MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  marepvcl Structured version   Unicode version

Theorem marepvcl 18833
Description: Closure of the column replacement function for square matrices. (Contributed by AV, 14-Feb-2019.) (Revised by AV, 26-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
marepvcl.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
marepvcl.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
marepvcl.v  |-  V  =  ( ( Base `  R
)  ^m  N )
Assertion
Ref Expression
marepvcl  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )
)  ->  ( ( M ( N matRepV  R
) C ) `  K )  e.  B
)

Proof of Theorem marepvcl
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 marepvcl.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 marepvcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  A
)
3 eqid 2462 . . . 4  |-  ( N matRepV  R )  =  ( N matRepV  R )
4 marepvcl.v . . . 4  |-  V  =  ( ( Base `  R
)  ^m  N )
51, 2, 3, 4marepvval 18831 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  ->  ( ( M ( N matRepV  R ) C ) `
 K )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( j  =  K ,  ( C `
 i ) ,  ( i M j ) ) ) )
65adantl 466 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )
)  ->  ( ( M ( N matRepV  R
) C ) `  K )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( j  =  K ,  ( C `  i ) ,  ( i M j ) ) ) )
7 eqid 2462 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
81, 2matrcl 18676 . . . . . 6  |-  ( M  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
98simpld 459 . . . . 5  |-  ( M  e.  B  ->  N  e.  Fin )
1093ad2ant1 1012 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  ->  N  e.  Fin )
1110adantl 466 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )
)  ->  N  e.  Fin )
12 simpl 457 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )
)  ->  R  e.  Ring )
13 elmapi 7432 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( ( Base `  R )  ^m  N
)  ->  C : N
--> ( Base `  R
) )
14 ffvelrn 6012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C : N --> ( Base `  R )  /\  i  e.  N )  ->  ( C `  i )  e.  ( Base `  R
) )
1514ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( C : N --> ( Base `  R )  ->  (
i  e.  N  -> 
( C `  i
)  e.  ( Base `  R ) ) )
1613, 15syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( ( Base `  R )  ^m  N
)  ->  ( i  e.  N  ->  ( C `
 i )  e.  ( Base `  R
) ) )
1716, 4eleq2s 2570 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  V  ->  (
i  e.  N  -> 
( C `  i
)  e.  ( Base `  R ) ) )
18173ad2ant2 1013 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  ->  ( i  e.  N  ->  ( C `  i
)  e.  ( Base `  R ) ) )
1918adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )
)  ->  ( i  e.  N  ->  ( C `
 i )  e.  ( Base `  R
) ) )
2019imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N
) )  /\  i  e.  N )  ->  ( C `  i )  e.  ( Base `  R
) )
21203adant3 1011 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N
) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( C `  i )  e.  ( Base `  R
) )
22 simp2 992 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N
) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  N )
23 simp3 993 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N
) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
242eleq2i 2540 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  B  <->  M  e.  ( Base `  A )
)
2524biimpi 194 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  B  ->  M  e.  ( Base `  A
) )
26253ad2ant1 1012 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  ->  M  e.  ( Base `  A ) )
2726adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )
)  ->  M  e.  ( Base `  A )
)
28273ad2ant1 1012 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N
) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  M  e.  ( Base `  A
) )
291, 7matecl 18689 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N  /\  M  e.  ( Base `  A ) )  -> 
( i M j )  e.  ( Base `  R ) )
3022, 23, 28, 29syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N
) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
i M j )  e.  ( Base `  R
) )
3121, 30ifcld 3977 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N
) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  if ( j  =  K ,  ( C `  i ) ,  ( i M j ) )  e.  ( Base `  R ) )
321, 7, 2, 11, 12, 31matbas2d 18687 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )
)  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( j  =  K ,  ( C `  i ) ,  ( i M j ) ) )  e.  B )
336, 32eqeltrd 2550 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )
)  ->  ( ( M ( N matRepV  R
) C ) `  K )  e.  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3108   ifcif 3934   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277    |-> cmpt2 6279    ^m cmap 7412   Fincfn 7508   Basecbs 14481   Ringcrg 16981   Mat cmat 18671   matRepV cmatrepV 18821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-ot 4031  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-sup 7892  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-fz 11664  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-hom 14570  df-cco 14571  df-0g 14688  df-prds 14694  df-pws 14696  df-sra 17596  df-rgmod 17597  df-dsmm 18525  df-frlm 18540  df-mat 18672  df-marepv 18823
This theorem is referenced by:  ma1repvcl  18834
  Copyright terms: Public domain W3C validator