MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1dimbas Structured version   Unicode version

Theorem mat1dimbas 18820
Description: A matrix with dimension 1 is an ordered pair with an ordered pair (of the one and only pair of indices) as first component. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
mat1dim.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mat1dim.o  |-  O  = 
<. E ,  E >.
Assertion
Ref Expression
mat1dimbas  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  { <. O ,  X >. }  e.  ( Base `  A )
)

Proof of Theorem mat1dimbas
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 risset 2992 . . . . . 6  |-  ( X  e.  B  <->  E. r  e.  B  r  =  X )
21biimpi 194 . . . . 5  |-  ( X  e.  B  ->  E. r  e.  B  r  =  X )
3 eqcom 2476 . . . . . 6  |-  ( X  =  r  <->  r  =  X )
43rexbii 2969 . . . . 5  |-  ( E. r  e.  B  X  =  r  <->  E. r  e.  B  r  =  X )
52, 4sylibr 212 . . . 4  |-  ( X  e.  B  ->  E. r  e.  B  X  =  r )
653ad2ant3 1019 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  E. r  e.  B  X  =  r )
7 mat1dim.o . . . . . . 7  |-  O  = 
<. E ,  E >.
8 opex 4716 . . . . . . 7  |-  <. E ,  E >.  e.  _V
97, 8eqeltri 2551 . . . . . 6  |-  O  e. 
_V
10 simp3 998 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
11 opthg 4727 . . . . . 6  |-  ( ( O  e.  _V  /\  X  e.  B )  ->  ( <. O ,  X >.  =  <. O ,  r
>. 
<->  ( O  =  O  /\  X  =  r ) ) )
129, 10, 11sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( <. O ,  X >.  = 
<. O ,  r >.  <->  ( O  =  O  /\  X  =  r )
) )
13 opex 4716 . . . . . 6  |-  <. O ,  X >.  e.  _V
14 sneqbg 4202 . . . . . 6  |-  ( <. O ,  X >.  e. 
_V  ->  ( { <. O ,  X >. }  =  { <. O ,  r
>. }  <->  <. O ,  X >.  =  <. O ,  r
>. ) )
1513, 14ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( {
<. O ,  X >. }  =  { <. O , 
r >. }  <->  <. O ,  X >.  =  <. O , 
r >. )
16 eqid 2467 . . . . . 6  |-  O  =  O
1716biantrur 506 . . . . 5  |-  ( X  =  r  <->  ( O  =  O  /\  X  =  r ) )
1812, 15, 173bitr4g 288 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( { <. O ,  X >. }  =  { <. O ,  r >. }  <->  X  =  r ) )
1918rexbidv 2978 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( E. r  e.  B  { <. O ,  X >. }  =  { <. O ,  r >. }  <->  E. r  e.  B  X  =  r ) )
206, 19mpbird 232 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  E. r  e.  B  { <. O ,  X >. }  =  { <. O ,  r >. } )
21 mat1dim.a . . . 4  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
22 mat1dim.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
2321, 22, 7mat1dimelbas 18819 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( { <. O ,  X >. }  e.  ( Base `  A )  <->  E. r  e.  B  { <. O ,  X >. }  =  { <. O ,  r >. } ) )
24233adant3 1016 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( { <. O ,  X >. }  e.  ( Base `  A )  <->  E. r  e.  B  { <. O ,  X >. }  =  { <. O ,  r >. } ) )
2520, 24mpbird 232 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  { <. O ,  X >. }  e.  ( Base `  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2818   _Vcvv 3118   {csn 4032   <.cop 4038   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   Basecbs 14502   Ringcrg 17047   Mat cmat 18755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-ot 4041  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-supp 6912  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-ixp 7480  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fsupp 7840  df-sup 7911  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-7 10609  df-8 10610  df-9 10611  df-10 10612  df-n0 10806  df-z 10875  df-dec 10987  df-uz 11093  df-fz 11683  df-struct 14504  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-sca 14583  df-vsca 14584  df-ip 14585  df-tset 14586  df-ple 14587  df-ds 14589  df-hom 14591  df-cco 14592  df-0g 14709  df-prds 14715  df-pws 14717  df-sra 17666  df-rgmod 17667  df-dsmm 18609  df-frlm 18624  df-mat 18756
This theorem is referenced by:  mat1dimscm  18823  mat1rhmcl  18829
  Copyright terms: Public domain W3C validator