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Theorem mapunen 7476
Description: Equinumerosity law for set exponentiation of a disjoint union. Exercise 4.45 of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 23-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapunen  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  ~~  (
( C  ^m  A
)  X.  ( C  ^m  B ) ) )

Proof of Theorem mapunen
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6115 . . 3  |-  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  e. 
_V
21a1i 11 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  e.  _V )
3 ovex 6115 . . . 4  |-  ( C  ^m  A )  e. 
_V
4 ovex 6115 . . . 4  |-  ( C  ^m  B )  e. 
_V
53, 4xpex 6507 . . 3  |-  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) )  e. 
_V
65a1i 11 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) )  e.  _V )
7 elmapi 7230 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  ->  x : ( A  u.  B ) --> C )
8 ssun1 3516 . . . . 5  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
9 fssres 5575 . . . . 5  |-  ( ( x : ( A  u.  B ) --> C  /\  A  C_  ( A  u.  B )
)  ->  ( x  |`  A ) : A --> C )
107, 8, 9sylancl 657 . . . 4  |-  ( x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  ->  (
x  |`  A ) : A --> C )
11 ssun2 3517 . . . . 5  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
12 fssres 5575 . . . . 5  |-  ( ( x : ( A  u.  B ) --> C  /\  B  C_  ( A  u.  B )
)  ->  ( x  |`  B ) : B --> C )
137, 11, 12sylancl 657 . . . 4  |-  ( x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  ->  (
x  |`  B ) : B --> C )
1410, 13jca 529 . . 3  |-  ( x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  ->  (
( x  |`  A ) : A --> C  /\  ( x  |`  B ) : B --> C ) )
15 opelxp 4865 . . . 4  |-  ( <.
( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  e.  ( ( C  ^m  A
)  X.  ( C  ^m  B ) )  <-> 
( ( x  |`  A )  e.  ( C  ^m  A )  /\  ( x  |`  B )  e.  ( C  ^m  B ) ) )
16 simpl3 988 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  C  e.  X
)
17 simpl1 986 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  A  e.  V
)
18 elmapg 7223 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  X  /\  A  e.  V )  ->  ( ( x  |`  A )  e.  ( C  ^m  A )  <-> 
( x  |`  A ) : A --> C ) )
1916, 17, 18syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( x  |`  A )  e.  ( C  ^m  A )  <-> 
( x  |`  A ) : A --> C ) )
20 simpl2 987 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  B  e.  W
)
21 elmapg 7223 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  X  /\  B  e.  W )  ->  ( ( x  |`  B )  e.  ( C  ^m  B )  <-> 
( x  |`  B ) : B --> C ) )
2216, 20, 21syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( x  |`  B )  e.  ( C  ^m  B )  <-> 
( x  |`  B ) : B --> C ) )
2319, 22anbi12d 705 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( ( x  |`  A )  e.  ( C  ^m  A
)  /\  ( x  |`  B )  e.  ( C  ^m  B ) )  <->  ( ( x  |`  A ) : A --> C  /\  ( x  |`  B ) : B --> C ) ) )
2415, 23syl5bb 257 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( <. (
x  |`  A ) ,  ( x  |`  B )
>.  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) )  <->  ( (
x  |`  A ) : A --> C  /\  (
x  |`  B ) : B --> C ) ) )
2514, 24syl5ibr 221 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B )
)  ->  <. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )
26 xp1st 6605 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) )  ->  ( 1st `  y )  e.  ( C  ^m  A
) )
2726adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) ) )  ->  ( 1st `  y )  e.  ( C  ^m  A ) )
28 elmapi 7230 . . . . . 6  |-  ( ( 1st `  y )  e.  ( C  ^m  A )  ->  ( 1st `  y ) : A --> C )
2927, 28syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) ) )  ->  ( 1st `  y ) : A --> C )
30 xp2nd 6606 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) )  ->  ( 2nd `  y )  e.  ( C  ^m  B
) )
3130adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) ) )  ->  ( 2nd `  y )  e.  ( C  ^m  B ) )
32 elmapi 7230 . . . . . 6  |-  ( ( 2nd `  y )  e.  ( C  ^m  B )  ->  ( 2nd `  y ) : B --> C )
3331, 32syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) ) )  ->  ( 2nd `  y ) : B --> C )
34 simplr 749 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
35 fun2 5573 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 1st `  y
) : A --> C  /\  ( 2nd `  y ) : B --> C )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  -> 
( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) ) : ( A  u.  B
) --> C )
3629, 33, 34, 35syl21anc 1212 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) ) )  ->  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) ) : ( A  u.  B ) --> C )
3736ex 434 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) )  ->  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) ) : ( A  u.  B ) --> C ) )
38 unexg 6380 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
3917, 20, 38syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  u.  B )  e.  _V )
40 elmapg 7223 . . . 4  |-  ( ( C  e.  X  /\  ( A  u.  B
)  e.  _V )  ->  ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  <->  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) ) : ( A  u.  B ) --> C ) )
4116, 39, 40syl2anc 656 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) )  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  <-> 
( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) ) : ( A  u.  B
) --> C ) )
4237, 41sylibrd 234 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) )  ->  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B
) ) ) )
43 1st2nd2 6612 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) )  ->  y  =  <. ( 1st `  y
) ,  ( 2nd `  y ) >. )
4443ad2antll 723 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  y  =  <. ( 1st `  y ) ,  ( 2nd `  y
) >. )
4529adantrl 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( 1st `  y
) : A --> C )
4633adantrl 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( 2nd `  y
) : B --> C )
47 res0 5111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1st `  y )  |`  (/) )  =  (/)
