MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1dimelbas Structured version   Unicode version

Theorem mat1dimelbas 18733
Description: A matrix with dimension 1 is an ordered pair with an ordered pair (of the one and only pair of indices) as first component. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
mat1dim.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mat1dim.o  |-  O  = 
<. E ,  E >.
Assertion
Ref Expression
mat1dimelbas  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M  e.  ( Base `  A )  <->  E. r  e.  B  M  =  { <. O ,  r
>. } ) )
Distinct variable groups:    B, r    E, r    M, r    R, r    V, r
Allowed substitution hints:    A( r)    O( r)

Proof of Theorem mat1dimelbas
StepHypRef Expression
1 snfi 7586 . . . 4  |-  { E }  e.  Fin
2 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  R  e.  Ring )
3 mat1dim.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
4 mat1dim.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
53, 4matbas2 18683 . . . . . 6  |-  ( ( { E }  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  ( B  ^m  ( { E }  X.  { E } ) )  =  ( Base `  A
) )
65eqcomd 2468 . . . . 5  |-  ( ( { E }  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  ( Base `  A
)  =  ( B  ^m  ( { E }  X.  { E }
) ) )
76eleq2d 2530 . . . 4  |-  ( ( { E }  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  ( M  e.  ( Base `  A
)  <->  M  e.  ( B  ^m  ( { E }  X.  { E }
) ) ) )
81, 2, 7sylancr 663 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M  e.  ( Base `  A )  <->  M  e.  ( B  ^m  ( { E }  X.  { E } ) ) ) )
9 fvex 5867 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  e.  _V
104, 9eqeltri 2544 . . . 4  |-  B  e. 
_V
11 snex 4681 . . . . . 6  |-  { E }  e.  _V
1211, 11pm3.2i 455 . . . . 5  |-  ( { E }  e.  _V  /\ 
{ E }  e.  _V )
13 xpexg 6702 . . . . 5  |-  ( ( { E }  e.  _V  /\  { E }  e.  _V )  ->  ( { E }  X.  { E } )  e.  _V )
1412, 13mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( { E }  X.  { E } )  e.  _V )
15 elmapg 7423 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( { E }  X.  { E } )  e. 
_V )  ->  ( M  e.  ( B  ^m  ( { E }  X.  { E } ) )  <->  M : ( { E }  X.  { E } ) --> B ) )
1610, 14, 15sylancr 663 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M  e.  ( B  ^m  ( { E }  X.  { E } ) )  <->  M : ( { E }  X.  { E } ) --> B ) )
178, 16bitrd 253 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M  e.  ( Base `  A )  <->  M :
( { E }  X.  { E } ) --> B ) )
18 xpsng 6053 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  V  /\  E  e.  V )  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
1918anidms 645 . . . . . . 7  |-  ( E  e.  V  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
2019adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
2120feq2d 5709 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M : ( { E }  X.  { E }
) --> B  <->  M : { <. E ,  E >. } --> B ) )
22 opex 4704 . . . . . . 7  |-  <. E ,  E >.  e.  _V
2322fsn2 6052 . . . . . 6  |-  ( M : { <. E ,  E >. } --> B  <->  ( ( M `  <. E ,  E >. )  e.  B  /\  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. )
>. } ) )
24 risset 2980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M `  <. E ,  E >. )  e.  B  <->  E. r  e.  B  r  =  ( M `  <. E ,  E >. ) )
25 eqcom 2469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  ( M `  <. E ,  E >. )  <-> 
( M `  <. E ,  E >. )  =  r )
2625rexbii 2958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. r  e.  B  r  =  ( M `  <. E ,  E >. )  <->  E. r  e.  B  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r )
2724, 26sylbb 197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M `  <. E ,  E >. )  e.  B  ->  E. r  e.  B  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r )
2827adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M `  <. E ,  E >. )  e.  B  /\  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. )
>. } )  ->  E. r  e.  B  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r )
2928adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( ( M `
 <. E ,  E >. )  e.  B  /\  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >. } ) )  ->  E. r  e.  B  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r )
30 eqeq1 2464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >. }  ->  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } 
<->  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. )
>. }  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } ) )
31 opex 4704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >.  e.  _V
32 sneqbg 4190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. ) >.  e.  _V  ->  ( { <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. )
>. }  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  <->  <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >.  =  <. <. E ,  E >. ,  r >. ) )
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( {
<. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. )
>. }  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  <->  <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >.  =  <. <. E ,  E >. ,  r >. )
34 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <. E ,  E >.  =  <. E ,  E >.
35 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  r  e. 
