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Theorem mapsnd 37547
Description: The value of set exponentiation with a singleton exponent. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mapsnd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
mapsnd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
Assertion
Ref Expression
mapsnd  |-  ( ph  ->  ( A  ^m  { B } )  =  {
f  |  E. y  e.  A  f  =  { <. B ,  y
>. } } )
Distinct variable groups:    A, f,
y    B, f, y    ph, f,
y
Allowed substitution hints:    V( y, f)    W( y, f)

Proof of Theorem mapsnd
StepHypRef Expression
1 mapsnd.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 mapsnd.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
3 snex 4641 . . . . . 6  |-  { B }  e.  _V
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( B  e.  W  ->  { B }  e.  _V )
52, 4syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  { B }  e.  _V )
6 elmapg 7503 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  { B }  e.  _V )  ->  ( f  e.  ( A  ^m  { B } )  <->  f : { B } --> A ) )
71, 5, 6syl2anc 673 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( A  ^m  { B } )  <->  f : { B } --> A ) )
8 ffn 5739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : { B } --> A  ->  f  Fn  { B } )
98a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( f : { B } --> A  ->  f  Fn  { B } ) )
109imp 436 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f : { B } --> A )  ->  f  Fn  { B } )
11 snidg 3986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  W  ->  B  e.  { B } )
122, 11syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  { B } )
1312adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f : { B } --> A )  ->  B  e.  { B } )
14 fneu 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  Fn  { B }  /\  B  e.  { B } )  ->  E! y  B f y )
1510, 13, 14syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f : { B } --> A )  ->  E! y  B f y )
16 euabsn 4035 . . . . . . . . . 10  |-  ( E! y  B f y  <->  E. y { y  |  B f y }  =  { y } )
17 frel 5744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : { B } --> A  ->  Rel  f )
18 relimasn 5197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Rel  f  ->  ( f " { B } )  =  { y  |  B f y } )
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( f " { B } )  =  { y  |  B
f y } )
20 imadmrn 5184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f
" dom  f )  =  ran  f
21 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : { B } --> A  ->  dom  f  =  { B } )
2221imaeq2d 5174 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( f " dom  f )  =  ( f " { B } ) )
2320, 22syl5reqr 2520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( f " { B } )  =  ran  f )
2419, 23eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : { B } --> A  ->  { y  |  B f y }  =  ran  f )
2524eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( { y  |  B f y }  =  { y }  <->  ran  f  =  {
y } ) )
2625exbidv 1776 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( E. y { y  |  B
f y }  =  { y }  <->  E. y ran  f  =  {
y } ) )
2716, 26syl5bb 265 . . . . . . . . 9  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( E! y  B f y  <->  E. y ran  f  =  {
y } ) )
2827adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f : { B } --> A )  ->  ( E! y  B f y  <->  E. y ran  f  =  {
y } ) )
2915, 28mpbid 215 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f : { B } --> A )  ->  E. y ran  f  =  { y } )
30 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
3130snid 3988 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
{ y }
32 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ran  f  =  { y }  ->  ( y  e.  ran  f  <->  y  e.  { y } ) )
3331, 32mpbiri 241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ran  f  =  { y }  ->  y  e.  ran  f )
34 frn 5747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : { B } --> A  ->  ran  f  C_  A )
3534sseld 3417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( y  e. 
