Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mat1dimelbas Structured version   Unicode version

Theorem mat1dimelbas 31024
Description: A matrix with dimension 1 is an ordered pair with an ordered pair (of the one and only pair of indices) as first component. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
mat1dim.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mat1dim.o  |-  O  = 
<. E ,  E >.
Assertion
Ref Expression
mat1dimelbas  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M  e.  ( Base `  A )  <->  E. r  e.  B  M  =  { <. O ,  r
>. } ) )
Distinct variable groups:    B, r    E, r    M, r    R, r    V, r
Allowed substitution hints:    A( r)    O( r)

Proof of Theorem mat1dimelbas
StepHypRef Expression
1 snfi 7493 . . . 4  |-  { E }  e.  Fin
2 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  R  e.  Ring )
3 mat1dim.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
4 mat1dim.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
53, 4matbas2 18440 . . . . . 6  |-  ( ( { E }  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  ( B  ^m  ( { E }  X.  { E } ) )  =  ( Base `  A
) )
65eqcomd 2459 . . . . 5  |-  ( ( { E }  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  ( Base `  A
)  =  ( B  ^m  ( { E }  X.  { E }
) ) )
76eleq2d 2521 . . . 4  |-  ( ( { E }  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  ( M  e.  ( Base `  A
)  <->  M  e.  ( B  ^m  ( { E }  X.  { E }
) ) ) )
81, 2, 7sylancr 663 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M  e.  ( Base `  A )  <->  M  e.  ( B  ^m  ( { E }  X.  { E } ) ) ) )
9 fvex 5802 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  e.  _V
104, 9eqeltri 2535 . . . 4  |-  B  e. 
_V
11 snex 4634 . . . . . 6  |-  { E }  e.  _V
1211, 11pm3.2i 455 . . . . 5  |-  ( { E }  e.  _V  /\ 
{ E }  e.  _V )
13 xpexg 6610 . . . . 5  |-  ( ( { E }  e.  _V  /\  { E }  e.  _V )  ->  ( { E }  X.  { E } )  e.  _V )
1412, 13mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( { E }  X.  { E } )  e.  _V )
15 elmapg 7330 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( { E }  X.  { E } )  e. 
_V )  ->  ( M  e.  ( B  ^m  ( { E }  X.  { E } ) )  <->  M : ( { E }  X.  { E } ) --> B ) )
1610, 14, 15sylancr 663 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M  e.  ( B  ^m  ( { E }  X.  { E } ) )  <->  M : ( { E }  X.  { E } ) --> B ) )
178, 16bitrd 253 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M  e.  ( Base `  A )  <->  M :
( { E }  X.  { E } ) --> B ) )
18 xpsng 5986 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  V  /\  E  e.  V )  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
1918anidms 645 . . . . . . 7  |-  ( E  e.  V  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
2019adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
2120feq2d 5648 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M : ( { E }  X.  { E }
) --> B  <->  M : { <. E ,  E >. } --> B ) )
22 opex 4657 . . . . . . 7  |-  <. E ,  E >.  e.  _V
2322fsn2 5985 . . . . . 6  |-  ( M : { <. E ,  E >. } --> B  <->  ( ( M `  <. E ,  E >. )  e.  B  /\  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. )
>. } ) )
24 risset 2877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M `  <. E ,  E >. )  e.  B  <->  E. r  e.  B  r  =  ( M `  <. E ,  E >. ) )
25 eqcom 2460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  ( M `  <. E ,  E >. )  <-> 
( M `  <. E ,  E >. )  =  r )
2625rexbii 2859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. r  e.  B  r  =  ( M `  <. E ,  E >. )  <->  E. r  e.  B  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r )
2724, 26sylbb 197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M `  <. E ,  E >. )  e.  B  ->  E. r  e.  B  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r )
2827adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M `  <. E ,  E >. )  e.  B  /\  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. )
>. } )  ->  E. r  e.  B  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r )
2928adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( ( M `
 <. E ,  E >. )  e.  B  /\  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >. } ) )  ->  E. r  e.  B  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r )
30 eqeq1 2455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >. }  ->  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } 
<->  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. )
>. }  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } ) )
31 opex 4657 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >.  e.  _V
32 sneqbg 4144 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. ) >.  e.  _V  ->  ( { <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. )
>. }  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  <->  <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >.  =  <. <. E ,  E >. ,  r >. ) )
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( {
<. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. )
>. }  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  <->  <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >.  =  <. <. E ,  E >. ,  r >. )
34 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <. E ,  E >.  =  <. E ,  E >.
35 vex 3074 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  r  e. 
