Theorem mapsnen 5488

Description: Set exponentiation to a singleton exponent is equinumerous to its base. Exercise 4.43 of [Mendelson] p. 255.

Hypotheses

Ref	Expression
mapsnen.1	|- A e. _V
mapsnen.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
mapsnen	|- (A ^m {B}) ~~ A

Proof of Theorem mapsnen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprex 4907	. 2 |- (A ^m {B}) e. _V
2		fvex 4689	. . 3 |- (z` B) e. _V
3	2	a1i 8	. 2 |- (z e. (A ^m {B}) -> (z` B) e. _V)
4		snex 3492	. . 3 |- {<.B, w>.} e. _V
5	4	a1i 8	. 2 |- (w e. A -> {<.B, w>.} e. _V)
6		mapsnen.1	. . . . . . 7 |- A e. _V
7		mapsnen.2	. . . . . . 7 |- B e. _V
8	6, 7	mapsn 5404	. . . . . 6 |- (A ^m {B}) = {z | E.y e. A z = {<.B, y>.}}
9	8	abeq2i 2001	. . . . 5 |- (z e. (A ^m {B}) <-> E.y e. A z = {<.B, y>.})
10	9	anbi1i 539	. . . 4 |- ((z e. (A ^m {B}) /\ w = (z` B)) <-> (E.y e. A z = {<.B, y>.} /\ w = (z` B)))
11		r19.41v 2236	. . . 4 |- (E.y e. A (z = {<.B, y>.} /\ w = (z` B)) <-> (E.y e. A z = {<.B, y>.} /\ w = (z` B)))
12		df-rex 2110	. . . 4 |- (E.y e. A (z = {<.B, y>.} /\ w = (z` B)) <-> E.y(y e. A /\ (z = {<.B, y>.} /\ w = (z` B))))
13	10, 11, 12	3bitr2i 196	. . 3 |- ((z e. (A ^m {B}) /\ w = (z` B)) <-> E.y(y e. A /\ (z = {<.B, y>.} /\ w = (z` B))))
14		fveq1 4680	. . . . . . . . . 10 |- (z = {<.B, y>.} -> (z` B) = ({<.B, y>.}` B))
15		visset 2295	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
16	7, 15	fvsn 4758	. . . . . . . . . 10 |- ({<.B, y>.}` B) = y
17	14, 16	syl6eq 1944	. . . . . . . . 9 |- (z = {<.B, y>.} -> (z` B) = y)
18	17	eqeq2d 1895	. . . . . . . 8 |- (z = {<.B, y>.} -> (w = (z` B) <-> w = y))
19		equcom 1488	. . . . . . . 8 |- (w = y <-> y = w)
20	18, 19	syl6bb 595	. . . . . . 7 |- (z = {<.B, y>.} -> (w = (z` B) <-> y = w))
21	20	pm5.32i 707	. . . . . 6 |- ((z = {<.B, y>.} /\ w = (z` B)) <-> (z = {<.B, y>.} /\ y = w))
22	21	anbi2i 538	. . . . 5 |- ((y e. A /\ (z = {<.B, y>.} /\ w = (z` B))) <-> (y e. A /\ (z = {<.B, y>.} /\ y = w)))
23		anass 487	. . . . 5 |- (((y e. A /\ z = {<.B, y>.}) /\ y = w) <-> (y e. A /\ (z = {<.B, y>.} /\ y = w)))
24		ancom 482	. . . . 5 |- (((y e. A /\ z = {<.B, y>.}) /\ y = w) <-> (y = w /\ (y e. A /\ z = {<.B, y>.})))
25	22, 23, 24	3bitr2i 196	. . . 4 |- ((y e. A /\ (z = {<.B, y>.} /\ w = (z` B))) <-> (y = w /\ (y e. A /\ z = {<.B, y>.})))
26	25	exbii 1398	. . 3 |- (E.y(y e. A /\ (z = {<.B, y>.} /\ w = (z` B))) <-> E.y(y = w /\ (y e. A /\ z = {<.B, y>.})))
27		visset 2295	. . . 4 |- w e. _V
28		eleq1 1957	. . . . 5 |- (y = w -> (y e. A <-> w e. A))
29		opeq2 3159	. . . . . . 7 |- (y = w -> <.B, y>. = <.B, w>.)
30	29	sneqd 3056	. . . . . 6 |- (y = w -> {<.B, y>.} = {<.B, w>.})
31	30	eqeq2d 1895	. . . . 5 |- (y = w -> (z = {<.B, y>.} <-> z = {<.B, w>.}))
32	28, 31	anbi12d 690	. . . 4 |- (y = w -> ((y e. A /\ z = {<.B, y>.}) <-> (w e. A /\ z = {<.B, w>.})))
33	27, 32	ceqsexv 2325	. . 3 |- (E.y(y = w /\ (y e. A /\ z = {<.B, y>.})) <-> (w e. A /\ z = {<.B, w>.}))
34	13, 26, 33	3bitri 194	. 2 |- ((z e. (A ^m {B}) /\ w = (z` B)) <-> (w e. A /\ z = {<.B, w>.}))
35	1, 3, 5, 34	en2 5461	1 |- (A ^m {B}) ~~ A

Syntax hints:   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  E.wrex 2106  _Vcvv 2292  {csn 3044  <.cop 3046   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884   ^m cmap 5381   ~~ cen 5423

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-map 5383  df-en 5427

Copyright terms: Public domain