MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1dimbas Structured version   Unicode version

Theorem mat1dimbas 18847
Description: A matrix with dimension 1 is an ordered pair with an ordered pair (of the one and only pair of indices) as first component. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
mat1dim.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mat1dim.o  |-  O  = 
<. E ,  E >.
Assertion
Ref Expression
mat1dimbas  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  { <. O ,  X >. }  e.  ( Base `  A )
)

Proof of Theorem mat1dimbas
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 risset 2968 . . . . . 6  |-  ( X  e.  B  <->  E. r  e.  B  r  =  X )
21biimpi 194 . . . . 5  |-  ( X  e.  B  ->  E. r  e.  B  r  =  X )
3 eqcom 2452 . . . . . 6  |-  ( X  =  r  <->  r  =  X )
43rexbii 2945 . . . . 5  |-  ( E. r  e.  B  X  =  r  <->  E. r  e.  B  r  =  X )
52, 4sylibr 212 . . . 4  |-  ( X  e.  B  ->  E. r  e.  B  X  =  r )
653ad2ant3 1020 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  E. r  e.  B  X  =  r )
7 mat1dim.o . . . . . . 7  |-  O  = 
<. E ,  E >.
8 opex 4701 . . . . . . 7  |-  <. E ,  E >.  e.  _V
97, 8eqeltri 2527 . . . . . 6  |-  O  e. 
_V
10 simp3 999 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
11 opthg 4712 . . . . . 6  |-  ( ( O  e.  _V  /\  X  e.  B )  ->  ( <. O ,  X >.  =  <. O ,  r
>. 
<->  ( O  =  O  /\  X  =  r ) ) )
129, 10, 11sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( <. O ,  X >.  = 
<. O ,  r >.  <->  ( O  =  O  /\  X  =  r )
) )
13 opex 4701 . . . . . 6  |-  <. O ,  X >.  e.  _V
14 sneqbg 4185 . . . . . 6  |-  ( <. O ,  X >.  e. 
_V  ->  ( { <. O ,  X >. }  =  { <. O ,  r
>. }  <->  <. O ,  X >.  =  <. O ,  r
>. ) )
1513, 14ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( {
<. O ,  X >. }  =  { <. O , 
r >. }  <->  <. O ,  X >.  =  <. O , 
r >. )
16 eqid 2443 . . . . . 6  |-  O  =  O
1716biantrur 506 . . . . 5  |-  ( X  =  r  <->  ( O  =  O  /\  X  =  r ) )
1812, 15, 173bitr4g 288 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( { <. O ,  X >. }  =  { <. O ,  r >. }  <->  X  =  r ) )
1918rexbidv 2954 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( E. r  e.  B  { <. O ,  X >. }  =  { <. O ,  r >. }  <->  E. r  e.  B  X  =  r ) )
206, 19mpbird 232 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  E. r  e.  B  { <. O ,  X >. }  =  { <. O ,  r >. } )
21 mat1dim.a . . . 4  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
22 mat1dim.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
2321, 22, 7mat1dimelbas 18846 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( { <. O ,  X >. }  e.  ( Base `  A )  <->  E. r  e.  B  { <. O ,  X >. }  =  { <. O ,  r >. } ) )
24233adant3 1017 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( { <. O ,  X >. }  e.  ( Base `  A )  <->  E. r  e.  B  { <. O ,  X >. }  =  { <. O ,  r >. } ) )
2520, 24mpbird 232 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  { <. O ,  X >. }  e.  ( Base `  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   E.wrex 2794   _Vcvv 3095   {csn 4014   <.cop 4020   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14509   Ringcrg 17072   Mat cmat 18782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-ot 4023  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-fz 11682  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-hom 14598  df-cco 14599  df-0g 14716  df-prds 14722  df-pws 14724  df-sra 17692  df-rgmod 17693  df-dsmm 18636  df-frlm 18651  df-mat 18783
This theorem is referenced by:  mat1dimscm  18850  mat1rhmcl  18856
  Copyright terms: Public domain W3C validator