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Theorem mapxpen 7232
Description: Equinumerosity law for double set exponentiation. Proposition 10.45 of [TakeutiZaring] p. 96. (Contributed by NM, 21-Feb-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapxpen  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( ( A  ^m  B )  ^m  C
)  ~~  ( A  ^m  ( B  X.  C
) ) )

Proof of Theorem mapxpen
Dummy variables  f 
g  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6065 . . 3  |-  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  e. 
_V
21a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( ( A  ^m  B )  ^m  C
)  e.  _V )
3 ovex 6065 . . 3  |-  ( A  ^m  ( B  X.  C ) )  e. 
_V
43a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( A  ^m  ( B  X.  C ) )  e.  _V )
5 elmapi 6997 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  ->  f : C --> ( A  ^m  B ) )
65ffvelrnda 5829 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  /\  y  e.  C )  ->  ( f `  y
)  e.  ( A  ^m  B ) )
7 elmapi 6997 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  y )  e.  ( A  ^m  B )  ->  (
f `  y ) : B --> A )
86, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  /\  y  e.  C )  ->  ( f `  y
) : B --> A )
98ffvelrnda 5829 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  e.  ( ( A  ^m  B
)  ^m  C )  /\  y  e.  C
)  /\  x  e.  B )  ->  (
( f `  y
) `  x )  e.  A )
109an32s 780 . . . . . 6  |-  ( ( ( f  e.  ( ( A  ^m  B
)  ^m  C )  /\  x  e.  B
)  /\  y  e.  C )  ->  (
( f `  y
) `  x )  e.  A )
1110ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  /\  x  e.  B )  ->  A. y  e.  C  ( ( f `  y ) `  x
)  e.  A )
1211ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  C  ( (
f `  y ) `  x )  e.  A
)
13 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `  y ) `
 x ) )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) )
1413fmpt2 6377 . . . 4  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  C  (
( f `  y
) `  x )  e.  A  <->  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) ) : ( B  X.  C
) --> A )
1512, 14sylib 189 . . 3  |-  ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  ->  (
x  e.  B , 
y  e.  C  |->  ( ( f `  y
) `  x )
) : ( B  X.  C ) --> A )
16 simp1 957 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  A  e.  V )
17 xpexg 4948 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( B  X.  C
)  e.  _V )
18173adant1 975 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( B  X.  C
)  e.  _V )
19 elmapg 6990 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( B  X.  C
)  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) )  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) )  <-> 
( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `  y ) `  x
) ) : ( B  X.  C ) --> A ) )
2016, 18, 19syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) )  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) )  <-> 
( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `  y ) `  x
) ) : ( B  X.  C ) --> A ) )
2115, 20syl5ibr 213 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( f  e.  ( ( A  ^m  B
)  ^m  C )  ->  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `  y ) `  x
) )  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) ) )
22 elmapi 6997 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C
) )  ->  g : ( B  X.  C ) --> A )
2322adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) )  ->  g :
( B  X.  C
) --> A )
24 fovrn 6175 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g : ( B  X.  C ) --> A  /\  x  e.  B  /\  y  e.  C
)  ->  ( x
g y )  e.  A )
25243expa 1153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g : ( B  X.  C ) --> A  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  C )  ->  (
x g y )  e.  A )
2625an32s 780 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g : ( B  X.  C ) --> A  /\  y  e.  C )  /\  x  e.  B )  ->  (
x g y )  e.  A )
2723, 26sylanl1 632 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) )  /\  y  e.  C )  /\  x  e.  B )  ->  (
x g y )  e.  A )
28 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) )
2927, 28fmptd 5852 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) )  /\  y  e.  C )  ->  (
x  e.  B  |->  ( x g y ) ) : B --> A )
30 elmapg 6990 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( x g y ) )  e.  ( A  ^m  B
)  <->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) : B --> A ) )
31303adant3 977 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( x g y ) )  e.  ( A  ^m  B
)  <->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) : B --> A ) )
3231ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) )  /\  y  e.  C )  ->  (
( x  e.  B  |->  ( x g y ) )  e.  ( A  ^m  B )  <-> 
( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) : B --> A ) )
3329, 32mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) )  /\  y  e.  C )  ->  (
x  e.  B  |->  ( x g y ) )  e.  ( A  ^m  B ) )
34 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )
3533, 34fmptd 5852 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) )  ->  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) : C --> ( A  ^m  B ) )
3635ex 424 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) )  ->  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) : C --> ( A  ^m  B ) ) )
37 ovex 6065 . . . 4  |-  ( A  ^m  B )  e. 
