MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapsnconst Structured version   Unicode version

Theorem mapsnconst 7502
Description: Every singleton map is a constant function. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapsncnv.s  |-  S  =  { X }
mapsncnv.b  |-  B  e. 
_V
mapsncnv.x  |-  X  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
mapsnconst  |-  ( F  e.  ( B  ^m  S )  ->  F  =  ( S  X.  { ( F `  X ) } ) )

Proof of Theorem mapsnconst
StepHypRef Expression
1 mapsncnv.b . . . 4  |-  B  e. 
_V
2 snex 4632 . . . 4  |-  { X }  e.  _V
31, 2elmap 7485 . . 3  |-  ( F  e.  ( B  ^m  { X } )  <->  F : { X } --> B )
4 mapsncnv.x . . . . . 6  |-  X  e. 
_V
54fsn2 6049 . . . . 5  |-  ( F : { X } --> B 
<->  ( ( F `  X )  e.  B  /\  F  =  { <. X ,  ( F `
 X ) >. } ) )
65simprbi 462 . . . 4  |-  ( F : { X } --> B  ->  F  =  { <. X ,  ( F `
 X ) >. } )
7 mapsncnv.s . . . . . 6  |-  S  =  { X }
87xpeq1i 4843 . . . . 5  |-  ( S  X.  { ( F `
 X ) } )  =  ( { X }  X.  {
( F `  X
) } )
9 fvex 5859 . . . . . 6  |-  ( F `
 X )  e. 
_V
104, 9xpsn 6053 . . . . 5  |-  ( { X }  X.  {
( F `  X
) } )  =  { <. X ,  ( F `  X )
>. }
118, 10eqtr2i 2432 . . . 4  |-  { <. X ,  ( F `  X ) >. }  =  ( S  X.  { ( F `  X ) } )
126, 11syl6eq 2459 . . 3  |-  ( F : { X } --> B  ->  F  =  ( S  X.  { ( F `  X ) } ) )
133, 12sylbi 195 . 2  |-  ( F  e.  ( B  ^m  { X } )  ->  F  =  ( S  X.  { ( F `  X ) } ) )
147oveq2i 6289 . 2  |-  ( B  ^m  S )  =  ( B  ^m  { X } )
1513, 14eleq2s 2510 1  |-  ( F  e.  ( B  ^m  S )  ->  F  =  ( S  X.  { ( F `  X ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3059   {csn 3972   <.cop 3978    X. cxp 4821   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    ^m cmap 7457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-map 7459
This theorem is referenced by:  mapsncnv  7503  fvcoe1  18566  coe1mul2lem1  18628  coe1mul2  18630
  Copyright terms: Public domain W3C validator