_V
3622, 35opth2 4718 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. ) >.  =  <. <. E ,  E >. ,  r >.  <->  ( <. E ,  E >.  =  <. E ,  E >.  /\  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r ) )
3734, 36mpbiran 911 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. ) >.  =  <. <. E ,  E >. ,  r >.  <->  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r )
3833, 37bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
<. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. )
>. }  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  <->  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r )
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >. }  ->  ( { <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. )
>. }  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  <->  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r ) )
4030, 39bitrd 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >. }  ->  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } 
<->  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r ) )
4140adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M `  <. E ,  E >. )  e.  B  /\  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. )
>. } )  ->  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } 
<->  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r ) )
4241adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( ( M `
 <. E ,  E >. )  e.  B  /\  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >. } ) )  ->  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  <->  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r ) )
4342rexbidv 2966 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( ( M `
 <. E ,  E >. )  e.  B  /\  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >. } ) )  ->  ( E. r  e.  B  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  <->  E. r  e.  B  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r ) )
4429, 43mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( ( M `
 <. E ,  E >. )  e.  B  /\  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >. } ) )  ->  E. r  e.  B  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } )
4544ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  (
( ( M `  <. E ,  E >. )  e.  B  /\  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. )
>. } )  ->  E. r  e.  B  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } ) )
4623, 45syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M : { <. E ,  E >. } --> B  ->  E. r  e.  B  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } ) )
4721, 46sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M : ( { E }  X.  { E }
) --> B  ->  E. r  e.  B  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } ) )
48 f1o2sn 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  e.  V  /\  r  e.  B )  ->  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } :
( { E }  X.  { E } ) -1-1-onto-> { r } )
49 f1of 5807 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. <. E ,  E >. ,  r >. } :
( { E }  X.  { E } ) -1-1-onto-> { r }  ->  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } : ( { E }  X.  { E } ) --> { r } )
5048, 49syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  V  /\  r  e.  B )  ->  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } :
( { E }  X.  { E } ) --> { r } )
5150adantll 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  r  e.  B
)  ->  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } : ( { E }  X.  { E }
) --> { r } )
52 snssi 4164 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  B  ->  { r }  C_  B )
5352adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  r  e.  B
)  ->  { r }  C_  B )
54 fss 5730 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. <. E ,  E >. ,  r >. } :
( { E }  X.  { E } ) --> { r }  /\  { r }  C_  B
)  ->  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } : ( { E }  X.  { E }
) --> B )
5551, 53, 54syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  r  e.  B
)  ->  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } : ( { E }  X.  { E }
) --> B )
56 feq1 5704 . . . . . 6  |-  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  ->  ( M :
( { E }  X.  { E } ) --> B  <->  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } :
( { E }  X.  { E } ) --> B ) )
5755, 56syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  r  e.  B
)  ->  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  ->  M : ( { E }  X.  { E }
) --> B ) )
5857rexlimdva 2948 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( E. r  e.  B  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  ->  M : ( { E }  X.  { E } ) --> B ) )
5947, 58impbid 191 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M : ( { E }  X.  { E }
) --> B  <->  E. r  e.  B  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } ) )
60 mat1dim.o . . . . . . . . 9  |-  O  = 
<. E ,  E >.
6160eqcomi 2473 . . . . . . . 8  |-  <. E ,  E >.  =  O
6261opeq1i 4209 . . . . . . 7  |-  <. <. E ,  E >. ,  r >.  =  <. O ,  r
>.
6362sneqi 4031 . . . . . 6  |-  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  =  { <. O ,  r >. }
6463eqeq2i 2478 . . . . 5  |-  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } 
<->  M  =  { <. O ,  r >. } )
6564a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } 
<->  M  =  { <. O ,  r >. } ) )
6665rexbidv 2966 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( E. r  e.  B  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } 
<->  E. r  e.  B  M  =  { <. O , 
r >. } ) )
6759, 66bitrd 253 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M : ( { E }  X.  { E }
) --> B  <->  E. r  e.  B  M  =  { <. O ,  r
>. } ) )
6817, 67bitrd 253 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M  e.  ( Base `  A )  <->  E. r  e.  B  M  =  { <. O ,  r
>. } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   E.wrex 2808   _Vcvv 3106    C_ wss 3469   {csn 4020   <.cop 4026    X. cxp 4990   -->wf 5575   -1-1-onto->wf1o 5578   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    ^m cmap 7410   Fincfn 7506   Basecbs 14479   Ringcrg 16979   Mat cmat 18669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-ot 4029  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-hom 14568  df-cco 14569  df-0g 14686  df-prds 14692  df-pws 14694  df-sra 17594  df-rgmod 17595  df-dsmm 18523  df-frlm 18538  df-mat 18670
This theorem is referenced by:  mat1dimbas  18734  mat1dimcrng  18739  mat1scmat  18801
  Copyright terms: Public domain W3C validator