MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapsnconst Structured version   Unicode version

Theorem mapsnconst 7456
Description: Every singleton map is a constant function. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapsncnv.s  |-  S  =  { X }
mapsncnv.b  |-  B  e. 
_V
mapsncnv.x  |-  X  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
mapsnconst  |-  ( F  e.  ( B  ^m  S )  ->  F  =  ( S  X.  { ( F `  X ) } ) )

Proof of Theorem mapsnconst
StepHypRef Expression
1 mapsncnv.b . . . 4  |-  B  e. 
_V
2 snex 4683 . . . 4  |-  { X }  e.  _V
31, 2elmap 7439 . . 3  |-  ( F  e.  ( B  ^m  { X } )  <->  F : { X } --> B )
4 mapsncnv.x . . . . . 6  |-  X  e. 
_V
54fsn2 6054 . . . . 5  |-  ( F : { X } --> B 
<->  ( ( F `  X )  e.  B  /\  F  =  { <. X ,  ( F `
 X ) >. } ) )
65simprbi 464 . . . 4  |-  ( F : { X } --> B  ->  F  =  { <. X ,  ( F `
 X ) >. } )
7 mapsncnv.s . . . . . 6  |-  S  =  { X }
87xpeq1i 5014 . . . . 5  |-  ( S  X.  { ( F `
 X ) } )  =  ( { X }  X.  {
( F `  X
) } )
9 fvex 5869 . . . . . 6  |-  ( F `
 X )  e. 
_V
104, 9xpsn 6056 . . . . 5  |-  ( { X }  X.  {
( F `  X
) } )  =  { <. X ,  ( F `  X )
>. }
118, 10eqtr2i 2492 . . . 4  |-  { <. X ,  ( F `  X ) >. }  =  ( S  X.  { ( F `  X ) } )
126, 11syl6eq 2519 . . 3  |-  ( F : { X } --> B  ->  F  =  ( S  X.  { ( F `  X ) } ) )
133, 12sylbi 195 . 2  |-  ( F  e.  ( B  ^m  { X } )  ->  F  =  ( S  X.  { ( F `  X ) } ) )
147oveq2i 6288 . 2  |-  ( B  ^m  S )  =  ( B  ^m  { X } )
1513, 14eleq2s 2570 1  |-  ( F  e.  ( B  ^m  S )  ->  F  =  ( S  X.  { ( F `  X ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3108   {csn 4022   <.cop 4028    X. cxp 4992   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277    ^m cmap 7412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-map 7414
This theorem is referenced by:  mapsncnv  7457  fvcoe1  18012  coe1mul2lem1  18074  coe1mul2  18076
  Copyright terms: Public domain W3C validator