_V
3622, 35opth2 4671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. ) >.  =  <. <. E ,  E >. ,  r >.  <->  ( <. E ,  E >.  =  <. E ,  E >.  /\  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r ) )
3734, 36mpbiran 909 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. ) >.  =  <. <. E ,  E >. ,  r >.  <->  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r )
3833, 37bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
<. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. )
>. }  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  <->  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r )
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >. }  ->  ( { <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. )
>. }  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  <->  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r ) )
4030, 39bitrd 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >. }  ->  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } 
<->  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r ) )
4140adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M `  <. E ,  E >. )  e.  B  /\  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. )
>. } )  ->  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } 
<->  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r ) )
4241adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( ( M `
 <. E ,  E >. )  e.  B  /\  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >. } ) )  ->  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  <->  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r ) )
4342rexbidv 2855 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( ( M `
 <. E ,  E >. )  e.  B  /\  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >. } ) )  ->  ( E. r  e.  B  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  <->  E. r  e.  B  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r ) )
4429, 43mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( ( M `
 <. E ,  E >. )  e.  B  /\  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >. } ) )  ->  E. r  e.  B  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } )
4544ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  (
( ( M `  <. E ,  E >. )  e.  B  /\  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. )
>. } )  ->  E. r  e.  B  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } ) )
4623, 45syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M : { <. E ,  E >. } --> B  ->  E. r  e.  B  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } ) )
4721, 46sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M : ( { E }  X.  { E }
) --> B  ->  E. r  e.  B  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } ) )
48 f1o2sn 30866 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  e.  V  /\  r  e.  B )  ->  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } :
( { E }  X.  { E } ) -1-1-onto-> { r } )
49 f1of 5742 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. <. E ,  E >. ,  r >. } :
( { E }  X.  { E } ) -1-1-onto-> { r }  ->  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } : ( { E }  X.  { E } ) --> { r } )
5048, 49syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  V  /\  r  e.  B )  ->  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } :
( { E }  X.  { E } ) --> { r } )
5150adantll 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  r  e.  B
)  ->  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } : ( { E }  X.  { E }
) --> { r } )
52 snssi 4118 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  B  ->  { r }  C_  B )
5352adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  r  e.  B
)  ->  { r }  C_  B )
54 fss 5668 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. <. E ,  E >. ,  r >. } :
( { E }  X.  { E } ) --> { r }  /\  { r }  C_  B
)  ->  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } : ( { E }  X.  { E }
) --> B )
5551, 53, 54syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  r  e.  B
)  ->  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } : ( { E }  X.  { E }
) --> B )
56 feq1 5643 . . . . . 6  |-  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  ->  ( M :
( { E }  X.  { E } ) --> B  <->  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } :
( { E }  X.  { E } ) --> B ) )
5755, 56syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  r  e.  B
)  ->  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  ->  M : ( { E }  X.  { E }
) --> B ) )
5857rexlimdva 2940 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( E. r  e.  B  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  ->  M : ( { E }  X.  { E } ) --> B ) )
5947, 58impbid 191 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M : ( { E }  X.  { E }
) --> B  <->  E. r  e.  B  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } ) )
60 mat1dim.o . . . . . . . . 9  |-  O  = 
<. E ,  E >.
6160eqcomi 2464 . . . . . . . 8  |-  <. E ,  E >.  =  O
6261opeq1i 4163 . . . . . . 7  |-  <. <. E ,  E >. ,  r >.  =  <. O ,  r
>.
6362sneqi 3989 . . . . . 6  |-  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  =  { <. O ,  r >. }
6463eqeq2i 2469 . . . . 5  |-  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } 
<->  M  =  { <. O ,  r >. } )
6564a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } 
<->  M  =  { <. O ,  r >. } ) )
6665rexbidv 2855 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( E. r  e.  B  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } 
<->  E. r  e.  B  M  =  { <. O , 
r >. } ) )
6759, 66bitrd 253 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M : ( { E }  X.  { E }
) --> B  <->  E. r  e.  B  M  =  { <. O ,  r
>. } ) )
6817, 67bitrd 253 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M  e.  ( Base `  A )  <->  E. r  e.  B  M  =  { <. O ,  r
>. } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2796   _Vcvv 3071    C_ wss 3429   {csn 3978   <.cop 3984    X. cxp 4939   -->wf 5515   -1-1-onto->wf1o 5518   ` cfv 5519  (class class class)co 6193    ^m cmap 7317   Fincfn 7413   Basecbs 14285   Ringcrg 16760   Mat cmat 18398
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-ot 3987  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-sup 7795  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-fz 11548  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-hom 14373  df-cco 14374  df-0g 14491  df-prds 14497  df-pws 14499  df-sra 17368  df-rgmod 17369  df-dsmm 18275  df-frlm 18290  df-mat 18400
This theorem is referenced by:  mat1dimbas  31025  mat1dimcrng  31030
  Copyright terms: Public domain W3C validator