ran  f  ->  y  e.  A ) )
3633, 35syl5 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( ran  f  =  { y }  ->  y  e.  A ) )
3736imp 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : { B }
--> A  /\  ran  f  =  { y } )  ->  y  e.  A
)
3837adantll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f : { B } --> A )  /\  ran  f  =  { y } )  ->  y  e.  A
)
39 dffn4 5812 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  Fn  { B }  <->  f : { B } -onto-> ran  f )
408, 39sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : { B } --> A  ->  f : { B } -onto-> ran  f )
41 fof 5806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : { B } -onto-> ran  f  ->  f : { B } --> ran  f
)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : { B } --> A  ->  f : { B } --> ran  f )
43 feq3 5722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ran  f  =  { y }  ->  ( f : { B } --> ran  f  <->  f : { B } --> { y } ) )
4442, 43syl5ibcom 228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : { B } --> A  ->  ( ran  f  =  { y }  ->  f : { B } --> { y } ) )
4544imp 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : { B }
--> A  /\  ran  f  =  { y } )  ->  f : { B } --> { y } )
4645adantll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f : { B } --> A )  /\  ran  f  =  { y } )  ->  f : { B } --> { y } )
472ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f : { B } --> A )  /\  ran  f  =  { y } )  ->  B  e.  W
)
4830a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f : { B } --> A )  /\  ran  f  =  { y } )  ->  y  e.  _V )
49 fsng 6079 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  W  /\  y  e.  _V )  ->  ( f : { B } --> { y }  <-> 
f  =  { <. B ,  y >. } ) )
5047, 48, 49syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f : { B } --> A )  /\  ran  f  =  { y } )  ->  ( f : { B } --> { y }  <->  f  =  { <. B ,  y >. } ) )
5146, 50mpbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f : { B } --> A )  /\  ran  f  =  { y } )  ->  f  =  { <. B ,  y >. } )
5238, 51jca 541 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f : { B } --> A )  /\  ran  f  =  { y } )  ->  ( y  e.  A  /\  f  =  { <. B ,  y
>. } ) )
5352ex 441 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f : { B } --> A )  ->  ( ran  f  =  { y }  ->  ( y  e.  A  /\  f  =  { <. B , 
y >. } ) ) )
5453eximdv 1772 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f : { B } --> A )  ->  ( E. y ran  f  =  {
y }  ->  E. y
( y  e.  A  /\  f  =  { <. B ,  y >. } ) ) )
5529, 54mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f : { B } --> A )  ->  E. y ( y  e.  A  /\  f  =  { <. B ,  y
>. } ) )
56 df-rex 2762 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  A  f  =  { <. B , 
y >. }  <->  E. y
( y  e.  A  /\  f  =  { <. B ,  y >. } ) )
5755, 56sylibr 217 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f : { B } --> A )  ->  E. y  e.  A  f  =  { <. B , 
y >. } )
5857ex 441 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f : { B } --> A  ->  E. y  e.  A  f  =  { <. B ,  y
>. } ) )
5930a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  y  e.  _V )
60 f1osng 5867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  W  /\  y  e.  _V )  ->  { <. B ,  y
>. } : { B }
-1-1-onto-> { y } )
612, 59, 60syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { <. B ,  y
>. } : { B }
-1-1-onto-> { y } )
6261adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  =  { <. B ,  y
>. } )  ->  { <. B ,  y >. } : { B } -1-1-onto-> { y } )
63 f1oeq1 5818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  { <. B , 
y >. }  ->  (
f : { B }
-1-1-onto-> { y }  <->  { <. B , 
y >. } : { B } -1-1-onto-> { y } ) )
6463bicomd 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  { <. B , 
y >. }  ->  ( { <. B ,  y
>. } : { B }
-1-1-onto-> { y }  <->  f : { B } -1-1-onto-> { y } ) )
6564adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  =  { <. B ,  y
>. } )  ->  ( { <. B ,  y
>. } : { B }
-1-1-onto-> { y }  <->  f : { B } -1-1-onto-> { y } ) )
6662, 65mpbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  =  { <. B ,  y
>. } )  ->  f : { B } -1-1-onto-> { y } )
67 f1of 5828 . . . . . . . . 9  |-  ( f : { B } -1-1-onto-> {
y }  ->  f : { B } --> { y } )
6866, 67syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  =  { <. B ,  y
>. } )  ->  f : { B } --> { y } )
69683adant2 1049 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A  /\  f  =  { <. B ,  y >. } )  ->  f : { B } --> { y } )
70 snssi 4107 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  { y }  C_  A )
71703ad2ant2 1052 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A  /\  f  =  { <. B ,  y >. } )  ->  { y }  C_  A )
72 fss 5749 . . . . . . 7  |-  ( ( f : { B }
--> { y }  /\  { y }  C_  A
)  ->  f : { B } --> A )
7369, 71, 72syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A  /\  f  =  { <. B ,  y >. } )  ->  f : { B } --> A )
74733exp 1230 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  ->  ( f  =  { <. B ,  y >. }  ->  f : { B } --> A ) ) )
7574rexlimdv 2870 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  A  f  =  { <. B ,  y >. }  ->  f : { B } --> A ) )
7658, 75impbid 195 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f : { B } --> A  <->  E. y  e.  A  f  =  { <. B ,  y
>. } ) )
777, 76bitrd 261 . 2  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( A  ^m  { B } )  <->  E. y  e.  A  f  =  { <. B ,  y
>. } ) )
7877abbi2dv 2590 1  |-  ( ph  ->  ( A  ^m  { B } )  =  {
f  |  E. y  e.  A  f  =  { <. B ,  y
>. } } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   E!weu 2319   {cab 2457   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   {csn 3959   <.cop 3965   class class class wbr 4395   dom cdm 4839   ran crn 4840   "cima 4842   Rel wrel 4844    Fn wfn 5584   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   -1-1-onto->wf1o 5588  (class class class)co 6308    ^m cmap 7490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-map 7492
This theorem is referenced by:  mapsnend  37551  iunmapsn  37570
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