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Theorem mapunen 7485
Description: Equinumerosity law for set exponentiation of a disjoint union. Exercise 4.45 of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 23-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapunen  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  ~~  (
( C  ^m  A
)  X.  ( C  ^m  B ) ) )

Proof of Theorem mapunen
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6121 . . 3  |-  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  e. 
_V
21a1i 11 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  e.  _V )
3 ovex 6121 . . . 4  |-  ( C  ^m  A )  e. 
_V
4 ovex 6121 . . . 4  |-  ( C  ^m  B )  e. 
_V
53, 4xpex 6513 . . 3  |-  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) )  e. 
_V
65a1i 11 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) )  e.  _V )
7 elmapi 7239 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  ->  x : ( A  u.  B ) --> C )
8 ssun1 3524 . . . . 5  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
9 fssres 5583 . . . . 5  |-  ( ( x : ( A  u.  B ) --> C  /\  A  C_  ( A  u.  B )
)  ->  ( x  |`  A ) : A --> C )
107, 8, 9sylancl 662 . . . 4  |-  ( x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  ->  (
x  |`  A ) : A --> C )
11 ssun2 3525 . . . . 5  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
12 fssres 5583 . . . . 5  |-  ( ( x : ( A  u.  B ) --> C  /\  B  C_  ( A  u.  B )
)  ->  ( x  |`  B ) : B --> C )
137, 11, 12sylancl 662 . . . 4  |-  ( x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  ->  (
x  |`  B ) : B --> C )
1410, 13jca 532 . . 3  |-  ( x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  ->  (
( x  |`  A ) : A --> C  /\  ( x  |`  B ) : B --> C ) )
15 opelxp 4874 . . . 4  |-  ( <.
( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  e.  ( ( C  ^m  A
)  X.  ( C  ^m  B ) )  <-> 
( ( x  |`  A )  e.  ( C  ^m  A )  /\  ( x  |`  B )  e.  ( C  ^m  B ) ) )
16 simpl3 993 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  C  e.  X
)
17 simpl1 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  A  e.  V
)
18 elmapg 7232 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  X  /\  A  e.  V )  ->  ( ( x  |`  A )  e.  ( C  ^m  A )  <-> 
( x  |`  A ) : A --> C ) )
1916, 17, 18syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( x  |`  A )  e.  ( C  ^m  A )  <-> 
( x  |`  A ) : A --> C ) )
20 simpl2 992 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  B  e.  W
)
21 elmapg 7232 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  X  /\  B  e.  W )  ->  ( ( x  |`  B )  e.  ( C  ^m  B )  <-> 
( x  |`  B ) : B --> C ) )
2216, 20, 21syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( x  |`  B )  e.  ( C  ^m  B )  <-> 
( x  |`  B ) : B --> C ) )
2319, 22anbi12d 710 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( ( x  |`  A )  e.  ( C  ^m  A
)  /\  ( x  |`  B )  e.  ( C  ^m  B ) )  <->  ( ( x  |`  A ) : A --> C  /\  ( x  |`  B ) : B --> C ) ) )
2415, 23syl5bb 257 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( <. (
x  |`  A ) ,  ( x  |`  B )
>.  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) )  <->  ( (
x  |`  A ) : A --> C  /\  (
x  |`  B ) : B --> C ) ) )
2514, 24syl5ibr 221 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B )
)  ->  <. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )
26 xp1st 6611 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) )  ->  ( 1st `  y )  e.  ( C  ^m  A
) )
2726adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) ) )  ->  ( 1st `  y )  e.  ( C  ^m  A ) )
28 elmapi 7239 . . . . . 6  |-  ( ( 1st `  y )  e.  ( C  ^m  A )  ->  ( 1st `  y ) : A --> C )
2927, 28syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) ) )  ->  ( 1st `  y ) : A --> C )
30 xp2nd 6612 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) )  ->  ( 2nd `  y )  e.  ( C  ^m  B
) )
3130adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) ) )  ->  ( 2nd `  y )  e.  ( C  ^m  B ) )
32 elmapi 7239 . . . . . 6  |-  ( ( 2nd `  y )  e.  ( C  ^m  B )  ->  ( 2nd `  y ) : B --> C )
3331, 32syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) ) )  ->  ( 2nd `  y ) : B --> C )
34 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
35 fun2 5581 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 1st `  y
) : A --> C  /\  ( 2nd `  y ) : B --> C )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  -> 
( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) ) : ( A  u.  B
) --> C )
3629, 33, 34, 35syl21anc 1217 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) ) )  ->  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) ) : ( A  u.  B ) --> C )
3736ex 434 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) )  ->  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) ) : ( A  u.  B ) --> C ) )
38 unexg 6386 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
3917, 20, 38syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  u.  B )  e.  _V )
40 elmapg 7232 . . . 4  |-  ( ( C  e.  X  /\  ( A  u.  B
)  e.  _V )  ->  ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  <->  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) ) : ( A  u.  B ) --> C ) )
4116, 39, 40syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) )  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  <-> 
( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) ) : ( A  u.  B
) --> C ) )
4237, 41sylibrd 234 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) )  ->  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B
) ) ) )
43 1st2nd2 6618 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) )  ->  y  =  <. ( 1st `  y
) ,  ( 2nd `  y ) >. )
4443ad2antll 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  y  =  <. ( 1st `  y ) ,  ( 2nd `  y
) >. )
4529adantrl 715 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( 1st `  y
) : A --> C )
4633adantrl 715 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( 2nd `  y
) : B --> C )
47 res0 5120 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1st `  y )  |`  (/) )  =  (/)
48 res0 5120 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2nd `  y )  |`  (/) )  =  (/)
4947, 48eqtr4i 2466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st `  y )  |`  (/) )  =  ( ( 2nd `  y
)  |`  (/) )
50 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
5150reseq2d 5115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( ( 1st `  y )  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 1st `  y )  |`  (/) ) )
5250reseq2d 5115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( ( 2nd `  y )  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 2nd `  y )  |`  (/) ) )
5349, 51, 523eqtr4a 2501 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( ( 1st `  y )  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 2nd `  y )  |`  ( A  i^i  B ) ) )
54 fresaunres1 5589 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1st `  y
) : A --> C  /\  ( 2nd `  y ) : B --> C  /\  ( ( 1st `  y
)  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 2nd `  y
)  |`  ( A  i^i  B ) ) )  -> 
( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  |`  A )  =  ( 1st `  y ) )
5545, 46, 53, 54syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) )  |`  A )  =  ( 1st `  y
) )
56 fresaunres2 5588 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1st `  y
) : A --> C  /\  ( 2nd `  y ) : B --> C  /\  ( ( 1st `  y
)  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 2nd `  y
)  |`  ( A  i^i  B ) ) )  -> 
( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  |`  B )  =  ( 2nd `  y ) )
5745, 46, 53, 56syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) )  |`  B )  =  ( 2nd `  y
) )
5855, 57opeq12d 4072 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  <. ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) )  |`  A ) ,  ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) )  |`  B )
>.  =  <. ( 1st `  y ) ,  ( 2nd `  y )
>. )
5944, 58eqtr4d 2478 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  y  =  <. ( ( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) )  |`  A ) ,  ( ( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) )  |`  B ) >. )
60 reseq1 5109 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  ->  ( x  |`  A )  =  ( ( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) )  |`  A ) )
61 reseq1 5109 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  ->  ( x  |`  B )  =  ( ( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) )  |`  B ) )
6260, 61opeq12d 4072 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  ->  <. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  =  <. ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) )  |`  A ) ,  ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) )  |`  B )
>. )
6362eqeq2d 2454 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  ->  ( y  = 
<. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  <->  y  =  <. ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  |`  A ) ,  ( ( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) )  |`  B ) >. )
)
6459, 63syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( x  =  ( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) )  -> 
y  =  <. (
x  |`  A ) ,  ( x  |`  B )
>. ) )
65 ffn 5564 . . . . . . . 8  |-  ( x : ( A  u.  B ) --> C  ->  x  Fn  ( A  u.  B ) )
66 fnresdm 5525 . . . . . . . 8  |-  ( x  Fn  ( A  u.  B )  ->  (
x  |`  ( A  u.  B ) )  =  x )
677, 65, 663syl 20 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  ->  (
x  |`  ( A  u.  B ) )  =  x )
6867ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( x  |`  ( A  u.  B
) )  =  x )
6968eqcomd 2448 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  x  =  ( x  |`  ( A  u.  B ) ) )
70 vex 2980 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
7170resex 5155 . . . . . . . . 9  |-  ( x  |`  A )  e.  _V
7270resex 5155 . . . . . . . . 9  |-  ( x  |`  B )  e.  _V
7371, 72op1std 6592 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  ->  ( 1st `  y
)  =  ( x  |`  A ) )
7471, 72op2ndd 6593 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  ->  ( 2nd `  y
)  =  ( x  |`  B ) )
7573, 74uneq12d 3516 . . . . . . 7  |-  ( y  =  <. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  ->  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  =  ( ( x  |`  A )  u.  (
x  |`  B ) ) )
76 resundi 5129 . . . . . . 7  |-  ( x  |`  ( A  u.  B
) )  =  ( ( x  |`  A )  u.  ( x  |`  B ) )
7775, 76syl6eqr 2493 . . . . . 6  |-  ( y  =  <. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  ->  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  =  ( x  |`  ( A  u.  B
) ) )
7877eqeq2d 2454 . . . . 5  |-  ( y  =  <. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  ->  ( x  =  ( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) )  <->  x  =  ( x  |`  ( A  u.  B ) ) ) )
7969, 78syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( y  = 
<. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  ->  x  =  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) ) ) )
8064, 79impbid 191 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( x  =  ( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) )  <->  y  =  <. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >. )
)
8180ex 434 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) ) )  ->  ( x  =  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  <-> 
y  =  <. (
x  |`  A ) ,  ( x  |`  B )
>. ) ) )
822, 6, 25, 42, 81en3d 7351 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  ~~  (
( C  ^m  A
)  X.  ( C  ^m  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2977    u. cun 3331    i^i cin 3332    C_ wss 3333   (/)c0 3642   <.cop 3888   class class class wbr 4297    X. cxp 4843    |` cres 4847    Fn wfn 5418   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   1stc1st 6580   2ndc2nd 6581    ^m cmap 7219    ~~ cen 7312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-map 7221  df-en 7316
This theorem is referenced by:  map2xp  7486  mapdom2  7487  mapcdaen  8358  ackbij1lem5  8398  hashmap  12202
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