Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapsnen Structured version   Unicode version

Theorem mapsnen 7612
 Description: Set exponentiation to a singleton exponent is equinumerous to its base. Exercise 4.43 of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 17-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mapsnen.1
mapsnen.2
Assertion
Ref Expression
mapsnen

Proof of Theorem mapsnen
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6324 . 2
2 mapsnen.1 . 2
3 fvex 5882 . . 3
43a1i 11 . 2
5 snex 4697 . . 3
65a1i 11 . 2
7 mapsnen.2 . . . . . . 7
82, 7mapsn 7479 . . . . . 6
98abeq2i 2584 . . . . 5
109anbi1i 695 . . . 4
11 r19.41v 3009 . . . 4
12 df-rex 2813 . . . 4
1310, 11, 123bitr2i 273 . . 3
14 fveq1 5871 . . . . . . . . . 10
15 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
167, 15fvsn 6105 . . . . . . . . . 10
1714, 16syl6eq 2514 . . . . . . . . 9
1817eqeq2d 2471 . . . . . . . 8
19 equcom 1795 . . . . . . . 8
2018, 19syl6bb 261 . . . . . . 7
2120pm5.32i 637 . . . . . 6
2221anbi2i 694 . . . . 5
23 anass 649 . . . . 5
24 ancom 450 . . . . 5
2522, 23, 243bitr2i 273 . . . 4
2625exbii 1668 . . 3
27 vex 3112 . . . 4
28 eleq1 2529 . . . . 5
29 opeq2 4220 . . . . . . 7
3029sneqd 4044 . . . . . 6
3130eqeq2d 2471 . . . . 5
3228, 31anbi12d 710 . . . 4
3327, 32ceqsexv 3146 . . 3
3413, 26, 333bitri 271 . 2
351, 2, 4, 6, 34en2i 7572 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wa 369   wceq 1395  wex 1613   wcel 1819  wrex 2808  cvv 3109  csn 4032  cop 4038   class class class wbr 4456  cfv 5594  (class class class)co 6296   cmap 7438   cen 7532 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-map 7440  df-en 7536 This theorem is referenced by:  map2xp  7706  mapdom3  7708  ackbij1lem5  8621  pwxpndom2  9060  hashmap  12496
 Copyright terms: Public domain W3C validator