_V
38 simp3 959 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  C  e.  X )
39 elmapg 6990 . . . 4  |-  ( ( ( A  ^m  B
)  e.  _V  /\  C  e.  X )  ->  ( ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  <->  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) : C --> ( A  ^m  B ) ) )
4037, 38, 39sylancr 645 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  <->  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) : C --> ( A  ^m  B ) ) )
4136, 40sylibrd 226 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) )  ->  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C ) ) )
42 ffn 5550 . . . . . . . . 9  |-  ( g : ( B  X.  C ) --> A  -> 
g  Fn  ( B  X.  C ) )
4322, 42syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C
) )  ->  g  Fn  ( B  X.  C
) )
4443ad2antll 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C
)  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) ) )  ->  g  Fn  ( B  X.  C
) )
45 fnov 6137 . . . . . . 7  |-  ( g  Fn  ( B  X.  C )  <->  g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( x g y ) ) )
4644, 45sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C
)  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) ) )  ->  g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( x g y ) ) )
47 simp3 959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  (
f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C
) ) ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  C
)  ->  y  e.  C )
4829adantlrl 701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  (
f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C
) ) ) )  /\  y  e.  C
)  ->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) : B --> A )
49483adant2 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  (
f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C
) ) ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  C
)  ->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) : B --> A )
50 simp1l2 1051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  (
f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C
) ) ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  C
)  ->  B  e.  W )
51 simp1l1 1050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  (
f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C
) ) ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  C
)  ->  A  e.  V )
52 fex2 5562 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) : B --> A  /\  B  e.  W  /\  A  e.  V
)  ->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) )  e.  _V )
5349, 50, 51, 52syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  (
f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C
) ) ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  C
)  ->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) )  e.  _V )
5434fvmpt2 5771 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  C  /\  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) )  e.  _V )  ->  ( ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) `  y )  =  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )
5547, 53, 54syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  (
f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C
) ) ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  C
)  ->  ( (
y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) `  y
)  =  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )
5655fveq1d 5689 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  (
f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C
) ) ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  C
)  ->  ( (
( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) `  y ) `  x
)  =  ( ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) `  x ) )
57 simp2 958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  (
f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C
) ) ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  C
)  ->  x  e.  B )
58 ovex 6065 . . . . . . . . 9  |-  ( x g y )  e. 
_V
5928fvmpt2 5771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  B  /\  ( x g y )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) `  x )  =  ( x g y ) )
6057, 58, 59sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  (
f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C
) ) ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  C
)  ->  ( (
x  e.  B  |->  ( x g y ) ) `  x )  =  ( x g y ) )
6156, 60eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  (
f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C
) ) ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  C
)  ->  ( (
( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) `  y ) `  x
)  =  ( x g y ) )
6261mpt2eq3dva 6097 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C
)  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) ) )  ->  (
x  e.  B , 
y  e.  C  |->  ( ( ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) `
 y ) `  x ) )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( x g y ) ) )
6346, 62eqtr4d 2439 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C
)  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) ) )  ->  g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) `  y
) `  x )
) )
64 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  B  =  B
65 nfcv 2540 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x C
66 nfmpt1 4258 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  B  |->  ( x g y ) )
6765, 66nfmpt 4257 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )
6867nfeq2 2551 . . . . . . . 8  |-  F/ x  f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )
69 nfmpt1 4258 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y
( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )
7069nfeq2 2551 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y  f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )
71 fveq1 5686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  ->  ( f `  y )  =  ( ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) `  y ) )
7271fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  ->  ( ( f `
 y ) `  x )  =  ( ( ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) `
 y ) `  x ) )
7372a1d 23 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  ->  ( y  e.  C  ->  ( (
f `  y ) `  x )  =  ( ( ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) `
 y ) `  x ) ) )
7470, 73ralrimi 2747 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  ->  A. y  e.  C  ( ( f `  y ) `  x
)  =  ( ( ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) `  y ) `  x
) )
75 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  C  =  C
7674, 75jctil 524 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  ->  ( C  =  C  /\  A. y  e.  C  ( (
f `  y ) `  x )  =  ( ( ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) `
 y ) `  x ) ) )
7776a1d 23 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  ->  ( x  e.  B  ->  ( C  =  C  /\  A. y  e.  C  ( (
