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Theorem mapsncnv 7264
Description: Expression for the inverse of the canonical map between a set and its set of singleton functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapsncnv.s  |-  S  =  { X }
mapsncnv.b  |-  B  e. 
_V
mapsncnv.x  |-  X  e. 
_V
mapsncnv.f  |-  F  =  ( x  e.  ( B  ^m  S ) 
|->  ( x `  X
) )
Assertion
Ref Expression
mapsncnv  |-  `' F  =  ( y  e.  B  |->  ( S  X.  { y } ) )
Distinct variable groups:    x, B, y    x, S, y    y, X
Allowed substitution hints:    F( x, y)    X( x)

Proof of Theorem mapsncnv
StepHypRef Expression
1 elmapi 7239 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( B  ^m  { X } )  ->  x : { X } --> B )
2 mapsncnv.x . . . . . . . . . 10  |-  X  e. 
_V
32snid 3910 . . . . . . . . 9  |-  X  e. 
{ X }
4 ffvelrn 5846 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x : { X }
--> B  /\  X  e. 
{ X } )  ->  ( x `  X )  e.  B
)
51, 3, 4sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( B  ^m  { X } )  -> 
( x `  X
)  e.  B )
6 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  { X }  =  { X }
7 mapsncnv.b . . . . . . . . 9  |-  B  e. 
_V
86, 7, 2mapsnconst 7263 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( B  ^m  { X } )  ->  x  =  ( { X }  X.  { ( x `  X ) } ) )
95, 8jca 532 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( B  ^m  { X } )  -> 
( ( x `  X )  e.  B  /\  x  =  ( { X }  X.  {
( x `  X
) } ) ) )
10 eleq1 2503 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( x `  X )  ->  (
y  e.  B  <->  ( x `  X )  e.  B
) )
11 sneq 3892 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( x `  X )  ->  { y }  =  { ( x `  X ) } )
1211xpeq2d 4869 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( x `  X )  ->  ( { X }  X.  {
y } )  =  ( { X }  X.  { ( x `  X ) } ) )
1312eqeq2d 2454 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( x `  X )  ->  (
x  =  ( { X }  X.  {
y } )  <->  x  =  ( { X }  X.  { ( x `  X ) } ) ) )
1410, 13anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( x `  X )  ->  (
( y  e.  B  /\  x  =  ( { X }  X.  {
y } ) )  <-> 
( ( x `  X )  e.  B  /\  x  =  ( { X }  X.  {
( x `  X
) } ) ) ) )
159, 14syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( B  ^m  { X } )  -> 
( y  =  ( x `  X )  ->  ( y  e.  B  /\  x  =  ( { X }  X.  { y } ) ) ) )
1615imp 429 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  { X }
)  /\  y  =  ( x `  X
) )  ->  (
y  e.  B  /\  x  =  ( { X }  X.  { y } ) ) )
17 fconst6g 5604 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  ( { X }  X.  {
y } ) : { X } --> B )
18 snex 4538 . . . . . . . . . 10  |-  { X }  e.  _V
197, 18elmap 7246 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { X }  X.  { y } )  e.  ( B  ^m  { X } )  <->  ( { X }  X.  { y } ) : { X } --> B )
2017, 19sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  ( { X }  X.  {
y } )  e.  ( B  ^m  { X } ) )
21 vex 2980 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
2221fvconst2 5938 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  { X }  ->  ( ( { X }  X.  { y } ) `  X )  =  y )
233, 22mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  (
( { X }  X.  { y } ) `
 X )  =  y )
2423eqcomd 2448 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  y  =  ( ( { X }  X.  {
y } ) `  X ) )
2520, 24jca 532 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  ->  (
( { X }  X.  { y } )  e.  ( B  ^m  { X } )  /\  y  =  ( ( { X }  X.  {
y } ) `  X ) ) )
