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Theorem mapsncnv 7019
Description: Expression for the inverse of the canonical map between a set and its set of singleton functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapsncnv.s  |-  S  =  { X }
mapsncnv.b  |-  B  e. 
_V
mapsncnv.x  |-  X  e. 
_V
mapsncnv.f  |-  F  =  ( x  e.  ( B  ^m  S ) 
|->  ( x `  X
) )
Assertion
Ref Expression
mapsncnv  |-  `' F  =  ( y  e.  B  |->  ( S  X.  { y } ) )
Distinct variable groups:    x, B, y    x, S, y    y, X
Allowed substitution hints:    F( x, y)    X( x)

Proof of Theorem mapsncnv
StepHypRef Expression
1 elmapi 6997 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( B  ^m  { X } )  ->  x : { X } --> B )
2 mapsncnv.x . . . . . . . . . 10  |-  X  e. 
_V
32snid 3801 . . . . . . . . 9  |-  X  e. 
{ X }
4 ffvelrn 5827 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x : { X }
--> B  /\  X  e. 
{ X } )  ->  ( x `  X )  e.  B
)
51, 3, 4sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( B  ^m  { X } )  -> 
( x `  X
)  e.  B )
6 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  { X }  =  { X }
7 mapsncnv.b . . . . . . . . 9  |-  B  e. 
_V
86, 7, 2mapsnconst 7018 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( B  ^m  { X } )  ->  x  =  ( { X }  X.  { ( x `  X ) } ) )
95, 8jca 519 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( B  ^m  { X } )  -> 
( ( x `  X )  e.  B  /\  x  =  ( { X }  X.  {
( x `  X
) } ) ) )
10 eleq1 2464 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( x `  X )  ->  (
y  e.  B  <->  ( x `  X )  e.  B
) )
11 sneq 3785 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( x `  X )  ->  { y }  =  { ( x `  X ) } )
1211xpeq2d 4861 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( x `  X )  ->  ( { X }  X.  {
y } )  =  ( { X }  X.  { ( x `  X ) } ) )
1312eqeq2d 2415 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( x `  X )  ->  (
x  =  ( { X }  X.  {
y } )  <->  x  =  ( { X }  X.  { ( x `  X ) } ) ) )
1410, 13anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( x `  X )  ->  (
( y  e.  B  /\  x  =  ( { X }  X.  {
y } ) )  <-> 
( ( x `  X )  e.  B  /\  x  =  ( { X }  X.  {
( x `  X
) } ) ) ) )
159, 14syl5ibrcom 214 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( B  ^m  { X } )  -> 
( y  =  ( x `  X )  ->  ( y  e.  B  /\  x  =  ( { X }  X.  { y } ) ) ) )
1615imp 419 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  { X }
)  /\  y  =  ( x `  X
) )  ->  (
y  e.  B  /\  x  =  ( { X }  X.  { y } ) ) )
17 fconst6g 5591 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  ( { X }  X.  {
y } ) : { X } --> B )
18 snex 4365 . . . . . . . . . 10  |-  { X }  e.  _V
197, 18elmap 7001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { X }  X.  { y } )  e.  ( B  ^m  { X } )  <->  ( { X }  X.  { y } ) : { X } --> B )
2017, 19sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  ( { X }  X.  {
y } )  e.  ( B  ^m  { X } ) )
21 vex 2919 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
2221fvconst2 5906 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  { X }  ->  ( ( { X }  X.  { y } ) `  X )  =  y )
233, 22mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  (
( { X }  X.  { y } ) `
 X )  =  y )
2423eqcomd 2409 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  y  =  ( ( { X }  X.  {
y } ) `  X ) )
2520, 24jca 519 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  ->  (
( { X }  X.  { y } )  e.  ( B  ^m  { X } )  /\  y  =  ( ( { X }  X.  {
y } ) `  X ) ) )
