MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat0op Structured version   Unicode version

Theorem mat0op 18790
Description: Value of a zero matrix as operation. (Contributed by AV, 2-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mat0op.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
mat0op.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
mat0op  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 0g `  A
)  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  .0.  )
)
Distinct variable groups:    i, j, N    R, i, j
Allowed substitution hints:    A( i, j)    .0. ( i, j)

Proof of Theorem mat0op
StepHypRef Expression
1 mat0op.a . . 3  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 eqid 2467 . . 3  |-  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) )  =  ( R freeLMod  ( N  X.  N ) )
31, 2mat0 18788 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 0g `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( 0g `  A
) )
4 fconstmpt2 6392 . . 3  |-  ( ( N  X.  N )  X.  { ( 0g
`  R ) } )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( 0g
`  R ) )
5 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  R  e.  Ring )
6 xpexg 6597 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( N  X.  N
)  e.  _V )
76anidms 645 . . . . 5  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( N  X.  N )  e. 
_V )
87adantr 465 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( N  X.  N
)  e.  _V )
9 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
102, 9frlm0 18654 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  X.  N )  e. 
_V )  ->  (
( N  X.  N
)  X.  { ( 0g `  R ) } )  =  ( 0g `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) ) )
115, 8, 10syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( ( N  X.  N )  X.  {
( 0g `  R
) } )  =  ( 0g `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) ) )
12 mat0op.z . . . . . . 7  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
1312eqcomi 2480 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  .0.
1413a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( 0g `  R
)  =  .0.  )
1514mpt2eq3ia 6357 . . . 4  |-  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( 0g
`  R ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  .0.  )
1615a1i 11 . . 3  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  ( 0g `  R
) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  .0.  ) )
174, 11, 163eqtr3a 2532 . 2  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 0g `  ( R freeLMod  ( N  X.  N
) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  .0.  ) )
183, 17eqtr3d 2510 1  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  -> 
( 0g `  A
)  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  .0.  )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118   {csn 4033    X. cxp 5003   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   Fincfn 7528   0gc0g 14712   Ringcrg 17070   freeLMod cfrlm 18646   Mat cmat 18778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-ot 4042  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-hom 14596  df-cco 14597  df-0g 14714  df-prds 14720  df-pws 14722  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-subg 16070  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-subrg 17298  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-dsmm 18632  df-frlm 18647  df-mat 18779
This theorem is referenced by:  matinvgcell  18806  mat1dim0  18844  mdet0  18977  pmat0op  19065  decpmataa0  19138  decpmatid  19140  decpmatmulsumfsupp  19143  pmatcollpw2lem  19147  monmatcollpw  19149  mptcoe1matfsupp  19172  mp2pm2mplem4  19179  pm2mpmhmlem1  19188  chp0mat  19216
  Copyright terms: Public domain W3C validator