MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1dimelbas Structured version   Unicode version

Theorem mat1dimelbas 18846
Description: A matrix with dimension 1 is an ordered pair with an ordered pair (of the one and only pair of indices) as first component. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
mat1dim.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mat1dim.o  |-  O  = 
<. E ,  E >.
Assertion
Ref Expression
mat1dimelbas  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M  e.  ( Base `  A )  <->  E. r  e.  B  M  =  { <. O ,  r
>. } ) )
Distinct variable groups:    B, r    E, r    M, r    R, r    V, r
Allowed substitution hints:    A( r)    O( r)

Proof of Theorem mat1dimelbas
StepHypRef Expression
1 snfi 7598 . . . 4  |-  { E }  e.  Fin
2 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  R  e.  Ring )
3 mat1dim.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
4 mat1dim.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
53, 4matbas2 18796 . . . . . 6  |-  ( ( { E }  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  ( B  ^m  ( { E }  X.  { E } ) )  =  ( Base `  A
) )
65eqcomd 2451 . . . . 5  |-  ( ( { E }  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  ( Base `  A
)  =  ( B  ^m  ( { E }  X.  { E }
) ) )
76eleq2d 2513 . . . 4  |-  ( ( { E }  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  ( M  e.  ( Base `  A
)  <->  M  e.  ( B  ^m  ( { E }  X.  { E }
) ) ) )
81, 2, 7sylancr 663 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M  e.  ( Base `  A )  <->  M  e.  ( B  ^m  ( { E }  X.  { E } ) ) ) )
9 fvex 5866 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  e.  _V
104, 9eqeltri 2527 . . . 4  |-  B  e. 
_V
11 snex 4678 . . . . . 6  |-  { E }  e.  _V
1211, 11pm3.2i 455 . . . . 5  |-  ( { E }  e.  _V  /\ 
{ E }  e.  _V )
13 xpexg 6587 . . . . 5  |-  ( ( { E }  e.  _V  /\  { E }  e.  _V )  ->  ( { E }  X.  { E } )  e.  _V )
1412, 13mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( { E }  X.  { E } )  e.  _V )
15 elmapg 7435 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( { E }  X.  { E } )  e. 
_V )  ->  ( M  e.  ( B  ^m  ( { E }  X.  { E } ) )  <->  M : ( { E }  X.  { E } ) --> B ) )
1610, 14, 15sylancr 663 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M  e.  ( B  ^m  ( { E }  X.  { E } ) )  <->  M : ( { E }  X.  { E } ) --> B ) )
178, 16bitrd 253 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M  e.  ( Base `  A )  <->  M :
( { E }  X.  { E } ) --> B ) )
18 xpsng 6057 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  V  /\  E  e.  V )  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
1918anidms 645 . . . . . . 7  |-  ( E  e.  V  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
2019adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
2120feq2d 5708 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M : ( { E }  X.  { E }
) --> B  <->  M : { <. E ,  E >. } --> B ) )
22 opex 4701 . . . . . . 7  |-  <. E ,  E >.  e.  _V
2322fsn2 6056 . . . . . 6  |-  ( M : { <. E ,  E >. } --> B  <->  ( ( M `  <. E ,  E >. )  e.  B  /\  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. )
>. } ) )
24 risset 2968 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M `  <. E ,  E >. )  e.  B  <->  E. r  e.  B  r  =  ( M `  <. E ,  E >. ) )
25 eqcom 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( M `  <. E ,  E >. )  <-> 
( M `  <. E ,  E >. )  =  r )
2625rexbii 2945 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. r  e.  B  r  =  ( M `  <. E ,  E >. )  <->  E. r  e.  B  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r )
2724, 26sylbb 197 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M `  <. E ,  E >. )  e.  B  ->  E. r  e.  B  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r )
2827ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( ( M `
 <. E ,  E >. )  e.  B  /\  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >. } ) )  ->  E. r  e.  B  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r )
29 eqeq1 2447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >. }  ->  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } 
<->  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. )
>. }  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } ) )
30 opex 4701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >.  e.  _V
31 sneqbg 4185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. ) >.  e.  _V  ->  ( { <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. )
>. }  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  <->  <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >.  =  <. <. E ,  E >. ,  r >. ) )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( {
<. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. )
>. }  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  <->  <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >.  =  <. <. E ,  E >. ,  r >. )
33 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <. E ,  E >.  =  <. E ,  E >.
34 vex 3098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  r  e. 
