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Theorem mat1dimscm 19147
Description: The scalar multiplication in the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
mat1dim.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mat1dim.o  |-  O  = 
<. E ,  E >.
Assertion
Ref Expression
mat1dimscm  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .s
`  A ) {
<. O ,  Y >. } )  =  { <. O ,  ( X ( .r `  R ) Y ) >. } )

Proof of Theorem mat1dimscm
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat1dim.o . . . . . . . . . . 11  |-  O  = 
<. E ,  E >.
2 opex 4701 . . . . . . . . . . 11  |-  <. E ,  E >.  e.  _V
31, 2eqeltri 2538 . . . . . . . . . 10  |-  O  e. 
_V
43a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  B  ->  O  e.  _V )
54anim2i 567 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  e.  B  /\  O  e.  _V ) )
65ancomd 449 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( O  e.  _V  /\  X  e.  B ) )
7 fnsng 5617 . . . . . . 7  |-  ( ( O  e.  _V  /\  X  e.  B )  ->  { <. O ,  X >. }  Fn  { O } )
86, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  { <. O ,  X >. }  Fn  { O } )
98adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. O ,  X >. }  Fn  { O } )
10 xpsng 6048 . . . . . . . 8  |-  ( ( O  e.  _V  /\  X  e.  B )  ->  ( { O }  X.  { X } )  =  { <. O ,  X >. } )
116, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( { O }  X.  { X } )  =  { <. O ,  X >. } )
1211adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { O }  X.  { X } )  =  { <. O ,  X >. } )
1312fneq1d 5653 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( { O }  X.  { X }
)  Fn  { O } 
<->  { <. O ,  X >. }  Fn  { O } ) )
149, 13mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { O }  X.  { X } )  Fn  { O }
)
15 xpsng 6048 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  e.  V  /\  E  e.  V )  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
161sneqi 4027 . . . . . . . . 9  |-  { O }  =  { <. E ,  E >. }
1715, 16syl6eqr 2513 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  V  /\  E  e.  V )  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { O }
)
1817anidms 643 . . . . . . 7  |-  ( E  e.  V  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { O } )
1918ad2antlr 724 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { E }  X.  { E } )  =  { O }
)
2019xpeq1d 5011 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( { E }  X.  { E }
)  X.  { X } )  =  ( { O }  X.  { X } ) )
2120fneq1d 5653 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( { E }  X.  { E } )  X.  { X } )  Fn  { O }  <->  ( { O }  X.  { X }
)  Fn  { O } ) )
2214, 21mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( { E }  X.  { E }
)  X.  { X } )  Fn  { O } )
233a1i 11 . . . . 5  |-  ( X  e.  B  ->  O  e.  _V )
24 fnsng 5617 . . . . 5  |-  ( ( O  e.  _V  /\  Y  e.  B )  ->  { <. O ,  Y >. }  Fn  { O } )
2523, 24sylan 469 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  { <. O ,  Y >. }  Fn  { O } )
2625adantl 464 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. O ,  Y >. }  Fn  { O } )
27 snex 4678 . . . 4  |-  { O }  e.  _V
2827a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { O }  e.  _V )
29 inidm 3693 . . 3  |-  ( { O }  i^i  { O } )  =  { O }
30 elsni 4041 . . . . 5  |-  ( x  e.  { O }  ->  x  =  O )
31 fveq2 5848 . . . . . . 7  |-  ( x  =  O  ->  (
( ( { E }  X.  { E }
)  X.  { X } ) `  x
)  =  ( ( ( { E }  X.  { E } )  X.  { X }
) `  O )
)
3215anidms 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E  e.  V  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
3332ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
3433xpeq1d 5011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( { E }  X.  { E }
)  X.  { X } )  =  ( { <. E ,  E >. }  X.  { X } ) )
352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y  e.  B  ->  <. E ,  E >.  e.  _V )
3635anim2i 567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  e.  B  /\  <. E ,  E >.  e.  _V ) )
3736ancomd 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( <. E ,  E >.  e.  _V  /\  X  e.  B ) )
38 xpsng 6048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
<. E ,  E >.  e. 
_V  /\  X  e.  B )  ->  ( { <. E ,  E >. }  X.  { X } )  =  { <. <. E ,  E >. ,  X >. } )
391eqcomi 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <. E ,  E >.  =  O
4039opeq1i 4206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <. <. E ,  E >. ,  X >.  = 
<. O ,  X >.
4140sneqi 4027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { <. <. E ,  E >. ,  X >. }  =  { <. O ,  X >. }
4238, 41syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. E ,  E >.  e. 
_V  /\  X  e.  B )  ->  ( { <. E ,  E >. }  X.  { X } )  =  { <. O ,  X >. } )
4337, 42syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( { <. E ,  E >. }  X.  { X } )  =  { <. O ,  X >. } )
4443adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. E ,  E >. }  X.  { X } )  =  { <. O ,  X >. } )
4534, 44eqtrd 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( { E }  X.  { E }
)  X.  { X } )  =  { <. O ,  X >. } )
4645fveq1d 5850 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( { E }  X.  { E } )  X.  { X } ) `  O
)  =  ( {
<. O ,  X >. } `
 O ) )
47 fvsng 6081 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( O  e.  _V  /\  X  e.  B )  ->  ( { <. O ,  X >. } `  O
)  =  X )
486, 47syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( { <. O ,  X >. } `  O
)  =  X )
4948adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. O ,  X >. } `  O
)  =  X )
5046, 49eqtrd 2495 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( { E }  X.  { E } )  X.  { X } ) `  O
)  =  X )
5131, 50sylan9eq 2515 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  O  /\  ( ( R  e. 
