Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mat1dimbas Structured version   Unicode version

Theorem mat1dimbas 31057
Description: A matrix with dimension 1 is an ordered pair with an ordered pair (of the one and only pair of indices) as first component. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
mat1dim.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mat1dim.o  |-  O  = 
<. E ,  E >.
Assertion
Ref Expression
mat1dimbas  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  { <. O ,  X >. }  e.  ( Base `  A )
)

Proof of Theorem mat1dimbas
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 risset 2885 . . . . . 6  |-  ( X  e.  B  <->  E. r  e.  B  r  =  X )
21biimpi 194 . . . . 5  |-  ( X  e.  B  ->  E. r  e.  B  r  =  X )
3 eqcom 2463 . . . . . 6  |-  ( X  =  r  <->  r  =  X )
43rexbii 2862 . . . . 5  |-  ( E. r  e.  B  X  =  r  <->  E. r  e.  B  r  =  X )
52, 4sylibr 212 . . . 4  |-  ( X  e.  B  ->  E. r  e.  B  X  =  r )
653ad2ant3 1011 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  E. r  e.  B  X  =  r )
7 mat1dim.o . . . . . . 7  |-  O  = 
<. E ,  E >.
8 opex 4667 . . . . . . 7  |-  <. E ,  E >.  e.  _V
97, 8eqeltri 2538 . . . . . 6  |-  O  e. 
_V
10 simp3 990 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
11 opthg 4678 . . . . . 6  |-  ( ( O  e.  _V  /\  X  e.  B )  ->  ( <. O ,  X >.  =  <. O ,  r
>. 
<->  ( O  =  O  /\  X  =  r ) ) )
129, 10, 11sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( <. O ,  X >.  = 
<. O ,  r >.  <->  ( O  =  O  /\  X  =  r )
) )
13 opex 4667 . . . . . 6  |-  <. O ,  X >.  e.  _V
14 sneqbg 4154 . . . . . 6  |-  ( <. O ,  X >.  e. 
_V  ->  ( { <. O ,  X >. }  =  { <. O ,  r
>. }  <->  <. O ,  X >.  =  <. O ,  r
>. ) )
1513, 14ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( {
<. O ,  X >. }  =  { <. O , 
r >. }  <->  <. O ,  X >.  =  <. O , 
r >. )
16 eqid 2454 . . . . . 6  |-  O  =  O
1716biantrur 506 . . . . 5  |-  ( X  =  r  <->  ( O  =  O  /\  X  =  r ) )
1812, 15, 173bitr4g 288 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( { <. O ,  X >. }  =  { <. O ,  r >. }  <->  X  =  r ) )
1918rexbidv 2868 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( E. r  e.  B  { <. O ,  X >. }  =  { <. O ,  r >. }  <->  E. r  e.  B  X  =  r ) )
206, 19mpbird 232 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  E. r  e.  B  { <. O ,  X >. }  =  { <. O ,  r >. } )
21 mat1dim.a . . . 4  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
22 mat1dim.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
2321, 22, 7mat1dimelbas 31056 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( { <. O ,  X >. }  e.  ( Base `  A )  <->  E. r  e.  B  { <. O ,  X >. }  =  { <. O ,  r >. } ) )
24233adant3 1008 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  ( { <. O ,  X >. }  e.  ( Base `  A )  <->  E. r  e.  B  { <. O ,  X >. }  =  { <. O ,  r >. } ) )
2520, 24mpbird 232 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V  /\  X  e.  B )  ->  { <. O ,  X >. }  e.  ( Base `  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2800   _Vcvv 3078   {csn 3988   <.cop 3994   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14296   Ringcrg 16778   Mat cmat 18415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-ot 3997  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-sup 7806  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-fz 11559  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-ip 14379  df-tset 14380  df-ple 14381  df-ds 14383  df-hom 14385  df-cco 14386  df-0g 14503  df-prds 14509  df-pws 14511  df-sra 17386  df-rgmod 17387  df-dsmm 18292  df-frlm 18307  df-mat 18417
This theorem is referenced by:  mat1dimscm  31060
  Copyright terms: Public domain W3C validator