MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1dimelbas Structured version   Unicode version

Theorem mat1dimelbas 19058
Description: A matrix with dimension 1 is an ordered pair with an ordered pair (of the one and only pair of indices) as first component. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
mat1dim.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mat1dim.o  |-  O  = 
<. E ,  E >.
Assertion
Ref Expression
mat1dimelbas  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M  e.  ( Base `  A )  <->  E. r  e.  B  M  =  { <. O ,  r
>. } ) )
Distinct variable groups:    B, r    E, r    M, r    R, r    V, r
Allowed substitution hints:    A( r)    O( r)

Proof of Theorem mat1dimelbas
StepHypRef Expression
1 snfi 7515 . . . 4  |-  { E }  e.  Fin
2 simpl 455 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  R  e.  Ring )
3 mat1dim.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
4 mat1dim.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
53, 4matbas2 19008 . . . . . 6  |-  ( ( { E }  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  ( B  ^m  ( { E }  X.  { E } ) )  =  ( Base `  A
) )
65eqcomd 2390 . . . . 5  |-  ( ( { E }  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  ( Base `  A
)  =  ( B  ^m  ( { E }  X.  { E }
) ) )
76eleq2d 2452 . . . 4  |-  ( ( { E }  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  ( M  e.  ( Base `  A
)  <->  M  e.  ( B  ^m  ( { E }  X.  { E }
) ) ) )
81, 2, 7sylancr 661 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M  e.  ( Base `  A )  <->  M  e.  ( B  ^m  ( { E }  X.  { E } ) ) ) )
9 fvex 5784 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  e.  _V
104, 9eqeltri 2466 . . . 4  |-  B  e. 
_V
11 snex 4603 . . . . . 6  |-  { E }  e.  _V
1211, 11pm3.2i 453 . . . . 5  |-  ( { E }  e.  _V  /\ 
{ E }  e.  _V )
13 xpexg 6501 . . . . 5  |-  ( ( { E }  e.  _V  /\  { E }  e.  _V )  ->  ( { E }  X.  { E } )  e.  _V )
1412, 13mp1i 12 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( { E }  X.  { E } )  e.  _V )
15 elmapg 7351 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( { E }  X.  { E } )  e. 
_V )  ->  ( M  e.  ( B  ^m  ( { E }  X.  { E } ) )  <->  M : ( { E }  X.  { E } ) --> B ) )
1610, 14, 15sylancr 661 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M  e.  ( B  ^m  ( { E }  X.  { E } ) )  <->  M : ( { E }  X.  { E } ) --> B ) )
178, 16bitrd 253 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M  e.  ( Base `  A )  <->  M :
( { E }  X.  { E } ) --> B ) )
18 xpsng 5974 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  V  /\  E  e.  V )  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
1918anidms 643 . . . . . . 7  |-  ( E  e.  V  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
2019adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( { E }  X.  { E } )  =  { <. E ,  E >. } )
2120feq2d 5626 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M : ( { E }  X.  { E }
) --> B  <->  M : { <. E ,  E >. } --> B ) )
22 opex 4626 . . . . . . 7  |-  <. E ,  E >.  e.  _V
2322fsn2 5973 . . . . . 6  |-  ( M : { <. E ,  E >. } --> B  <->  ( ( M `  <. E ,  E >. )  e.  B  /\  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. )
>. } ) )
24 risset 2907 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M `  <. E ,  E >. )  e.  B  <->  E. r  e.  B  r  =  ( M `  <. E ,  E >. ) )
25 eqcom 2391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( M `  <. E ,  E >. )  <-> 
( M `  <. E ,  E >. )  =  r )
2625rexbii 2884 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. r  e.  B  r  =  ( M `  <. E ,  E >. )  <->  E. r  e.  B  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r )
2724, 26sylbb 197 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M `  <. E ,  E >. )  e.  B  ->  E. r  e.  B  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r )
2827ad2antrl 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( ( M `
 <. E ,  E >. )  e.  B  /\  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >. } ) )  ->  E. r  e.  B  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r )
29 eqeq1 2386 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >. }  ->  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } 
<->  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. )
>. }  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } ) )
30 opex 4626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >.  e.  _V
31 sneqbg 4114 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. ) >.  e.  _V  ->  ( { <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. )
>. }  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  <->  <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >.  =  <. <. E ,  E >. ,  r >. ) )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( {
<. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. )
>. }  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  <->  <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >.  =  <. <. E ,  E >. ,  r >. )
33 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <. E ,  E >.  =  <. E ,  E >.
34 vex 3037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  r  e. 
