V  /\  X  e.  B )  ->  ( { <. E ,  E >. }  X.  { X } )  =  { <. <. E ,  E >. ,  X >. } )
391eqcomi 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <. E ,  E >.  =  O
4039opeq1i 4201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <. <. E ,  E >. ,  X >.  = 
<. O ,  X >.
4140sneqi 4021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { <. <. E ,  E >. ,  X >. }  =  { <. O ,  X >. }
4238, 41syl6eq 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. E ,  E >.  e. 
_V  /\  X  e.  B )  ->  ( { <. E ,  E >. }  X.  { X } )  =  { <. O ,  X >. } )
4337, 42syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( { <. E ,  E >. }  X.  { X } )  =  { <. O ,  X >. } )
4443adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. E ,  E >. }  X.  { X } )  =  { <. O ,  X >. } )
4534, 44eqtrd 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( { E }  X.  { E }
)  X.  { X } )  =  { <. O ,  X >. } )
4645fveq1d 5854 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( { E }  X.  { E } )  X.  { X } ) `  O
)  =  ( {
<. O ,  X >. } `
 O ) )
47 fvsng 6086 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( O  e.  _V  /\  X  e.  B )  ->  ( { <. O ,  X >. } `  O
)  =  X )
486, 47syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( { <. O ,  X >. } `  O
)  =  X )
4948adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. O ,  X >. } `  O
)  =  X )
5046, 49eqtrd 2482 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( { E }  X.  { E } )  X.  { X } ) `  O
)  =  X )
5131, 50sylan9eq 2502 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  O  /\  ( ( R  e. 
Ring  /\  E  e.  V
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) ) )  ->  ( ( ( { E }  X.  { E } )  X. 
{ X } ) `
 x )  =  X )
5251ex 434 . . . . 5  |-  ( x  =  O  ->  (
( ( R  e. 
Ring  /\  E  e.  V
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( { E }  X.  { E } )  X.  { X } ) `  x
)  =  X ) )
5330, 52syl 16 . . . 4  |-  ( x  e.  { O }  ->  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
( { E }  X.  { E } )  X.  { X }
) `  x )  =  X ) )
5453impcom 430 . . 3  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  E  e.  V
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  /\  x  e.  { O } )  ->  (
( ( { E }  X.  { E }
)  X.  { X } ) `  x
)  =  X )
55 fveq2 5852 . . . . . . 7  |-  ( x  =  O  ->  ( { <. O ,  Y >. } `  x )  =  ( { <. O ,  Y >. } `  O ) )
56 fvsng 6086 . . . . . . . . 9  |-  ( ( O  e.  _V  /\  Y  e.  B )  ->  ( { <. O ,  Y >. } `  O
)  =  Y )
5723, 56sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( { <. O ,  Y >. } `  O
)  =  Y )
5857adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. O ,  Y >. } `  O
)  =  Y )
5955, 58sylan9eq 2502 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  O  /\  ( ( R  e. 
Ring  /\  E  e.  V
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) ) )  ->  ( { <. O ,  Y >. } `  x )  =  Y )
6059ex 434 . . . . 5  |-  ( x  =  O  ->  (
( ( R  e. 
Ring  /\  E  e.  V
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. O ,  Y >. } `  x
)  =  Y ) )
6130, 60syl 16 . . . 4  |-  ( x  e.  { O }  ->  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( { <. O ,  Y >. } `
 x )  =  Y ) )
6261impcom 430 . . 3  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  E  e.  V
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  /\  x  e.  { O } )  ->  ( { <. O ,  Y >. } `  x )  =  Y )
6322, 26, 28, 28, 29, 54, 62offval 6528 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( { E }  X.  { E } )  X.  { X } )  oF ( .r `  R
) { <. O ,  Y >. } )  =  ( x  e.  { O }  |->  ( X ( .r `  R
) Y ) ) )
64 simprl 755 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  X  e.  B )
65 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
6665anim2i 569 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( R  e. 
Ring  /\  E  e.  V
)  /\  Y  e.  B ) )
67 df-3an 974 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  Y  e.  B )  <->  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  Y  e.  B ) )
6866, 67sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  Y  e.  B )
)
69 mat1dim.a . . . . 5  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
70 mat1dim.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
7169, 70, 1mat1dimbas 18841 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  Y  e.  B )  ->  { <. O ,  Y >. }  e.  ( Base `  A )
)
7268, 71syl 16 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. O ,  Y >. }  e.  ( Base `  A ) )
73 eqid 2441 . . . 4  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
74 eqid 2441 . . . 4  |-  ( .s
`  A )  =  ( .s `  A
)
75 eqid 2441 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
76 eqid 2441 . . . 4  |-  ( { E }  X.  { E } )  =  ( { E }  X.  { E } )
7769, 73, 70, 74, 75, 76matvsca2 18797 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  {
<. O ,  Y >. }  e.  ( Base `  A
) )  ->  ( X ( .s `  A ) { <. O ,  Y >. } )  =  ( ( ( { E }  X.  { E } )  X. 
{ X } )  oF ( .r
`  R ) {
<. O ,  Y >. } ) )
7864, 72, 77syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .s
`  A ) {
<. O ,  Y >. } )  =  ( ( ( { E }  X.  { E } )  X.  { X }
)  oF ( .r `  R ) { <. O ,  Y >. } ) )
79 3anass 976 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  <->  ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) ) )
8079biimpri 206 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )
8180adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)
8270, 75ringcl 17080 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( .r `  R ) Y )  e.  B )
8381, 82syl 16 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  R ) Y )  e.  B )
84 fmptsn 6072 . . 3  |-  ( ( O  e.  _V  /\  ( X ( .r `  R ) Y )  e.  B )  ->  { <. O ,  ( X ( .r `  R ) Y )
>. }  =  ( x  e.  { O }  |->  ( X ( .r
`  R ) Y ) ) )
853, 83, 84sylancr 663 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. O ,  ( X ( .r `  R ) Y )
>. }  =  ( x  e.  { O }  |->  ( X ( .r
`  R ) Y ) ) )
8663, 78, 853eqtr4d 2492 1  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .s
`  A ) {
<. O ,  Y >. } )  =  { <. O ,  ( X ( .r `  R ) Y ) >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   _Vcvv 3093   {csn 4010   <.cop 4016    |-> cmpt 4491    X. cxp 4983    Fn wfn 5569   ` cfv 5574  (class class class)co 6277    oFcof 6519   Basecbs 14504   .rcmulr 14570   .scvsca 14573   Ringcrg 17066   Mat cmat 18776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-ot 4019  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-sup 7899  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-fz 11677  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-hom 14593  df-cco 14594  df-0g 14711  df-prds 14717  df-pws 14719  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-mgp 17010  df-ring 17068  df-sra 17686  df-rgmod 17687  df-dsmm 18630  df-frlm 18645  df-mat 18777
This theorem is referenced by:  mat1scmat  18908
  Copyright terms: Public domain W3C validator