Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mat0dimid Structured version   Unicode version

Theorem mat0dimid 30887
Description: The identity of the algebra of matrices with dimension 0. (Contributed by AV, 6-Aug-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mat0dim.a  |-  A  =  ( (/) Mat  R )
Assertion
Ref Expression
mat0dimid  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  A )  =  (/) )

Proof of Theorem mat0dimid
StepHypRef Expression
1 0fin 7559 . . . 4  |-  (/)  e.  Fin
2 mat0dim.a . . . . 5  |-  A  =  ( (/) Mat  R )
32matrng 18349 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  Fin  /\  R  e.  Ring )  ->  A  e.  Ring )
41, 3mpan 670 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  A  e. 
Ring )
5 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  A )
6 eqid 2443 . . . 4  |-  ( 1r
`  A )  =  ( 1r `  A
)
75, 6rngidcl 16684 . . 3  |-  ( A  e.  Ring  ->  ( 1r
`  A )  e.  ( Base `  A
) )
84, 7syl 16 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  A )  e.  ( Base `  A
) )
92fveq2i 5713 . . . . 5  |-  ( Base `  A )  =  (
Base `  ( (/) Mat  R ) )
10 mat0dimbas0 18344 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  ( (/) Mat  R )
)  =  { (/) } )
119, 10syl5eq 2487 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  A )  =  { (/)
} )
1211eleq2d 2510 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1r `  A )  e.  ( Base `  A
)  <->  ( 1r `  A )  e.  { (/)
} ) )
13 elsni 3921 . . 3  |-  ( ( 1r `  A )  e.  { (/) }  ->  ( 1r `  A )  =  (/) )
1412, 13syl6bi 228 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1r `  A )  e.  ( Base `  A
)  ->  ( 1r `  A )  =  (/) ) )
158, 14mpd 15 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  A )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   (/)c0 3656   {csn 3896   ` cfv 5437  (class class class)co 6110   Fincfn 7329   Basecbs 14193   1rcur 16622   Ringcrg 16664   Mat cmat 18299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-inf2 7866  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-ot 3905  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-iin 4193  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-se 4699  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-isom 5446  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6339  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-supp 6710  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-oadd 6943  df-er 7120  df-map 7235  df-ixp 7283  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-fsupp 7640  df-sup 7710  df-oi 7743  df-card 8128  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-4 10401  df-5 10402  df-6 10403  df-7 10404  df-8 10405  df-9 10406  df-10 10407  df-n0 10599  df-z 10666  df-dec 10775  df-uz 10881  df-fz 11457  df-fzo 11568  df-seq 11826  df-hash 12123  df-struct 14195  df-ndx 14196  df-slot 14197  df-base 14198  df-sets 14199  df-ress 14200  df-plusg 14270  df-mulr 14271  df-sca 14273  df-vsca 14274  df-ip 14275  df-tset 14276  df-ple 14277  df-ds 14279  df-hom 14281  df-cco 14282  df-0g 14399  df-gsum 14400  df-prds 14405  df-pws 14407  df-mre 14543  df-mrc 14544  df-acs 14546  df-mnd 15434  df-mhm 15483  df-submnd 15484  df-grp 15564  df-minusg 15565  df-sbg 15566  df-mulg 15567  df-subg 15697  df-ghm 15764  df-cntz 15854  df-cmn 16298  df-abl 16299  df-mgp 16611  df-ur 16623  df-rng 16666  df-subrg 16882  df-lmod 16969  df-lss 17033  df-sra 17272  df-rgmod 17273  df-dsmm 18176  df-frlm 18191  df-mamu 18300  df-mat 18301
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator