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Theorem mapunen 7683
Description: Equinumerosity law for set exponentiation of a disjoint union. Exercise 4.45 of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 23-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapunen  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  ~~  (
( C  ^m  A
)  X.  ( C  ^m  B ) ) )

Proof of Theorem mapunen
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6307 . . 3  |-  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  e. 
_V
21a1i 11 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  e.  _V )
3 ovex 6307 . . . 4  |-  ( C  ^m  A )  e. 
_V
4 ovex 6307 . . . 4  |-  ( C  ^m  B )  e. 
_V
53, 4xpex 6711 . . 3  |-  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) )  e. 
_V
65a1i 11 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) )  e.  _V )
7 elmapi 7437 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  ->  x : ( A  u.  B ) --> C )
8 ssun1 3667 . . . . 5  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
9 fssres 5749 . . . . 5  |-  ( ( x : ( A  u.  B ) --> C  /\  A  C_  ( A  u.  B )
)  ->  ( x  |`  A ) : A --> C )
107, 8, 9sylancl 662 . . . 4  |-  ( x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  ->  (
x  |`  A ) : A --> C )
11 ssun2 3668 . . . . 5  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
12 fssres 5749 . . . . 5  |-  ( ( x : ( A  u.  B ) --> C  /\  B  C_  ( A  u.  B )
)  ->  ( x  |`  B ) : B --> C )
137, 11, 12sylancl 662 . . . 4  |-  ( x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  ->  (
x  |`  B ) : B --> C )
1410, 13jca 532 . . 3  |-  ( x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  ->  (
( x  |`  A ) : A --> C  /\  ( x  |`  B ) : B --> C ) )
15 opelxp 5028 . . . 4  |-  ( <.
( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  e.  ( ( C  ^m  A
)  X.  ( C  ^m  B ) )  <-> 
( ( x  |`  A )  e.  ( C  ^m  A )  /\  ( x  |`  B )  e.  ( C  ^m  B ) ) )
16 simpl3 1001 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  C  e.  X
)
17 simpl1 999 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  A  e.  V
)
18 elmapg 7430 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  X  /\  A  e.  V )  ->  ( ( x  |`  A )  e.  ( C  ^m  A )  <-> 
( x  |`  A ) : A --> C ) )
1916, 17, 18syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( x  |`  A )  e.  ( C  ^m  A )  <-> 
( x  |`  A ) : A --> C ) )
20 simpl2 1000 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  B  e.  W
)
21 elmapg 7430 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  X  /\  B  e.  W )  ->  ( ( x  |`  B )  e.  ( C  ^m  B )  <-> 
( x  |`  B ) : B --> C ) )
2216, 20, 21syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( x  |`  B )  e.  ( C  ^m  B )  <-> 
( x  |`  B ) : B --> C ) )
2319, 22anbi12d 710 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( ( x  |`  A )  e.  ( C  ^m  A
)  /\  ( x  |`  B )  e.  ( C  ^m  B ) )  <->  ( ( x  |`  A ) : A --> C  /\  ( x  |`  B ) : B --> C ) ) )
2415, 23syl5bb 257 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( <. (
x  |`  A ) ,  ( x  |`  B )
>.  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) )  <->  ( (
x  |`  A ) : A --> C  /\  (
x  |`  B ) : B --> C ) ) )
2514, 24syl5ibr 221 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B )
)  ->  <. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )
26 xp1st 6811 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) )  ->  ( 1st `  y )  e.  ( C  ^m  A
) )
2726adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) ) )  ->  ( 1st `  y )  e.  ( C  ^m  A ) )
28 elmapi 7437 . . . . . 6  |-  ( ( 1st `  y )  e.  ( C  ^m  A )  ->  ( 1st `  y ) : A --> C )
2927, 28syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) ) )  ->  ( 1st `  y ) : A --> C )
30 xp2nd 6812 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) )  ->  ( 2nd `  y )  e.  ( C  ^m  B
) )
3130adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) ) )  ->  ( 2nd `  y )  e.  ( C  ^m  B ) )
32 elmapi 7437 . . . . . 6  |-  ( ( 2nd `  y )  e.  ( C  ^m  B )  ->  ( 2nd `  y ) : B --> C )
3331, 32syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) ) )  ->  ( 2nd `  y ) : B --> C )
34 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
35 fun2 5747 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 1st `  y
) : A --> C  /\  ( 2nd `  y ) : B --> C )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  -> 
( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) ) : ( A  u.  B
) --> C )
3629, 33, 34, 35syl21anc 1227 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) ) )  ->  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) ) : ( A  u.  B ) --> C )
3736ex 434 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) )  ->  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) ) : ( A  u.  B ) --> C ) )
38 unexg 6583 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
3917, 20, 38syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  u.  B )  e.  _V )
40 elmapg 7430 . . . 4  |-  ( ( C  e.  X  /\  ( A  u.  B
)  e.  _V )  ->  ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  <->  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) ) : ( A  u.  B ) --> C ) )
4116, 39, 40syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) )  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  <-> 
( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) ) : ( A  u.  B
) --> C ) )
4237, 41sylibrd 234 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) )  ->  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B
) ) ) )
43 1st2nd2 6818 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) )  ->  y  =  <. ( 1st `  y
) ,  ( 2nd `  y ) >. )
4443ad2antll 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  y  =  <. ( 1st `  y ) ,  ( 2nd `  y
) >. )
4529adantrl 715 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( 1st `  y
) : A --> C )
4633adantrl 715 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( 2nd `  y
) : B --> C )
47 res0 5276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1st `  y )  |`  (/) )  =  (/)
