Theorem mappow 14413

Description: A mapping is a member of the powerset of the cross product of its domain and codomain.

Assertion

Ref	Expression
mappow	|- ((A e. R /\ B e. S) -> (F:A-->B -> F e. ~P(A X. B)))

Proof of Theorem mappow

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapg 5392	. . 3 |- ((B e. S /\ A e. R) -> (F e. (B ^m A) <-> F:A-->B))
2	1	ancoms 484	. 2 |- ((A e. R /\ B e. S) -> (F e. (B ^m A) <-> F:A-->B))
3		mapsspw 5400	. . . 4 |- (A e. R -> (B ^m A) C_ ~P(A X. B))
4	3	adantr 425	. . 3 |- ((A e. R /\ B e. S) -> (B ^m A) C_ ~P(A X. B))
5	4	sseld 2619	. 2 |- ((A e. R /\ B e. S) -> (F e. (B ^m A) -> F e. ~P(A X. B)))
6	2, 5	sylbird 222	1 |- ((A e. R /\ B e. S) -> (F:A-->B -> F e. ~P(A X. B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032   X. cxp 3984  -->wf 3994  (class class class)co 4884   ^m cmap 5381

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-map 5383

Copyright terms: Public domain