f `  y ) `  x )  =  ( ( ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) `
 y ) `  x ) ) ) )
7868, 77ralrimi 2747 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  ->  A. x  e.  B  ( C  =  C  /\  A. y  e.  C  ( ( f `  y ) `  x
)  =  ( ( ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) `  y ) `  x
) ) )
79 mpt2eq123 6092 . . . . . . 7  |-  ( ( B  =  B  /\  A. x  e.  B  ( C  =  C  /\  A. y  e.  C  ( ( f `  y
) `  x )  =  ( ( ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) `  y
) `  x )
) )  ->  (
x  e.  B , 
y  e.  C  |->  ( ( f `  y
) `  x )
)  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) `  y ) `  x
) ) )
8064, 78, 79sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  ->  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) `  y ) `
 x ) ) )
8180eqeq2d 2415 . . . . 5  |-  ( f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  ->  ( g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `  y ) `  x
) )  <->  g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) `  y ) `
 x ) ) ) )
8263, 81syl5ibrcom 214 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C
)  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) ) )  ->  (
f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  ->  g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `  y ) `  x
) ) ) )
835ad2antrl 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C
)  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) ) )  ->  f : C --> ( A  ^m  B ) )
8483feqmptd 5738 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C
)  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) ) )  ->  f  =  ( y  e.  C  |->  ( f `  y ) ) )
85 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C
)  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) ) )  ->  f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C
) )
8685, 8sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  (
f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C
) ) ) )  /\  y  e.  C
)  ->  ( f `  y ) : B --> A )
8786feqmptd 5738 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  (
f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C )  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C
) ) ) )  /\  y  e.  C
)  ->  ( f `  y )  =  ( x  e.  B  |->  ( ( f `  y
) `  x )
) )
8887mpteq2dva 4255 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C
)  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) ) )  ->  (
y  e.  C  |->  ( f `  y ) )  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( ( f `  y ) `
 x ) ) ) )
8984, 88eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C
)  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) ) )  ->  f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) ) ) )
90 nfmpt22 6100 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `  y ) `  x
) )
9190nfeq2 2551 . . . . . . . 8  |-  F/ y  g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `  y ) `
 x ) )
92 eqidd 2405 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) )  ->  B  =  B )
93 nfmpt21 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `  y ) `  x
) )
9493nfeq2 2551 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) )
95 nfv 1626 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  y  e.  C
96 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  y ) `
 x )  e. 
_V
9713ovmpt4g 6155 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  C  /\  ( ( f `  y ) `  x
)  e.  _V )  ->  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `  y ) `
 x ) ) y )  =  ( ( f `  y
) `  x )
)
9896, 97mp3an3 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  C )  ->  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `  y ) `
 x ) ) y )  =  ( ( f `  y
) `  x )
)
99 oveq 6046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) )  -> 
( x g y )  =  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `  y ) `  x
) ) y ) )
10099eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) )  -> 
( ( x g y )  =  ( ( f `  y
) `  x )  <->  ( x ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) ) y )  =  ( ( f `  y ) `
 x ) ) )
10198, 100syl5ibr 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) )  -> 
( ( x  e.  B  /\  y  e.  C )  ->  (
x g y )  =  ( ( f `
 y ) `  x ) ) )
102101exp3acom23 1378 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) )  -> 
( y  e.  C  ->  ( x  e.  B  ->  ( x g y )  =  ( ( f `  y ) `
 x ) ) ) )
10394, 95, 102ralrimd 2754 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) )  -> 
( y  e.  C  ->  A. x  e.  B  ( x g y )  =  ( ( f `  y ) `
 x ) ) )
104 mpteq12 4248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  =  B  /\  A. x  e.  B  ( x g y )  =  ( ( f `
 y ) `  x ) )  -> 
( x  e.  B  |->  ( x g y ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( ( f `  y
) `  x )
) )
10592, 103, 104ee12an 1369 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) )  -> 
( y  e.  C  ->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( ( f `  y
) `  x )
) ) )
10691, 105ralrimi 2747 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) )  ->  A. y  e.  C  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( ( f `  y
) `  x )
) )
107 mpteq12 4248 . . . . . . 7  |-  ( ( C  =  C  /\  A. y  e.  C  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( ( f `  y ) `
 x ) ) )  ->  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( ( f `  y ) `
 x ) ) ) )
10875, 106, 107sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) )  -> 
( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( ( f `  y ) `  x
) ) ) )
109108eqeq2d 2415 . . . . 5  |-  ( g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `
 y ) `  x ) )  -> 
( f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  <->  f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( ( f `  y ) `  x
) ) ) ) )
11089, 109syl5ibrcom 214 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C
)  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) ) )  ->  (
g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `  y ) `
 x ) )  ->  f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) ) ) )
11182, 110impbid 184 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C
)  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) ) )  ->  (
f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  <->  g  =  ( x  e.  B , 
y  e.  C  |->  ( ( f `  y
) `  x )
) ) )
112111ex 424 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( ( f  e.  ( ( A  ^m  B )  ^m  C
)  /\  g  e.  ( A  ^m  ( B  X.  C ) ) )  ->  ( f  =  ( y  e.  C  |->  ( x  e.  B  |->  ( x g y ) ) )  <-> 
g  =  ( x  e.  B ,  y  e.  C  |->  ( ( f `  y ) `
 x ) ) ) ) )
1132, 4, 21, 41, 112en3d 7103 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  ->  ( ( A  ^m  B )  ^m  C
)  ~~  ( A  ^m  ( B  X.  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042    ^m cmap 6977    ~~ cen 7065
This theorem is referenced by:  mappwen  7949  cfpwsdom  8415  rpnnen  12781  rexpen  12782
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-map 6979  df-en 7069
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