MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mappsrpr Structured version   Unicode version

Theorem mappsrpr 9362
Description: Mapping from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
mappsrpr.2  |-  C  e. 
R.
Assertion
Ref Expression
mappsrpr  |-  ( ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  )  <->  A  e.  P. )

Proof of Theorem mappsrpr
StepHypRef Expression
1 df-m1r 9320 . . . 4  |-  -1R  =  [ <. 1P ,  ( 1P  +P.  1P )
>. ]  ~R
21breq1i 4383 . . 3  |-  ( -1R 
<R  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  <->  [ <. 1P , 
( 1P  +P.  1P ) >. ]  ~R  <R  [
<. A ,  1P >. ]  ~R  )
3 ltsrpr 9331 . . 3  |-  ( [
<. 1P ,  ( 1P 
+P.  1P ) >. ]  ~R  <R  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  <->  ( 1P  +P.  1P )  <P  (
( 1P  +P.  1P )  +P.  A ) )
42, 3bitri 249 . 2  |-  ( -1R 
<R  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  <->  ( 1P  +P.  1P )  <P  (
( 1P  +P.  1P )  +P.  A ) )
5 mappsrpr.2 . . 3  |-  C  e. 
R.
6 ltasr 9354 . . 3  |-  ( C  e.  R.  ->  ( -1R  <R  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  <->  ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  )
) )
75, 6ax-mp 5 . 2  |-  ( -1R 
<R  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  <->  ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  )
)
8 ltrelpr 9254 . . . . . 6  |-  <P  C_  ( P.  X.  P. )
98brel 4971 . . . . 5  |-  ( ( 1P  +P.  1P ) 
<P  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  A )  ->  ( ( 1P 
+P.  1P )  e.  P.  /\  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  A )  e.  P. ) )
109simprd 463 . . . 4  |-  ( ( 1P  +P.  1P ) 
<P  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  A )  ->  ( ( 1P 
+P.  1P )  +P.  A
)  e.  P. )
11 dmplp 9268 . . . . . 6  |-  dom  +P.  =  ( P.  X.  P. )
12 0npr 9248 . . . . . 6  |-  -.  (/)  e.  P.
1311, 12ndmovrcl 6335 . . . . 5  |-  ( ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  A )  e. 
P.  ->  ( ( 1P 
+P.  1P )  e.  P.  /\  A  e.  P. )
)
1413simprd 463 . . . 4  |-  ( ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  A )  e. 
P.  ->  A  e.  P. )
1510, 14syl 16 . . 3  |-  ( ( 1P  +P.  1P ) 
<P  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  A )  ->  A  e.  P. )
16 1pr 9271 . . . . 5  |-  1P  e.  P.
17 addclpr 9274 . . . . 5  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  -> 
( 1P  +P.  1P )  e.  P. )
1816, 16, 17mp2an 672 . . . 4  |-  ( 1P 
+P.  1P )  e.  P.
19 ltaddpr 9290 . . . 4  |-  ( ( ( 1P  +P.  1P )  e.  P.  /\  A  e.  P. )  ->  ( 1P  +P.  1P )  <P 
( ( 1P  +P.  1P )  +P.  A ) )
2018, 19mpan 670 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  ( 1P  +P.  1P )  <P 
( ( 1P  +P.  1P )  +P.  A ) )
2115, 20impbii 188 . 2  |-  ( ( 1P  +P.  1P ) 
<P  ( ( 1P  +P.  1P )  +P.  A )  <-> 
A  e.  P. )
224, 7, 213bitr3i 275 1  |-  ( ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  )  <->  A  e.  P. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    e. wcel 1757   <.cop 3967   class class class wbr 4376  (class class class)co 6176   [cec 7185   P.cnp 9113   1Pc1p 9114    +P. cpp 9115    <P cltp 9117    ~R cer 9120   R.cnr 9121   -1Rcm1r 9124    +R cplr 9125    <R cltr 9127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-inf2 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-oadd 7010  df-omul 7011  df-er 7187  df-ec 7189  df-qs 7193  df-ni 9128  df-pli 9129  df-mi 9130  df-lti 9131  df-plpq 9164  df-mpq 9165  df-ltpq 9166  df-enq 9167  df-nq 9168  df-erq 9169  df-plq 9170  df-mq 9171  df-1nq 9172  df-rq 9173  df-ltnq 9174  df-np 9237  df-1p 9238  df-plp 9239  df-ltp 9241  df-plpr 9311  df-enr 9313  df-nr 9314  df-plr 9315  df-ltr 9317  df-m1r 9320
This theorem is referenced by:  map2psrpr  9364  supsrlem  9365
  Copyright terms: Public domain W3C validator