MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  marepvcl Structured version   Unicode version

Theorem marepvcl 19363
Description: Closure of the column replacement function for square matrices. (Contributed by AV, 14-Feb-2019.) (Revised by AV, 26-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
marepvcl.a  |-  A  =  ( N Mat  R )
marepvcl.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
marepvcl.v  |-  V  =  ( ( Base `  R
)  ^m  N )
Assertion
Ref Expression
marepvcl  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )
)  ->  ( ( M ( N matRepV  R
) C ) `  K )  e.  B
)

Proof of Theorem marepvcl
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 marepvcl.a . . . 4  |-  A  =  ( N Mat  R )
2 marepvcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  A
)
3 eqid 2402 . . . 4  |-  ( N matRepV  R )  =  ( N matRepV  R )
4 marepvcl.v . . . 4  |-  V  =  ( ( Base `  R
)  ^m  N )
51, 2, 3, 4marepvval 19361 . . 3  |-  ( ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  ->  ( ( M ( N matRepV  R ) C ) `
 K )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( j  =  K ,  ( C `
 i ) ,  ( i M j ) ) ) )
65adantl 464 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )
)  ->  ( ( M ( N matRepV  R
) C ) `  K )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( j  =  K ,  ( C `  i ) ,  ( i M j ) ) ) )
7 eqid 2402 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
81, 2matrcl 19206 . . . . . 6  |-  ( M  e.  B  ->  ( N  e.  Fin  /\  R  e.  _V ) )
98simpld 457 . . . . 5  |-  ( M  e.  B  ->  N  e.  Fin )
1093ad2ant1 1018 . . . 4  |-  ( ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  ->  N  e.  Fin )
1110adantl 464 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )
)  ->  N  e.  Fin )
12 simpl 455 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )
)  ->  R  e.  Ring )
13 elmapi 7478 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( ( Base `  R )  ^m  N
)  ->  C : N
--> ( Base `  R
) )
14 ffvelrn 6007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C : N --> ( Base `  R )  /\  i  e.  N )  ->  ( C `  i )  e.  ( Base `  R
) )
1514ex 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( C : N --> ( Base `  R )  ->  (
i  e.  N  -> 
( C `  i
)  e.  ( Base `  R ) ) )
1613, 15syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( ( Base `  R )  ^m  N
)  ->  ( i  e.  N  ->  ( C `
 i )  e.  ( Base `  R
) ) )
1716, 4eleq2s 2510 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  V  ->  (
i  e.  N  -> 
( C `  i
)  e.  ( Base `  R ) ) )
18173ad2ant2 1019 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  ->  ( i  e.  N  ->  ( C `  i
)  e.  ( Base `  R ) ) )
1918adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )
)  ->  ( i  e.  N  ->  ( C `
 i )  e.  ( Base `  R
) ) )
2019imp 427 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N
) )  /\  i  e.  N )  ->  ( C `  i )  e.  ( Base `  R
) )
21203adant3 1017 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N
) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  ( C `  i )  e.  ( Base `  R
) )
22 simp2 998 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N
) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  N )
23 simp3 999 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N
) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
242eleq2i 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  B  <->  M  e.  ( Base `  A )
)
2524biimpi 194 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  B  ->  M  e.  ( Base `  A
) )
26253ad2ant1 1018 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )  ->  M  e.  ( Base `  A ) )
2726adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )
)  ->  M  e.  ( Base `  A )
)
28273ad2ant1 1018 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N
) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  M  e.  ( Base `  A
) )
291, 7matecl 19219 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  N  /\  j  e.  N  /\  M  e.  ( Base `  A ) )  -> 
( i M j )  e.  ( Base `  R ) )
3022, 23, 28, 29syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N
) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  (
i M j )  e.  ( Base `  R
) )
3121, 30ifcld 3928 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N
) )  /\  i  e.  N  /\  j  e.  N )  ->  if ( j  =  K ,  ( C `  i ) ,  ( i M j ) )  e.  ( Base `  R ) )
321, 7, 2, 11, 12, 31matbas2d 19217 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )
)  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( j  =  K ,  ( C `  i ) ,  ( i M j ) ) )  e.  B )
336, 32eqeltrd 2490 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( M  e.  B  /\  C  e.  V  /\  K  e.  N )
)  ->  ( ( M ( N matRepV  R
) C ) `  K )  e.  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3059   ifcif 3885   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    |-> cmpt2 6280    ^m cmap 7457   Fincfn 7554   Basecbs 14841   Ringcrg 17518   Mat cmat 19201   matRepV cmatrepV 19351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-ot 3981  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-fz 11727  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-hom 14933  df-cco 14934  df-0g 15056  df-prds 15062  df-pws 15064  df-sra 18138  df-rgmod 18139  df-dsmm 19061  df-frlm 19076  df-mat 19202  df-marepv 19353
This theorem is referenced by:  ma1repvcl  19364
  Copyright terms: Public domain W3C validator