_V
3522, 34opth2 4640 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. ) >.  =  <. <. E ,  E >. ,  r >.  <->  ( <. E ,  E >.  =  <. E ,  E >.  /\  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r ) )
3633, 35mpbiran 916 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. ) >.  =  <. <. E ,  E >. ,  r >.  <->  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r )
3732, 36bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
<. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. )
>. }  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  <->  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r )
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >. }  ->  ( { <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. )
>. }  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  <->  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r ) )
3929, 38bitrd 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >. }  ->  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } 
<->  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r ) )
4039adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M `  <. E ,  E >. )  e.  B  /\  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. )
>. } )  ->  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } 
<->  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r ) )
4140adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( ( M `
 <. E ,  E >. )  e.  B  /\  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >. } ) )  ->  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  <->  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r ) )
4241rexbidv 2893 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( ( M `
 <. E ,  E >. )  e.  B  /\  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >. } ) )  ->  ( E. r  e.  B  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  <->  E. r  e.  B  ( M `  <. E ,  E >. )  =  r ) )
4328, 42mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  ( ( M `
 <. E ,  E >. )  e.  B  /\  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `
 <. E ,  E >. ) >. } ) )  ->  E. r  e.  B  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } )
4443ex 432 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  (
( ( M `  <. E ,  E >. )  e.  B  /\  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( M `  <. E ,  E >. )
>. } )  ->  E. r  e.  B  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } ) )
4523, 44syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M : { <. E ,  E >. } --> B  ->  E. r  e.  B  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } ) )
4621, 45sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M : ( { E }  X.  { E }
) --> B  ->  E. r  e.  B  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } ) )
47 f1o2sn 5976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  e.  V  /\  r  e.  B )  ->  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } :
( { E }  X.  { E } ) -1-1-onto-> { r } )
48 f1of 5724 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. <. E ,  E >. ,  r >. } :
( { E }  X.  { E } ) -1-1-onto-> { r }  ->  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } : ( { E }  X.  { E } ) --> { r } )
4947, 48syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( E  e.  V  /\  r  e.  B )  ->  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } :
( { E }  X.  { E } ) --> { r } )
5049adantll 711 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  r  e.  B
)  ->  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } : ( { E }  X.  { E }
) --> { r } )
51 snssi 4088 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  B  ->  { r }  C_  B )
5251adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  r  e.  B
)  ->  { r }  C_  B )
5350, 52fssd 5648 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  r  e.  B
)  ->  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } : ( { E }  X.  { E }
) --> B )
54 feq1 5621 . . . . . 6  |-  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  ->  ( M :
( { E }  X.  { E } ) --> B  <->  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } :
( { E }  X.  { E } ) --> B ) )
5553, 54syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  /\  r  e.  B
)  ->  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  ->  M : ( { E }  X.  { E }
) --> B ) )
5655rexlimdva 2874 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( E. r  e.  B  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  ->  M : ( { E }  X.  { E } ) --> B ) )
5746, 56impbid 191 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M : ( { E }  X.  { E }
) --> B  <->  E. r  e.  B  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } ) )
58 mat1dim.o . . . . . . . . 9  |-  O  = 
<. E ,  E >.
5958eqcomi 2395 . . . . . . . 8  |-  <. E ,  E >.  =  O
6059opeq1i 4134 . . . . . . 7  |-  <. <. E ,  E >. ,  r >.  =  <. O ,  r
>.
6160sneqi 3955 . . . . . 6  |-  { <. <. E ,  E >. ,  r >. }  =  { <. O ,  r >. }
6261eqeq2i 2400 . . . . 5  |-  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } 
<->  M  =  { <. O ,  r >. } )
6362a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } 
<->  M  =  { <. O ,  r >. } ) )
6463rexbidv 2893 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( E. r  e.  B  M  =  { <. <. E ,  E >. ,  r >. } 
<->  E. r  e.  B  M  =  { <. O , 
r >. } ) )
6557, 64bitrd 253 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M : ( { E }  X.  { E }
) --> B  <->  E. r  e.  B  M  =  { <. O ,  r
>. } ) )
6617, 65bitrd 253 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( M  e.  ( Base `  A )  <->  E. r  e.  B  M  =  { <. O ,  r
>. } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   E.wrex 2733   _Vcvv 3034    C_ wss 3389   {csn 3944   <.cop 3950    X. cxp 4911   -->wf 5492   -1-1-onto->wf1o 5495   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    ^m cmap 7338   Fincfn 7435   Basecbs 14634   Ringcrg 17311   Mat cmat 18994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-ot 3953  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-fz 11594  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-hom 14726  df-cco 14727  df-0g 14849  df-prds 14855  df-pws 14857  df-sra 17931  df-rgmod 17932  df-dsmm 18854  df-frlm 18869  df-mat 18995
This theorem is referenced by:  mat1dimbas  19059  mat1dimcrng  19064  mat1scmat  19126
  Copyright terms: Public domain W3C validator