_V
3522, 34opth2 4715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. ) >.  =  <. <. E ,  E >. ,  r >.  <->  ( <. E ,  E >.  =  <. E ,  E >.  /\  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r ) )
3633, 35mpbiran 918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. ) >.  =  <. <. E ,  E >. ,  r >.  <->  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r )
3732, 36bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
<. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. )
>. }  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  <->  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r )
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >. }  ->  ( { <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. )
>. }  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  <->  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r ) )
3929, 38bitrd 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >. }  ->  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } 
<->  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r ) )
4039adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M `  <. E ,  E >. )  e.  B  /\  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. )
>. } )  ->  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } 
<->  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r ) )
4140adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( ( M `
 <. E ,  E >. )  e.  B  /\  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >. } ) )  ->  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  <->  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r ) )
4241rexbidv 2954 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( ( M `
 <. E ,  E >. )  e.  B  /\  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >. } ) )  ->  ( E. r  e.  B  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  <->  E. r  e.  B  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r ) )
4328, 42mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( ( M `
 <. E ,  E >. )  e.  B  /\  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >. } ) )  ->  E. r  e.  B  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } )
4443ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  (
( ( M `  <. E ,  E >. )  e.  B  /\  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. )
>. } )  ->  E. r  e.  B  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } ) )
4523, 44syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M : { <. E ,  E >. } --> B  ->  E. r  e.  B  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } ) )
4621, 45sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M : ( { E }  X.  { E }
) --> B  ->  E. r  e.  B  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } ) )
47 f1o2sn 6059 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  e.  V  /\  r  e.  B )  ->  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } :
( { E }  X.  { E } ) -1-1-onto-> { r } )
48 f1of 5806 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. <. E ,  E >. ,  r >. } :
( { E }  X.  { E } ) -1-1-onto-> { r }  ->  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } : ( { E }  X.  { E } ) --> { r } )
4947, 48syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  V  /\  r  e.  B )  ->  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } :
( { E }  X.  { E } ) --> { r } )
5049adantll 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  r  e.  B
)  ->  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } : ( { E }  X.  { E }
) --> { r } )
51 snssi 4159 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  B  ->  { r }  C_  B )
5251adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  r  e.  B
)  ->  { r }  C_  B )
5350, 52fssd 5730 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  r  e.  B
)  ->  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } : ( { E }  X.  { E }
) --> B )
54 feq1 5703 . . . . . 6  |-  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  ->  ( M :
( { E }  X.  { E } ) --> B  <->  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } :
( { E }  X.  { E } ) --> B ) )
5553, 54syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  r  e.  B
)  ->  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  ->  M : ( { E }  X.  { E }
) --> B ) )
5655rexlimdva 2935 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( E. r  e.  B  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  ->  M : ( { E }  X.  { E } ) --> B ) )
5746, 56impbid 191 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M : ( { E }  X.  { E }
) --> B  <->  E. r  e.  B  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } ) )
58 mat1dim.o . . . . . . . . 9  |-  O  = 
<. E ,  E >.
5958eqcomi 2456 . . . . . . . 8  |-  <. E ,  E >.  =  O
6059opeq1i 4205 . . . . . . 7  |-  <. <. E ,  E >. ,  r >.  =  <. O ,  r
>.
6160sneqi 4025 . . . . . 6  |-  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  =  { <. O ,  r >. }
6261eqeq2i 2461 . . . . 5  |-  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } 
<->  M  =  { <. O ,  r >. } )
6362a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } 
<->  M  =  { <. O ,  r >. } ) )
6463rexbidv 2954 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( E. r  e.  B  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } 
<->  E. r  e.  B  M  =  { <. O , 
r >. } ) )
6557, 64bitrd 253 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M : ( { E }  X.  { E }
) --> B  <->  E. r  e.  B  M  =  { <. O ,  r
>. } ) )
6617, 65bitrd 253 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M  e.  ( Base `  A )  <->  E. r  e.  B  M  =  { <. O ,  r
>. } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   E.wrex 2794   _Vcvv 3095    C_ wss 3461   {csn 4014   <.cop 4020    X. cxp 4987   -->wf 5574   -1-1-onto->wf1o 5577   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    ^m cmap 7422   Fincfn 7518   Basecbs 14509   Ringcrg 17072   Mat cmat 18782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-ot 4023  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-fz 11682  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-hom 14598  df-cco 14599  df-0g 14716  df-prds 14722  df-pws 14724  df-sra 17692  df-rgmod 17693  df-dsmm 18636  df-frlm 18651  df-mat 18783
This theorem is referenced by:  mat1dimbas  18847  mat1dimcrng  18852  mat1scmat  18914
  Copyright terms: Public domain W3C validator