MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1dim0 Structured version   Unicode version

Theorem mat1dim0 19060
Description: The zero of the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
mat1dim.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mat1dim.o  |-  O  = 
<. E ,  E >.
Assertion
Ref Expression
mat1dim0  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( 0g `  A )  =  { <. O ,  ( 0g `  R )
>. } )

Proof of Theorem mat1dim0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snfi 7515 . . . . . 6  |-  { E }  e.  Fin
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( E  e.  V  ->  { E }  e.  Fin )
32anim2i 567 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( R  e.  Ring  /\  { E }  e.  Fin ) )
43ancomd 449 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( { E }  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)
5 mat1dim.a . . . 4  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
6 eqid 2382 . . . 4  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
75, 6mat0op 19006 . . 3  |-  ( ( { E }  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  ( 0g `  A )  =  ( x  e.  { E } ,  y  e.  { E }  |->  ( 0g
`  R ) ) )
84, 7syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( 0g `  A )  =  ( x  e.  { E } ,  y  e. 
{ E }  |->  ( 0g `  R ) ) )
9 simpr 459 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  E  e.  V )
10 fvex 5784 . . . 4  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1110a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( 0g `  R )  e. 
_V )
12 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( x  e.  { E } ,  y  e.  { E }  |->  ( 0g `  R ) )  =  ( x  e.  { E } ,  y  e. 
{ E }  |->  ( 0g `  R ) )
13 eqidd 2383 . . . . 5  |-  ( x  =  E  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  R
) )
14 eqidd 2383 . . . . 5  |-  ( y  =  E  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  R
) )
1512, 13, 14mpt2sn 6790 . . . 4  |-  ( ( E  e.  V  /\  E  e.  V  /\  ( 0g `  R )  e.  _V )  -> 
( x  e.  { E } ,  y  e. 
{ E }  |->  ( 0g `  R ) )  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( 0g `  R
) >. } )
16 mat1dim.o . . . . . . 7  |-  O  = 
<. E ,  E >.
1716eqcomi 2395 . . . . . 6  |-  <. E ,  E >.  =  O
1817opeq1i 4134 . . . . 5  |-  <. <. E ,  E >. ,  ( 0g
`  R ) >.  =  <. O ,  ( 0g `  R )
>.
1918sneqi 3955 . . . 4  |-  { <. <. E ,  E >. ,  ( 0g `  R
) >. }  =  { <. O ,  ( 0g
`  R ) >. }
2015, 19syl6eq 2439 . . 3  |-  ( ( E  e.  V  /\  E  e.  V  /\  ( 0g `  R )  e.  _V )  -> 
( x  e.  { E } ,  y  e. 
{ E }  |->  ( 0g `  R ) )  =  { <. O ,  ( 0g `  R ) >. } )
219, 9, 11, 20syl3anc 1226 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  (
x  e.  { E } ,  y  e.  { E }  |->  ( 0g
`  R ) )  =  { <. O , 
( 0g `  R
) >. } )
228, 21eqtrd 2423 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( 0g `  A )  =  { <. O ,  ( 0g `  R )
>. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   _Vcvv 3034   {csn 3944   <.cop 3950   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    |-> cmpt2 6198   Fincfn 7435   Basecbs 14634   0gc0g 14847   Ringcrg 17311   Mat cmat 18994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-ot 3953  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-fz 11594  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-hom 14726  df-cco 14727  df-0g 14849  df-prds 14855  df-pws 14857  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-sbg 16176  df-subg 16315  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-subrg 17540  df-lmod 17627  df-lss 17692  df-sra 17931  df-rgmod 17932  df-dsmm 18854  df-frlm 18869  df-mat 18995
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator