MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1dimid Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mat1dimid 19499
Description: The identity of the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
mat1dim.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mat1dim.o  |-  O  = 
<. E ,  E >.
Assertion
Ref Expression
mat1dimid  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( 1r `  A )  =  { <. O ,  ( 1r `  R )
>. } )

Proof of Theorem mat1dimid
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snfi 7650 . . . . . 6  |-  { E }  e.  Fin
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( E  e.  V  ->  { E }  e.  Fin )
32anim2i 573 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( R  e.  Ring  /\  { E }  e.  Fin ) )
43ancomd 453 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( { E }  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)
5 mat1dim.a . . . 4  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
6 eqid 2451 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
7 eqid 2451 . . . 4  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
85, 6, 7mat1 19472 . . 3  |-  ( ( { E }  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  ( 1r `  A )  =  ( x  e.  { E } ,  y  e.  { E }  |->  if ( x  =  y ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) )
94, 8syl 17 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( 1r `  A )  =  ( x  e.  { E } ,  y  e. 
{ E }  |->  if ( x  =  y ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )
10 simpr 463 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  E  e.  V )
11 fvex 5875 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
12 fvex 5875 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1311, 12ifex 3949 . . . . . 6  |-  if ( E  =  E , 
( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) )  e.  _V
1413a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  if ( E  =  E ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  e.  _V )
15 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { E } ,  y  e.  { E }  |->  if ( x  =  y ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( x  e. 
{ E } , 
y  e.  { E }  |->  if ( x  =  y ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )
16 eqeq1 2455 . . . . . . 7  |-  ( x  =  E  ->  (
x  =  y  <->  E  =  y ) )
1716ifbid 3903 . . . . . 6  |-  ( x  =  E  ->  if ( x  =  y ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( E  =  y ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )
18 eqeq2 2462 . . . . . . 7  |-  ( y  =  E  ->  ( E  =  y  <->  E  =  E ) )
1918ifbid 3903 . . . . . 6  |-  ( y  =  E  ->  if ( E  =  y ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( E  =  E , 
( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )
2015, 17, 19mpt2sn 6887 . . . . 5  |-  ( ( E  e.  V  /\  E  e.  V  /\  if ( E  =  E ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  e.  _V )  ->  ( x  e.  { E } ,  y  e. 
{ E }  |->  if ( x  =  y ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  =  { <. <. E ,  E >. ,  if ( E  =  E ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) >. } )
2110, 10, 14, 20syl3anc 1268 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  (
x  e.  { E } ,  y  e.  { E }  |->  if ( x  =  y ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  =  { <. <. E ,  E >. ,  if ( E  =  E ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) >. } )
22 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  E  =  E
2322iftruei 3888 . . . . . 6  |-  if ( E  =  E , 
( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) )  =  ( 1r `  R )
2423opeq2i 4170 . . . . 5  |-  <. <. E ,  E >. ,  if ( E  =  E , 
( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) )
>.  =  <. <. E ,  E >. ,  ( 1r
`  R ) >.
2524sneqi 3979 . . . 4  |-  { <. <. E ,  E >. ,  if ( E  =  E ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) >. }  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( 1r `  R ) >. }
2621, 25syl6eq 2501 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  (
x  e.  { E } ,  y  e.  { E }  |->  if ( x  =  y ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( 1r `  R
) >. } )
27 mat1dim.o . . . . 5  |-  O  = 
<. E ,  E >.
2827opeq1i 4169 . . . 4  |-  <. O , 
( 1r `  R
) >.  =  <. <. E ,  E >. ,  ( 1r
`  R ) >.
2928sneqi 3979 . . 3  |-  { <. O ,  ( 1r `  R ) >. }  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( 1r `  R ) >. }
3026, 29syl6eqr 2503 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  (
x  e.  { E } ,  y  e.  { E }  |->  if ( x  =  y ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  =  { <. O ,  ( 1r `  R ) >. } )
319, 30eqtrd 2485 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( 1r `  A )  =  { <. O ,  ( 1r `  R )
>. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   _Vcvv 3045   ifcif 3881   {csn 3968   <.cop 3974   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    |-> cmpt2 6292   Fincfn 7569   Basecbs 15121   0gc0g 15338   1rcur 17735   Ringcrg 17780   Mat cmat 19432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-ot 3977  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-hom 15214  df-cco 15215  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-prds 15346  df-pws 15348  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-subrg 18006  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-dsmm 19295  df-frlm 19310  df-mamu 19409  df-mat 19433
This theorem is referenced by:  mat1mhm  19509  mat1scmat  19564
  Copyright terms: Public domain W3C validator