Ring  /\  E  e.  V
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) ) )  ->  ( ( ( { E }  X.  { E } )  X. 
{ X } ) `
 x )  =  X )
5251ex 432 . . . . 5  |-  ( x  =  O  ->  (
( ( R  e. 
Ring  /\  E  e.  V
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( { E }  X.  { E } )  X.  { X } ) `  x
)  =  X ) )
5330, 52syl 16 . . . 4  |-  ( x  e.  { O }  ->  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
( { E }  X.  { E } )  X.  { X }
) `  x )  =  X ) )
5453impcom 428 . . 3  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  E  e.  V
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  /\  x  e.  { O } )  ->  (
( ( { E }  X.  { E }
)  X.  { X } ) `  x
)  =  X )
55 fveq2 5848 . . . . . . 7  |-  ( x  =  O  ->  ( { <. O ,  Y >. } `  x )  =  ( { <. O ,  Y >. } `  O ) )
56 fvsng 6081 . . . . . . . . 9  |-  ( ( O  e.  _V  /\  Y  e.  B )  ->  ( { <. O ,  Y >. } `  O
)  =  Y )
5723, 56sylan 469 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( { <. O ,  Y >. } `  O
)  =  Y )
5857adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. O ,  Y >. } `  O
)  =  Y )
5955, 58sylan9eq 2515 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  O  /\  ( ( R  e. 
Ring  /\  E  e.  V
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) ) )  ->  ( { <. O ,  Y >. } `  x )  =  Y )
6059ex 432 . . . . 5  |-  ( x  =  O  ->  (
( ( R  e. 
Ring  /\  E  e.  V
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( { <. O ,  Y >. } `  x
)  =  Y ) )
6130, 60syl 16 . . . 4  |-  ( x  e.  { O }  ->  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( { <. O ,  Y >. } `
 x )  =  Y ) )
6261impcom 428 . . 3  |-  ( ( ( ( R  e. 
Ring  /\  E  e.  V
)  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  /\  x  e.  { O } )  ->  ( { <. O ,  Y >. } `  x )  =  Y )
6322, 26, 28, 28, 29, 54, 62offval 6520 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( { E }  X.  { E } )  X.  { X } )  oF ( .r `  R
) { <. O ,  Y >. } )  =  ( x  e.  { O }  |->  ( X ( .r `  R
) Y ) ) )
64 simprl 754 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  X  e.  B )
65 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
6665anim2i 567 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( R  e. 
Ring  /\  E  e.  V
)  /\  Y  e.  B ) )
67 df-3an 973 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  Y  e.  B )  <->  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  Y  e.  B ) )
6866, 67sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  Y  e.  B )
)
69 mat1dim.a . . . . 5  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
70 mat1dim.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
7169, 70, 1mat1dimbas 19144 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  Y  e.  B )  ->  { <. O ,  Y >. }  e.  ( Base `  A )
)
7268, 71syl 16 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. O ,  Y >. }  e.  ( Base `  A ) )
73 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
74 eqid 2454 . . . 4  |-  ( .s
`  A )  =  ( .s `  A
)
75 eqid 2454 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
76 eqid 2454 . . . 4  |-  ( { E }  X.  { E } )  =  ( { E }  X.  { E } )
7769, 73, 70, 74, 75, 76matvsca2 19100 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  {
<. O ,  Y >. }  e.  ( Base `  A
) )  ->  ( X ( .s `  A ) { <. O ,  Y >. } )  =  ( ( ( { E }  X.  { E } )  X. 
{ X } )  oF ( .r
`  R ) {
<. O ,  Y >. } ) )
7864, 72, 77syl2anc 659 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .s
`  A ) {
<. O ,  Y >. } )  =  ( ( ( { E }  X.  { E } )  X.  { X }
)  oF ( .r `  R ) { <. O ,  Y >. } ) )
79 3anass 975 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  <->  ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) ) )
8079biimpri 206 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )
8180adantlr 712 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)
8270, 75ringcl 17410 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( .r `  R ) Y )  e.  B )
8381, 82syl 16 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  R ) Y )  e.  B )
84 fmptsn 6067 . . 3  |-  ( ( O  e.  _V  /\  ( X ( .r `  R ) Y )  e.  B )  ->  { <. O ,  ( X ( .r `  R ) Y )
>. }  =  ( x  e.  { O }  |->  ( X ( .r
`  R ) Y ) ) )
853, 83, 84sylancr 661 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  { <. O ,  ( X ( .r `  R ) Y )
>. }  =  ( x  e.  { O }  |->  ( X ( .r
`  R ) Y ) ) )
8663, 78, 853eqtr4d 2505 1  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .s
`  A ) {
<. O ,  Y >. } )  =  { <. O ,  ( X ( .r `  R ) Y ) >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106   {csn 4016   <.cop 4022    |-> cmpt 4497    X. cxp 4986    Fn wfn 5565   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    oFcof 6511   Basecbs 14719   .rcmulr 14788   .scvsca 14791   Ringcrg 17396   Mat cmat 19079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-ot 4025  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-hom 14811  df-cco 14812  df-0g 14934  df-prds 14940  df-pws 14942  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-mgp 17340  df-ring 17398  df-sra 18016  df-rgmod 18017  df-dsmm 18939  df-frlm 18954  df-mat 19080
This theorem is referenced by:  mat1scmat  19211
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