48 res0 5111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2nd `  y )  |`  (/) )  =  (/)
4947, 48eqtr4i 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st `  y )  |`  (/) )  =  ( ( 2nd `  y
)  |`  (/) )
50 simplr 749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
5150reseq2d 5106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( ( 1st `  y )  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 1st `  y )  |`  (/) ) )
5250reseq2d 5106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( ( 2nd `  y )  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 2nd `  y )  |`  (/) ) )
5349, 51, 523eqtr4a 2499 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( ( 1st `  y )  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 2nd `  y )  |`  ( A  i^i  B ) ) )
54 fresaunres1 5581 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1st `  y
) : A --> C  /\  ( 2nd `  y ) : B --> C  /\  ( ( 1st `  y
)  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 2nd `  y
)  |`  ( A  i^i  B ) ) )  -> 
( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  |`  A )  =  ( 1st `  y ) )
5545, 46, 53, 54syl3anc 1213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) )  |`  A )  =  ( 1st `  y
) )
56 fresaunres2 5580 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1st `  y
) : A --> C  /\  ( 2nd `  y ) : B --> C  /\  ( ( 1st `  y
)  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 2nd `  y
)  |`  ( A  i^i  B ) ) )  -> 
( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  |`  B )  =  ( 2nd `  y ) )
5745, 46, 53, 56syl3anc 1213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) )  |`  B )  =  ( 2nd `  y
) )
5855, 57opeq12d 4064 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  <. ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) )  |`  A ) ,  ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) )  |`  B )
>.  =  <. ( 1st `  y ) ,  ( 2nd `  y )
>. )
5944, 58eqtr4d 2476 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  y  =  <. ( ( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) )  |`  A ) ,  ( ( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) )  |`  B ) >. )
60 reseq1 5100 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  ->  ( x  |`  A )  =  ( ( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) )  |`  A ) )
61 reseq1 5100 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  ->  ( x  |`  B )  =  ( ( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) )  |`  B ) )
6260, 61opeq12d 4064 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  ->  <. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  =  <. ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) )  |`  A ) ,  ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) )  |`  B )
>. )
6362eqeq2d 2452 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  ->  ( y  = 
<. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  <->  y  =  <. ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  |`  A ) ,  ( ( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) )  |`  B ) >. )
)
6459, 63syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( x  =  ( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) )  -> 
y  =  <. (
x  |`  A ) ,  ( x  |`  B )
>. ) )
65 ffn 5556 . . . . . . . 8  |-  ( x : ( A  u.  B ) --> C  ->  x  Fn  ( A  u.  B ) )
66 fnresdm 5517 . . . . . . . 8  |-  ( x  Fn  ( A  u.  B )  ->  (
x  |`  ( A  u.  B ) )  =  x )
677, 65, 663syl 20 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  ->  (
x  |`  ( A  u.  B ) )  =  x )
6867ad2antrl 722 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( x  |`  ( A  u.  B
) )  =  x )
6968eqcomd 2446 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  x  =  ( x  |`  ( A  u.  B ) ) )
70 vex 2973 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
7170resex 5147 . . . . . . . . 9  |-  ( x  |`  A )  e.  _V
7270resex 5147 . . . . . . . . 9  |-  ( x  |`  B )  e.  _V
7371, 72op1std 6586 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  ->  ( 1st `  y
)  =  ( x  |`  A ) )
7471, 72op2ndd 6587 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  ->  ( 2nd `  y
)  =  ( x  |`  B ) )
7573, 74uneq12d 3508 . . . . . . 7  |-  ( y  =  <. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  ->  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  =  ( ( x  |`  A )  u.  (
x  |`  B ) ) )
76 resundi 5121 . . . . . . 7  |-  ( x  |`  ( A  u.  B
) )  =  ( ( x  |`  A )  u.  ( x  |`  B ) )
7775, 76syl6eqr 2491 . . . . . 6  |-  ( y  =  <. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  ->  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  =  ( x  |`  ( A  u.  B
) ) )
7877eqeq2d 2452 . . . . 5  |-  ( y  =  <. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  ->  ( x  =  ( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) )  <->  x  =  ( x  |`  ( A  u.  B ) ) ) )
7969, 78syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( y  = 
<. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  ->  x  =  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) ) ) )
8064, 79impbid 191 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( x  =  ( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) )  <->  y  =  <. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >. )
)
8180ex 434 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) ) )  ->  ( x  =  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  <-> 
y  =  <. (
x  |`  A ) ,  ( x  |`  B )
>. ) ) )
822, 6, 25, 42, 81en3d 7342 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  ~~  (
( C  ^m  A
)  X.  ( C  ^m  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   _Vcvv 2970    u. cun 3323    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   <.cop 3880   class class class wbr 4289    X. cxp 4834    |` cres 4838    Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   1stc1st 6574   2ndc2nd 6575    ^m cmap 7210    ~~ cen 7303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-map 7212  df-en 7307
This theorem is referenced by:  map2xp  7477  mapdom2  7478  mapcdaen  8349  ackbij1lem5  8389  hashmap  12193
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