26 eleq1 2464 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( { X }  X.  { y } )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  { X } )  <->  ( { X }  X.  { y } )  e.  ( B  ^m  { X } ) ) )
27 fveq1 5686 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( { X }  X.  { y } )  ->  ( x `  X )  =  ( ( { X }  X.  { y } ) `
 X ) )
2827eqeq2d 2415 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( { X }  X.  { y } )  ->  ( y  =  ( x `  X )  <->  y  =  ( ( { X }  X.  { y } ) `  X ) ) )
2926, 28anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( { X }  X.  { y } )  ->  ( (
x  e.  ( B  ^m  { X }
)  /\  y  =  ( x `  X
) )  <->  ( ( { X }  X.  {
y } )  e.  ( B  ^m  { X } )  /\  y  =  ( ( { X }  X.  {
y } ) `  X ) ) ) )
3025, 29syl5ibrcom 214 . . . . . 6  |-  ( y  e.  B  ->  (
x  =  ( { X }  X.  {
y } )  -> 
( x  e.  ( B  ^m  { X } )  /\  y  =  ( x `  X ) ) ) )
3130imp 419 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  =  ( { X }  X.  { y } ) )  -> 
( x  e.  ( B  ^m  { X } )  /\  y  =  ( x `  X ) ) )
3216, 31impbii 181 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  { X }
)  /\  y  =  ( x `  X
) )  <->  ( y  e.  B  /\  x  =  ( { X }  X.  { y } ) ) )
33 mapsncnv.s . . . . . . 7  |-  S  =  { X }
3433oveq2i 6051 . . . . . 6  |-  ( B  ^m  S )  =  ( B  ^m  { X } )
3534eleq2i 2468 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( B  ^m  S )  <->  x  e.  ( B  ^m  { X } ) )
3635anbi1i 677 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  S )  /\  y  =  ( x `  X ) )  <->  ( x  e.  ( B  ^m  { X } )  /\  y  =  ( x `  X ) ) )
3733xpeq1i 4857 . . . . . 6  |-  ( S  X.  { y } )  =  ( { X }  X.  {
y } )
3837eqeq2i 2414 . . . . 5  |-  ( x  =  ( S  X.  { y } )  <-> 
x  =  ( { X }  X.  {
y } ) )
3938anbi2i 676 . . . 4  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  =  ( S  X.  { y } ) )  <->  ( y  e.  B  /\  x  =  ( { X }  X.  { y } ) ) )
4032, 36, 393bitr4i 269 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  S )  /\  y  =  ( x `  X ) )  <->  ( y  e.  B  /\  x  =  ( S  X.  { y } ) ) )
4140opabbii 4232 . 2  |-  { <. y ,  x >.  |  ( x  e.  ( B  ^m  S )  /\  y  =  ( x `  X ) ) }  =  { <. y ,  x >.  |  (
y  e.  B  /\  x  =  ( S  X.  { y } ) ) }
42 mapsncnv.f . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  ( B  ^m  S ) 
|->  ( x `  X
) )
43 df-mpt 4228 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( B  ^m  S )  |->  ( x `
 X ) )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  ( B  ^m  S )  /\  y  =  ( x `  X ) ) }
4442, 43eqtri 2424 . . . 4  |-  F  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  ( B  ^m  S
)  /\  y  =  ( x `  X
) ) }
4544cnveqi 5006 . . 3  |-  `' F  =  `' { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  ( B  ^m  S
)  /\  y  =  ( x `  X
) ) }
46 cnvopab 5233 . . 3  |-  `' { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  ( B  ^m  S
)  /\  y  =  ( x `  X
) ) }  =  { <. y ,  x >.  |  ( x  e.  ( B  ^m  S
)  /\  y  =  ( x `  X
) ) }
4745, 46eqtri 2424 . 2  |-  `' F  =  { <. y ,  x >.  |  ( x  e.  ( B  ^m  S
)  /\  y  =  ( x `  X
) ) }
48 df-mpt 4228 . 2  |-  ( y  e.  B  |->  ( S  X.  { y } ) )  =  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  B  /\  x  =  ( S  X.  { y } ) ) }
4941, 47, 483eqtr4i 2434 1  |-  `' F  =  ( y  e.  B  |->  ( S  X.  { y } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   {csn 3774   {copab 4225    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^m cmap 6977
This theorem is referenced by:  mapsnf1o2  7020  mapsnf1o3  7021  coe1sfi  16565  evl1var  19905  pf1mpf  19925  pf1ind  19928  deg1val  19972
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-map 6979
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