MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1dim0 Structured version   Unicode version

Theorem mat1dim0 18953
Description: The zero of the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
mat1dim.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mat1dim.o  |-  O  = 
<. E ,  E >.
Assertion
Ref Expression
mat1dim0  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( 0g `  A )  =  { <. O ,  ( 0g `  R )
>. } )

Proof of Theorem mat1dim0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snfi 7598 . . . . . 6  |-  { E }  e.  Fin
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( E  e.  V  ->  { E }  e.  Fin )
32anim2i 569 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( R  e.  Ring  /\  { E }  e.  Fin ) )
43ancomd 451 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( { E }  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )
)
5 mat1dim.a . . . 4  |-  A  =  ( { E } Mat  R )
6 eqid 2443 . . . 4  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
75, 6mat0op 18899 . . 3  |-  ( ( { E }  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  ( 0g `  A )  =  ( x  e.  { E } ,  y  e.  { E }  |->  ( 0g
`  R ) ) )
84, 7syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( 0g `  A )  =  ( x  e.  { E } ,  y  e. 
{ E }  |->  ( 0g `  R ) ) )
9 simpr 461 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  E  e.  V )
10 fvex 5866 . . . 4  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1110a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( 0g `  R )  e. 
_V )
12 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( x  e.  { E } ,  y  e.  { E }  |->  ( 0g `  R ) )  =  ( x  e.  { E } ,  y  e. 
{ E }  |->  ( 0g `  R ) )
13 eqidd 2444 . . . . 5  |-  ( x  =  E  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  R
) )
14 eqidd 2444 . . . . 5  |-  ( y  =  E  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  R
) )
1512, 13, 14mpt2sn 6876 . . . 4  |-  ( ( E  e.  V  /\  E  e.  V  /\  ( 0g `  R )  e.  _V )  -> 
( x  e.  { E } ,  y  e. 
{ E }  |->  ( 0g `  R ) )  =  { <. <. E ,  E >. ,  ( 0g `  R
) >. } )
16 mat1dim.o . . . . . . 7  |-  O  = 
<. E ,  E >.
1716eqcomi 2456 . . . . . 6  |-  <. E ,  E >.  =  O
1817opeq1i 4205 . . . . 5  |-  <. <. E ,  E >. ,  ( 0g
`  R ) >.  =  <. O ,  ( 0g `  R )
>.
1918sneqi 4025 . . . 4  |-  { <. <. E ,  E >. ,  ( 0g `  R
) >. }  =  { <. O ,  ( 0g
`  R ) >. }
2015, 19syl6eq 2500 . . 3  |-  ( ( E  e.  V  /\  E  e.  V  /\  ( 0g `  R )  e.  _V )  -> 
( x  e.  { E } ,  y  e. 
{ E }  |->  ( 0g `  R ) )  =  { <. O ,  ( 0g `  R ) >. } )
219, 9, 11, 20syl3anc 1229 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  (
x  e.  { E } ,  y  e.  { E }  |->  ( 0g
`  R ) )  =  { <. O , 
( 0g `  R
) >. } )
228, 21eqtrd 2484 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  E  e.  V )  ->  ( 0g `  A )  =  { <. O ,  ( 0g `  R )
>. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095   {csn 4014   <.cop 4020   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    |-> cmpt2 6283   Fincfn 7518   Basecbs 14614   0gc0g 14819   Ringcrg 17177   Mat cmat 18887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-ot 4023  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-fz 11684  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-hom 14703  df-cco 14704  df-0g 14821  df-prds 14827  df-pws 14829  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-sbg 16038  df-subg 16177  df-mgp 17121  df-ur 17133  df-ring 17179  df-subrg 17406  df-lmod 17493  df-lss 17558  df-sra 17797  df-rgmod 17798  df-dsmm 18741  df-frlm 18756  df-mat 18888
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator