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Theorem mat1dimscm 30883
Description: The scalar multiplication in the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
mat1dim.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mat1dim.o  |-  O  = 
<. E ,  E >.
Assertion
Ref Expression
mat1dimscm  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .s
`  A ) {
<. O ,  Y >. } )  =  { <. O ,  ( X ( .r `  R ) Y ) >. } )

Proof of Theorem mat1dimscm
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat1dim.o . . . . . . . . . . 11  |-  O  = 
<. E ,  E >.
2 opex 4568 . . . . . . . . . . 11  |-  <. E ,  E >.  e.  _V
31, 2eqeltri 2513 . . . . . . . . . 10  |-  O  e. 
_V
43a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  B  ->  O  e.  _V )
54anim2i 569 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  e.  B  /\  O  e.  _V ) )
65ancomd 451 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( O  e.  _V  /\  X  e.  B ) )
7 fnsng 5477 . . . . . . 7  |-  ( ( O  e.  _V  /\  X  e.  B )  ->  { <. O ,  X >. }  Fn  { O } )
86, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  { <. O ,  X >. }  Fn  { O } )
98adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. O ,  X >. }  Fn  { O } )
10 xpsng 5896 . . . . . . . 8  |-  ( ( O  e.  _V  /\  X  e.  B )  ->  ( { O }  X.  { X } )  =  { <. O ,  X >. } )
116, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( { O }  X.  { X } )  =  { <. O ,  X >. } )
1211adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { O }  X.  { X } )  =  { <. O ,  X >. } )
1312fneq1d 5513 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( { O }  X.  { X }
)  Fn  { O } 
<->  { <. O ,  X >. }  Fn  { O } ) )
149, 13mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { O }  X.  { X } )  Fn  { O }
)
15 xpsng 5896 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E  e.  V  /\  E  e.  V )  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
161sneqi 3900 . . . . . . . . . 10  |-  { O }  =  { <. E ,  E >. }
1715, 16syl6eqr 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  e.  V  /\  E  e.  V )  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { O }
)
1817anidms 645 . . . . . . . 8  |-  ( E  e.  V  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { O } )
1918adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { O } )
2019adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { E }  X.  { E } )  =  { O }
)
2120xpeq1d 4875 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( { E }  X.  { E }
)  X.  { X } )  =  ( { O }  X.  { X } ) )
2221fneq1d 5513 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( { E }  X.  { E } )  X.  { X } )  Fn  { O }  <->  ( { O }  X.  { X }
)  Fn  { O } ) )
2314, 22mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( { E }  X.  { E }
)  X.  { X } )  Fn  { O } )
243a1i 11 . . . . 5  |-  ( X  e.  B  ->  O  e.  _V )
25 fnsng 5477 . . . . 5  |-  ( ( O  e.  _V  /\  Y  e.  B )  ->  { <. O ,  Y >. }  Fn  { O } )
2624, 25sylan 471 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  { <. O ,  Y >. }  Fn  { O } )
2726adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. O ,  Y >. }  Fn  { O } )
28 snex 4545 . . . 4  |-  { O }  e.  _V
2928a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { O }  e.  _V )
30 inidm 3571 . . 3  |-  ( { O }  i^i  { O } )  =  { O }
31 elsni 3914 . . . . 5  |-  ( x  e.  { O }  ->  x  =  O )
32 fveq2 5703 . . . . . . 7  |-  ( x  =  O  ->  (
( ( { E }  X.  { E }
)  X.  { X } ) `  x
)  =  ( ( ( { E }  X.  { E } )  X.  { X }
) `  O )
)
3315anidms 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E  e.  V  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
3433adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
3534adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
3635xpeq1d 4875 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( { E }  X.  { E }
)  X.  { X } )  =  ( { <. E ,  E >. }  X.  { X } ) )
372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y  e.  B  ->  <. E ,  E >.  e.  _V )
3837anim2i 569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  e.  B  /\  <. E ,  E >.  e.  _V ) )
3938ancomd 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( <. E ,  E >.  e.  _V  /\  X  e.  B ) )
40 xpsng 5896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
<. E ,  E >.  e. 
_V  /\  X  e.  B )  ->  ( { <. E ,  E >. }  X.  { X } )  =  { <. <. E ,  E >. ,  X >. } )
411eqcomi 2447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <. E ,  E >.  =  O
4241opeq1i 4074 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <. <. E ,  E >. ,  X >.  = 
<. O ,  X >.
4342sneqi 3900 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { <. <. E ,  E >. ,  X >. }  =  { <. O ,  X >. }
4440, 43syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. E ,  E >.  e. 
_V  /\  X  e.  B )  ->  ( { <. E ,  E >. }  X.  { X } )  =  { <. O ,  X >. } )
4539, 44syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( { <. E ,  E >. }  X.  { X } )  =  { <. O ,  X >. } )
4645adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. E ,  E >. }  X.  { X } )  =  { <. O ,  X >. } )
4736, 46eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( { E }  X.  { E }
)  X.  { X } )  =  { <. O ,  X >. } )
4847fveq1d 5705 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( { E }  X.  { E } )  X.  { X } ) `  O
)  =  ( {
<. O ,  X >. } `
 O ) )
49 fvsng 5924 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( O  e.  _V  /\  X  e.  B )  ->  ( { <. O ,  X >. } `  O
)  =  X )
506, 49syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( { <. O ,  X >. } `  O
)  =  X )
5150adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. O ,  X >. } `  O
)  =  X )
5248, 51eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( { E }  X.  { E } )  X.  { X } ) `  O
)  =  X )
5332, 52sylan9eq 2495 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  O  /\  ( ( R  e. 
Ring  /\  E  e.  V
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) ) )  ->  ( ( ( { E }  X.  { E } )  X. 
{ X } ) `
 x )  =  X )
5453ex 434 . . . . 5  |-  ( x  =  O  ->  (
( ( R  e. 
Ring  /\  E  e.  V
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( { E }  X.  { E } )  X.  { X } ) `  x
)  =  X ) )
5531, 54syl 16 . . . 4  |-  ( x  e.  { O }  ->  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
( { E }  X.  { E } )  X.  { X }
) `  x )  =  X ) )
5655impcom 430 . . 3  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  E  e.  V
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  /\  x  e.  { O } )  ->  (
( ( { E }  X.  { E }
)  X.  { X } ) `  x
)  =  X )
57 fveq2 5703 . . . . . . 7  |-  ( x  =  O  ->  ( { <. O ,  Y >. } `  x )  =  ( { <. O ,  Y >. } `  O ) )
58 fvsng 5924 . . . . . . . . 9  |-  ( ( O  e.  _V  /\  Y  e.  B )  ->  ( { <. O ,  Y >. } `  O
)  =  Y )
5924, 58sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( { <. O ,  Y >. } `  O
)  =  Y )
6059adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. O ,  Y >. } `  O
)  =  Y )
6157, 60sylan9eq 2495 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  O  /\  ( ( R  e. 
Ring  /\  E  e.  V
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) ) )  ->  ( { <. O ,  Y >. } `  x )  =  Y )
6261ex 434 . . . . 5  |-  ( x  =  O  ->  (
( ( R  e. 
Ring  /\  E  e.  V
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. O ,  Y >. } `  x
)  =  Y ) )
6331, 62syl 16 . . . 4  |-  ( x  e.  { O }  ->  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( { <. O ,  Y >. } `
 x )  =  Y ) )
6463impcom 430 . . 3  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  E  e.  V
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  /\  x  e.  { O } )  ->  ( { <. O ,  Y >. } `  x )  =  Y )
6523, 27, 29, 29, 30, 56, 64offval 6339 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( { E }  X.  { E } )  X.  { X } )  oF ( .r `  R
) { <. O ,  Y >. } )  =  ( x  e.  { O }  |->  ( X ( .r `  R
) Y ) ) )
66 simprl 755 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  X  e.  B )
67 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
6867anim2i 569 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( R  e. 
Ring  /\  E  e.  V
)  /\  Y  e.  B ) )
69 df-3an 967 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  Y  e.  B )  <->  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  Y  e.  B ) )
7068, 69sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  Y  e.  B )
)
71 mat1dim.a . . . . 5  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
72 mat1dim.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
7371, 72, 1mat1dimbas 30880 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  Y  e.  B )  ->  { <. O ,  Y >. }  e.  ( Base `  A )
)
7470, 73syl 16 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. O ,  Y >. }  e.  ( Base `  A ) )
75 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
76 eqid 2443 . . . 4  |-  ( .s
`  A )  =  ( .s `  A
)
77 eqid 2443 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
78 eqid 2443 . . . 4  |-  ( { E }  X.  { E } )  =  ( { E }  X.  { E } )
7971, 75, 72, 76, 77, 78matvsca2 18340 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  {
<. O ,  Y >. }  e.  ( Base `  A
) )  ->  ( X ( .s `  A ) { <. O ,  Y >. } )  =  ( ( ( { E }  X.  { E } )  X. 
{ X } )  oF ( .r
`  R ) {
<. O ,  Y >. } ) )
8066, 74, 79syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .s
`  A ) {
<. O ,  Y >. } )  =  ( ( ( { E }  X.  { E } )  X.  { X }
)  oF ( .r `  R ) { <. O ,  Y >. } ) )
81 3anass 969 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  <->  ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) ) )
8281biimpri 206 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )
8382adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)
8472, 77rngcl 16670 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( .r `  R ) Y )  e.  B )
8583, 84syl 16 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  R ) Y )  e.  B )
86 fmptsn 5911 . . 3  |-  ( ( O  e.  _V  /\  ( X ( .r `  R ) Y )  e.  B )  ->  { <. O ,  ( X ( .r `  R ) Y )
>. }  =  ( x  e.  { O }  |->  ( X ( .r
`  R ) Y ) ) )
873, 85, 86sylancr 663 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. O ,  ( X ( .r `  R ) Y )
>. }  =  ( x  e.  { O }  |->  ( X ( .r
`  R ) Y ) ) )
8865, 80, 873eqtr4d 2485 1  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .s
`  A ) {
<. O ,  Y >. } )  =  { <. O ,  ( X ( .r `  R ) Y ) >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2984   {csn 3889   <.cop 3895    e. cmpt 4362    X. cxp 4850    Fn wfn 5425   ` cfv 5430  (class class class)co 6103    oFcof 6330   Basecbs 14186   .rcmulr 14251   .scvsca 14254   Ringcrg 16657   Mat cmat 18292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-ot 3898  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-ixp 7276  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-sup 7703  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-fz 11450  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-ip 14268  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-hom 14274  df-cco 14275  df-0g 14392  df-prds 14398  df-pws 14400  df-mnd 15427  df-mgp 16604  df-rng 16659  df-sra 17265  df-rgmod 17266  df-dsmm 18169  df-frlm 18184  df-mat 18294
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