Theorem mapsspw 5400

Description: Set exponentiation is a subset of the power set of the cross product of its arguments.

Assertion

Ref	Expression
mapsspw	|- (B e. R -> (A ^m B) C_ ~P(B X. A))

Proof of Theorem mapsspw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapvalg 5389	. . 3 |- ((A e. _V /\ B e. R) -> (A ^m B) = {f | f:B-->A})
2		fssxp 4575	. . . . . 6 |- (f:B-->A -> f C_ (B X. A))
3	2	ss2abi 2679	. . . . 5 |- {f | f:B-->A} C_ {f | f C_ (B X. A)}
4		df-pw 3035	. . . . 5 |- ~P(B X. A) = {f | f C_ (B X. A)}
5	3, 4	sseqtr4i 2650	. . . 4 |- {f | f:B-->A} C_ ~P(B X. A)
6	5	a1i 8	. . 3 |- ((A e. _V /\ B e. R) -> {f | f:B-->A} C_ ~P(B X. A))
7	1, 6	eqsstrd 2651	. 2 |- ((A e. _V /\ B e. R) -> (A ^m B) C_ ~P(B X. A))
8		relxp 4088	. . . . . 6 |- Rel (_V X. _V)
9		fnmap 5388	. . . . . . . 8 |- ^m Fn (_V X. _V)
10		fndm 4512	. . . . . . . 8 |- ( ^m Fn (_V X. _V) -> dom ^m = (_V X. _V))
11	9, 10	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- dom ^m = (_V X. _V)
12	11	releqi 4072	. . . . . 6 |- (Rel dom ^m <-> Rel (_V X. _V))
13	8, 12	mpbir 207	. . . . 5 |- Rel dom ^m
14	13	oprprc1 4908	. . . 4 |- (-. A e. _V -> (A ^m B) = (/))
15		0ss 2900	. . . . 5 |- (/) C_ ~P(B X. A)
16	15	a1i 8	. . . 4 |- (-. A e. _V -> (/) C_ ~P(B X. A))
17	14, 16	eqsstrd 2651	. . 3 |- (-. A e. _V -> (A ^m B) C_ ~P(B X. A))
18	17	adantr 425	. 2 |- ((-. A e. _V /\ B e. R) -> (A ^m B) C_ ~P(B X. A))
19	7, 18	pm2.61ian 534	1 |- (B e. R -> (A ^m B) C_ ~P(B X. A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  (/)c0 2875  ~Pcpw 3032   X. cxp 3984  dom cdm 3986  Rel wrel 3991   Fn wfn 3993  -->wf 3994  (class class class)co 4884   ^m cmap 5381

This theorem is referenced by:  mappow 14413  sexptrt 15243  mapfi 15727  rrntotbnd 16022

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-map 5383

Copyright terms: Public domain