Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mat1 Unicode version

Theorem mat1 27350
Description: Value of an identity matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mat1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mat1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
mat1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  A
)  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) )
Distinct variable groups:    i, j,  .0.   
.1. , i, j    A, i, j    i, N, j    R, i, j

Proof of Theorem mat1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  e.  Ring )
3 mat1.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
4 mat1.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
5 eqid 2404 . . . 4  |-  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
)
6 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  N  e.  Fin )
71, 2, 3, 4, 5, 6mamudiagcl 27325 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
8 mat1.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
98, 1matbas2 27343 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  =  ( Base `  A
) )
107, 9eleqtrd 2480 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  (
Base `  A )
)
11 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )
128, 11matmulr 27335 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( .r `  A ) )
1312adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. )  =  ( .r `  A ) )
1413oveqd 6057 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) x )  =  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  A ) x ) )
15 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  R  e.  Ring )
16 simpll 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  N  e.  Fin )
179eleq2d 2471 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) )  <->  x  e.  ( Base `  A )
) )
1817biimpar 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( N  X.  N ) ) )
191, 15, 3, 4, 5, 16, 16, 11, 18mamulid 27326 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) x )  =  x )
2014, 19eqtr3d 2438 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) ( .r `  A ) x )  =  x )
2113oveqd 6057 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) )  =  ( x ( .r `  A ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) ) )
221, 15, 3, 4, 5, 16, 16, 11, 18mamurid 27327 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  ( x ( R maMul  <. N ,  N ,  N >. ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) )  =  x )
2321, 22eqtr3d 2438 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  ( x ( .r `  A ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  x )
2420, 23jca 519 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  /\  x  e.  ( Base `  A ) )  ->  ( ( ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  A ) x )  =  x  /\  ( x ( .r
`  A ) ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  x ) )
2524ralrimiva 2749 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A. x  e.  ( Base `  A ) ( ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r `  A ) x )  =  x  /\  ( x ( .r `  A ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  x ) )
268matrng 27348 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
27 eqid 2404 . . . 4  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
28 eqid 2404 . . . 4  |-  ( .r
`  A )  =  ( .r `  A
)
29 eqid 2404 . . . 4  |-  ( 1r
`  A )  =  ( 1r `  A
)
3027, 28, 29isrngid 15644 . . 3  |-  ( A  e.  Ring  ->  ( ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  (
Base `  A )  /\  A. x  e.  (
Base `  A )
( ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) ( .r `  A ) x )  =  x  /\  (
x ( .r `  A ) ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) )  =  x ) )  <->  ( 1r `  A )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )
3126, 30syl 16 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
)  e.  ( Base `  A )  /\  A. x  e.  ( Base `  A ) ( ( ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) ( .r
`  A ) x )  =  x  /\  ( x ( .r
`  A ) ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  x ) )  <->  ( 1r `  A )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) ) ) )
3210, 25, 31mpbi2and 888 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 1r `  A
)  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   ifcif 3699   <.cotp 3778    X. cxp 4835   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042    ^m cmap 6977   Fincfn 7068   Basecbs 13424   .rcmulr 13485   0gc0g 13678   Ringcrg 15615   1rcur 15617   maMul cmmul 27307   Mat cmat 27308
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-ot 3784  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-hash 11574  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-hom 13508  df-cco 13509  df-prds 13626  df-pws 13628  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-dsmm 27066  df-frlm 27082  df-mamu 27309  df-mat 27310
  Copyright terms: Public domain W3C validator