48 res0 5276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2nd `  y )  |`  (/) )  =  (/)
4947, 48eqtr4i 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st `  y )  |`  (/) )  =  ( ( 2nd `  y
)  |`  (/) )
50 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
5150reseq2d 5271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( ( 1st `  y )  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 1st `  y )  |`  (/) ) )
5250reseq2d 5271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( ( 2nd `  y )  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 2nd `  y )  |`  (/) ) )
5349, 51, 523eqtr4a 2534 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( ( 1st `  y )  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 2nd `  y )  |`  ( A  i^i  B ) ) )
54 fresaunres1 5756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1st `  y
) : A --> C  /\  ( 2nd `  y ) : B --> C  /\  ( ( 1st `  y
)  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 2nd `  y
)  |`  ( A  i^i  B ) ) )  -> 
( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  |`  A )  =  ( 1st `  y ) )
5545, 46, 53, 54syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) )  |`  A )  =  ( 1st `  y
) )
56 fresaunres2 5755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1st `  y
) : A --> C  /\  ( 2nd `  y ) : B --> C  /\  ( ( 1st `  y
)  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 2nd `  y
)  |`  ( A  i^i  B ) ) )  -> 
( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  |`  B )  =  ( 2nd `  y ) )
5745, 46, 53, 56syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) )  |`  B )  =  ( 2nd `  y
) )
5855, 57opeq12d 4221 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  <. ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) )  |`  A ) ,  ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) )  |`  B )
>.  =  <. ( 1st `  y ) ,  ( 2nd `  y )
>. )
5944, 58eqtr4d 2511 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  y  =  <. ( ( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) )  |`  A ) ,  ( ( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) )  |`  B ) >. )
60 reseq1 5265 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  ->  ( x  |`  A )  =  ( ( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) )  |`  A ) )
61 reseq1 5265 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  ->  ( x  |`  B )  =  ( ( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) )  |`  B ) )
6260, 61opeq12d 4221 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  ->  <. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  =  <. ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) )  |`  A ) ,  ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) )  |`  B )
>. )
6362eqeq2d 2481 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  ->  ( y  = 
<. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  <->  y  =  <. ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  |`  A ) ,  ( ( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) )  |`  B ) >. )
)
6459, 63syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( x  =  ( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) )  -> 
y  =  <. (
x  |`  A ) ,  ( x  |`  B )
>. ) )
65 ffn 5729 . . . . . . . 8  |-  ( x : ( A  u.  B ) --> C  ->  x  Fn  ( A  u.  B ) )
66 fnresdm 5688 . . . . . . . 8  |-  ( x  Fn  ( A  u.  B )  ->  (
x  |`  ( A  u.  B ) )  =  x )
677, 65, 663syl 20 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  ->  (
x  |`  ( A  u.  B ) )  =  x )
6867ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( x  |`  ( A  u.  B
) )  =  x )
6968eqcomd 2475 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  x  =  ( x  |`  ( A  u.  B ) ) )
70 vex 3116 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
7170resex 5315 . . . . . . . . 9  |-  ( x  |`  A )  e.  _V
7270resex 5315 . . . . . . . . 9  |-  ( x  |`  B )  e.  _V
7371, 72op1std 6791 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  ->  ( 1st `  y
)  =  ( x  |`  A ) )
7471, 72op2ndd 6792 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  ->  ( 2nd `  y
)  =  ( x  |`  B ) )
7573, 74uneq12d 3659 . . . . . . 7  |-  ( y  =  <. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  ->  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  =  ( ( x  |`  A )  u.  (
x  |`  B ) ) )
76 resundi 5285 . . . . . . 7  |-  ( x  |`  ( A  u.  B
) )  =  ( ( x  |`  A )  u.  ( x  |`  B ) )
7775, 76syl6eqr 2526 . . . . . 6  |-  ( y  =  <. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  ->  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  =  ( x  |`  ( A  u.  B
) ) )
7877eqeq2d 2481 . . . . 5  |-  ( y  =  <. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  ->  ( x  =  ( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) )  <->  x  =  ( x  |`  ( A  u.  B ) ) ) )
7969, 78syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( y  = 
<. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  ->  x  =  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) ) ) )
8064, 79impbid 191 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( x  =  ( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) )  <->  y  =  <. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >. )
)
8180ex 434 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) ) )  ->  ( x  =  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  <-> 
y  =  <. (
x  |`  A ) ,  ( x  |`  B )
>. ) ) )
822, 6, 25, 42, 81en3d 7549 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  ~~  (
( C  ^m  A
)  X.  ( C  ^m  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   <.cop 4033   class class class wbr 4447    X. cxp 4997    |` cres 5001    Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   1stc1st 6779   2ndc2nd 6780    ^m cmap 7417    ~~ cen 7510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-map 7419  df-en 7514
This theorem is referenced by:  map2xp  7684  mapdom2  7685  mapcdaen  8560  ackbij1lem5  8600  hashmap  12455
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