MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1dimid Structured version   Unicode version

Theorem mat1dimid 19266
Description: The identity of the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
mat1dim.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mat1dim.o  |-  O  = 
<. E ,  E >.
Assertion
Ref Expression
mat1dimid  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( 1r `  A )  =  { <. O ,  ( 1r `  R )
>. } )

Proof of Theorem mat1dimid
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snfi 7633 . . . . . 6  |-  { E }  e.  Fin
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( E  e.  V  ->  { E }  e.  Fin )
32anim2i 567 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( R  e.  Ring  /\  { E }  e.  Fin ) )
43ancomd 449 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( { E }  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)
5 mat1dim.a . . . 4  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
6 eqid 2402 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
7 eqid 2402 . . . 4  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
85, 6, 7mat1 19239 . . 3  |-  ( ( { E }  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  ( 1r `  A )  =  ( x  e.  { E } ,  y  e.  { E }  |->  if ( x  =  y ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) ) )
94, 8syl 17 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( 1r `  A )  =  ( x  e.  { E } ,  y  e. 
{ E }  |->  if ( x  =  y ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) ) )
10 simpr 459 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  E  e.  V )
11 fvex 5858 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
12 fvex 5858 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1311, 12ifex 3952 . . . . . 6  |-  if ( E  =  E , 
( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) )  e.  _V
1413a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  if ( E  =  E ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  e.  _V )
15 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { E } ,  y  e.  { E }  |->  if ( x  =  y ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  =  ( x  e. 
{ E } , 
y  e.  { E }  |->  if ( x  =  y ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )
16 eqeq1 2406 . . . . . . 7  |-  ( x  =  E  ->  (
x  =  y  <->  E  =  y ) )
1716ifbid 3906 . . . . . 6  |-  ( x  =  E  ->  if ( x  =  y ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( E  =  y ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )
18 eqeq2 2417 . . . . . . 7  |-  ( y  =  E  ->  ( E  =  y  <->  E  =  E ) )
1918ifbid 3906 . . . . . 6  |-  ( y  =  E  ->  if ( E  =  y ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  =  if ( E  =  E , 
( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )
2015, 17, 19mpt2sn 6874 . . . . 5  |-  ( ( E  e.  V  /\  E  e.  V  /\  if ( E  =  E ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) )  e.  _V )  ->  ( x  e.  { E } ,  y  e. 
{ E }  |->  if ( x  =  y ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) )  =  { <. <. E ,  E >. ,  if ( E  =  E ,  ( 1r `  R ) ,  ( 0g `  R ) ) >. } )
2110, 10, 14, 20syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  (
x  e.  { E } ,  y  e.  { E }  |->  if ( x  =  y ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  =  { <. <. E ,  E >. ,  if ( E  =  E ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) >. } )
22 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  E  =  E
2322iftruei 3891 . . . . . 6  |-  if ( E  =  E , 
( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) )  =  ( 1r `  R )
2423opeq2i 4162 . . . . 5  |-  <. <. E ,  E >. ,  if ( E  =  E , 
( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) )
>.  =  <. <. E ,  E >. ,  ( 1r
`  R ) >.
2524sneqi 3982 . . . 4  |-  { <. <. E ,  E >. ,  if ( E  =  E ,  ( 1r
`  R ) ,  ( 0g `  R
) ) >. }  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( 1r `  R ) >. }
2621, 25syl6eq 2459 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  (
x  e.  { E } ,  y  e.  { E }  |->  if ( x  =  y ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( 1r `  R
) >. } )
27 mat1dim.o . . . . 5  |-  O  = 
<. E ,  E >.
2827opeq1i 4161 . . . 4  |-  <. O , 
( 1r `  R
) >.  =  <. <. E ,  E >. ,  ( 1r
`  R ) >.
2928sneqi 3982 . . 3  |-  { <. O ,  ( 1r `  R ) >. }  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( 1r `  R ) >. }
3026, 29syl6eqr 2461 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  (
x  e.  { E } ,  y  e.  { E }  |->  if ( x  =  y ,  ( 1r `  R
) ,  ( 0g
`  R ) ) )  =  { <. O ,  ( 1r `  R ) >. } )
319, 30eqtrd 2443 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( 1r `  A )  =  { <. O ,  ( 1r `  R )
>. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058   ifcif 3884   {csn 3971   <.cop 3977   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    |-> cmpt2 6279   Fincfn 7553   Basecbs 14839   0gc0g 15052   1rcur 17471   Ringcrg 17516   Mat cmat 19199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-ot 3980  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-seq 12150  df-hash 12451  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-hom 14931  df-cco 14932  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-prds 15060  df-pws 15062  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mhm 16288  df-submnd 16289  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-mulg 16382  df-subg 16520  df-ghm 16587  df-cntz 16677  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-subrg 17745  df-lmod 17832  df-lss 17897  df-sra 18136  df-rgmod 18137  df-dsmm 19059  df-frlm 19074  df-mamu 19176  df-mat 19200
This theorem is referenced by:  mat1mhm  19276  mat1scmat  19331
  Copyright terms: Public domain W3C validator