Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapfzcons2 Structured version   Unicode version

Theorem mapfzcons2 29226
Description: Recover added element from an extended mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mapfzcons.1  |-  M  =  ( N  +  1 )
Assertion
Ref Expression
mapfzcons2  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  B )  ->  ( ( A  u.  {
<. M ,  C >. } ) `  M )  =  C )

Proof of Theorem mapfzcons2
StepHypRef Expression
1 mapfzcons.1 . . . 4  |-  M  =  ( N  +  1 )
2 ovex 6228 . . . 4  |-  ( N  +  1 )  e. 
_V
31, 2eqeltri 2538 . . 3  |-  M  e. 
_V
43a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  B )  ->  M  e.  _V )
5 elex 3087 . . 3  |-  ( C  e.  B  ->  C  e.  _V )
65adantl 466 . 2  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  B )  ->  C  e.  _V )
7 elmapi 7347 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  A : ( 1 ... N ) --> B )
8 fdm 5674 . . . . . . 7  |-  ( A : ( 1 ... N ) --> B  ->  dom  A  =  ( 1 ... N ) )
97, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  dom  A  =  ( 1 ... N ) )
109adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  B )  ->  dom  A  =  ( 1 ... N ) )
1110ineq1d 3662 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  B )  ->  ( dom  A  i^i  { M } )  =  ( ( 1 ... N )  i^i  { M } ) )
121sneqi 3999 . . . . . 6  |-  { M }  =  { ( N  +  1 ) }
1312ineq2i 3660 . . . . 5  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  { M }
)  =  ( ( 1 ... N )  i^i  { ( N  +  1 ) } )
14 fzp1disj 11636 . . . . 5  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  { ( N  +  1 ) } )  =  (/)
1513, 14eqtri 2483 . . . 4  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  { M }
)  =  (/)
1611, 15syl6eq 2511 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  B )  ->  ( dom  A  i^i  { M } )  =  (/) )
17 disjsn 4047 . . 3  |-  ( ( dom  A  i^i  { M } )  =  (/)  <->  -.  M  e.  dom  A )
1816, 17sylib 196 . 2  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  B )  ->  -.  M  e.  dom  A )
19 fsnunfv 6030 . 2  |-  ( ( M  e.  _V  /\  C  e.  _V  /\  -.  M  e.  dom  A )  ->  ( ( A  u.  { <. M ,  C >. } ) `  M )  =  C )
204, 6, 18, 19syl3anc 1219 1  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  B )  ->  ( ( A  u.  {
<. M ,  C >. } ) `  M )  =  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    u. cun 3437    i^i cin 3438   (/)c0 3748   {csn 3988   <.cop 3994   dom cdm 4951   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    ^m cmap 7327   1c1 9398    + caddc 9400   ...cfz 11558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559
This theorem is referenced by:  rexrabdioph  29303
  Copyright terms: Public domain W3C validator