Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  marepvfval Structured version   Unicode version

Theorem marepvfval 19521
 Description: First substitution for the definition of the function replacing a column of a matrix by a vector. (Contributed by AV, 14-Feb-2019.) (Revised by AV, 26-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
marepvfval.a Mat
marepvfval.b
marepvfval.q matRepV
marepvfval.v
Assertion
Ref Expression
marepvfval
Distinct variable groups:   ,,   ,,,,,   ,,,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,,,)   (,,)   (,,,,)   (,,)

Proof of Theorem marepvfval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 marepvfval.q . 2 matRepV
2 marepvfval.b . . . . . 6
3 fvex 5891 . . . . . 6
42, 3eqeltri 2513 . . . . 5
5 marepvfval.v . . . . . . 7
6 ovex 6333 . . . . . . 7
75, 6eqeltri 2513 . . . . . 6
87a1i 11 . . . . 5
9 mpt2exga 6883 . . . . 5
104, 8, 9sylancr 667 . . . 4
11 oveq12 6314 . . . . . . . . 9 Mat Mat
12 marepvfval.a . . . . . . . . 9 Mat
1311, 12syl6eqr 2488 . . . . . . . 8 Mat
1413fveq2d 5885 . . . . . . 7 Mat
1514, 2syl6eqr 2488 . . . . . 6 Mat
16 fveq2 5881 . . . . . . . . 9
1716adantl 467 . . . . . . . 8
18 simpl 458 . . . . . . . 8
1917, 18oveq12d 6323 . . . . . . 7
2019, 5syl6eqr 2488 . . . . . 6
21 eqidd 2430 . . . . . . . 8
2218, 18, 21mpt2eq123dv 6367 . . . . . . 7
2318, 22mpteq12dv 4504 . . . . . 6
2415, 20, 23mpt2eq123dv 6367 . . . . 5 Mat
25 df-marepv 19515 . . . . 5 matRepV Mat
2624, 25ovmpt2ga 6440 . . . 4 matRepV
2710, 26mpd3an3 1361 . . 3 matRepV
2825mpt2ndm0 6524 . . . . 5 matRepV
29 mpt20 6375 . . . . 5
3028, 29syl6eqr 2488 . . . 4 matRepV
3112fveq2i 5884 . . . . . . 7 Mat
322, 31eqtri 2458 . . . . . 6 Mat
33 matbas0pc 19365 . . . . . 6 Mat
3432, 33syl5eq 2482 . . . . 5
35 mpt2eq12 6365 . . . . 5
3634, 5, 35sylancl 666 . . . 4
3730, 36eqtr4d 2473 . . 3 matRepV
3827, 37pm2.61i 167 . 2 matRepV
391, 38eqtri 2458 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wa 370   wceq 1437   wcel 1870  cvv 3087  c0 3767  cif 3915   cmpt 4484  cfv 5601  (class class class)co 6305   cmpt2 6307   cmap 7480  cbs 15084   Mat cmat 19363   matRepV cmatrepV 19513 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-slot 15088  df-base 15089  df-mat 19364  df-marepv 19515 This theorem is referenced by:  marepvval0  19522
 Copyright terms: Public domain W3C validator