26 eleq1 2503 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( { X }  X.  { y } )  ->  ( x  e.  ( B  ^m  { X } )  <->  ( { X }  X.  { y } )  e.  ( B  ^m  { X } ) ) )
27 fveq1 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( { X }  X.  { y } )  ->  ( x `  X )  =  ( ( { X }  X.  { y } ) `
 X ) )
2827eqeq2d 2454 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( { X }  X.  { y } )  ->  ( y  =  ( x `  X )  <->  y  =  ( ( { X }  X.  { y } ) `  X ) ) )
2926, 28anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( { X }  X.  { y } )  ->  ( (
x  e.  ( B  ^m  { X }
)  /\  y  =  ( x `  X
) )  <->  ( ( { X }  X.  {
y } )  e.  ( B  ^m  { X } )  /\  y  =  ( ( { X }  X.  {
y } ) `  X ) ) ) )
3025, 29syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( y  e.  B  ->  (
x  =  ( { X }  X.  {
y } )  -> 
( x  e.  ( B  ^m  { X } )  /\  y  =  ( x `  X ) ) ) )
3130imp 429 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  =  ( { X }  X.  { y } ) )  -> 
( x  e.  ( B  ^m  { X } )  /\  y  =  ( x `  X ) ) )
3216, 31impbii 188 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  { X }
)  /\  y  =  ( x `  X
) )  <->  ( y  e.  B  /\  x  =  ( { X }  X.  { y } ) ) )
33 mapsncnv.s . . . . . . 7  |-  S  =  { X }
3433oveq2i 6107 . . . . . 6  |-  ( B  ^m  S )  =  ( B  ^m  { X } )
3534eleq2i 2507 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( B  ^m  S )  <->  x  e.  ( B  ^m  { X } ) )
3635anbi1i 695 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  S )  /\  y  =  ( x `  X ) )  <->  ( x  e.  ( B  ^m  { X } )  /\  y  =  ( x `  X ) ) )
3733xpeq1i 4865 . . . . . 6  |-  ( S  X.  { y } )  =  ( { X }  X.  {
y } )
3837eqeq2i 2453 . . . . 5  |-  ( x  =  ( S  X.  { y } )  <-> 
x  =  ( { X }  X.  {
y } ) )
3938anbi2i 694 . . . 4  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  =  ( S  X.  { y } ) )  <->  ( y  e.  B  /\  x  =  ( { X }  X.  { y } ) ) )
4032, 36, 393bitr4i 277 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( B  ^m  S )  /\  y  =  ( x `  X ) )  <->  ( y  e.  B  /\  x  =  ( S  X.  { y } ) ) )
4140opabbii 4361 . 2  |-  { <. y ,  x >.  |  ( x  e.  ( B  ^m  S )  /\  y  =  ( x `  X ) ) }  =  { <. y ,  x >.  |  (
y  e.  B  /\  x  =  ( S  X.  { y } ) ) }
42 mapsncnv.f . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  ( B  ^m  S ) 
|->  ( x `  X
) )
43 df-mpt 4357 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( B  ^m  S )  |->  ( x `
 X ) )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  ( B  ^m  S )  /\  y  =  ( x `  X ) ) }
4442, 43eqtri 2463 . . . 4  |-  F  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  ( B  ^m  S
)  /\  y  =  ( x `  X
) ) }
4544cnveqi 5019 . . 3  |-  `' F  =  `' { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  ( B  ^m  S
)  /\  y  =  ( x `  X
) ) }
46 cnvopab 5243 . . 3  |-  `' { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  ( B  ^m  S
)  /\  y  =  ( x `  X
) ) }  =  { <. y ,  x >.  |  ( x  e.  ( B  ^m  S
)  /\  y  =  ( x `  X
) ) }
4745, 46eqtri 2463 . 2  |-  `' F  =  { <. y ,  x >.  |  ( x  e.  ( B  ^m  S
)  /\  y  =  ( x `  X
) ) }
48 df-mpt 4357 . 2  |-  ( y  e.  B  |->  ( S  X.  { y } ) )  =  { <. y ,  x >.  |  ( y  e.  B  /\  x  =  ( S  X.  { y } ) ) }
4941, 47, 483eqtr4i 2473 1  |-  `' F  =  ( y  e.  B  |->  ( S  X.  { y } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2977   {csn 3882   {copab 4354    e. cmpt 4355    X. cxp 4843   `'ccnv 4844   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    ^m cmap 7219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-map 7221
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