Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapfzcons2 Structured version   Unicode version

Theorem mapfzcons2 34993
Description: Recover added element from an extended mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mapfzcons.1  |-  M  =  ( N  +  1 )
Assertion
Ref Expression
mapfzcons2  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  B )  ->  ( ( A  u.  {
<. M ,  C >. } ) `  M )  =  C )

Proof of Theorem mapfzcons2
StepHypRef Expression
1 mapfzcons.1 . . . 4  |-  M  =  ( N  +  1 )
2 ovex 6305 . . . 4  |-  ( N  +  1 )  e. 
_V
31, 2eqeltri 2486 . . 3  |-  M  e. 
_V
43a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  B )  ->  M  e.  _V )
5 elex 3067 . . 3  |-  ( C  e.  B  ->  C  e.  _V )
65adantl 464 . 2  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  B )  ->  C  e.  _V )
7 elmapi 7477 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  A : ( 1 ... N ) --> B )
8 fdm 5717 . . . . . . 7  |-  ( A : ( 1 ... N ) --> B  ->  dom  A  =  ( 1 ... N ) )
97, 8syl 17 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  dom  A  =  ( 1 ... N ) )
109adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  B )  ->  dom  A  =  ( 1 ... N ) )
1110ineq1d 3639 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  B )  ->  ( dom  A  i^i  { M } )  =  ( ( 1 ... N )  i^i  { M } ) )
121sneqi 3982 . . . . . 6  |-  { M }  =  { ( N  +  1 ) }
1312ineq2i 3637 . . . . 5  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  { M }
)  =  ( ( 1 ... N )  i^i  { ( N  +  1 ) } )
14 fzp1disj 11791 . . . . 5  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  { ( N  +  1 ) } )  =  (/)
1513, 14eqtri 2431 . . . 4  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  { M }
)  =  (/)
1611, 15syl6eq 2459 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  B )  ->  ( dom  A  i^i  { M } )  =  (/) )
17 disjsn 4031 . . 3  |-  ( ( dom  A  i^i  { M } )  =  (/)  <->  -.  M  e.  dom  A )
1816, 17sylib 196 . 2  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  B )  ->  -.  M  e.  dom  A )
19 fsnunfv 6090 . 2  |-  ( ( M  e.  _V  /\  C  e.  _V  /\  -.  M  e.  dom  A )  ->  ( ( A  u.  { <. M ,  C >. } ) `  M )  =  C )
204, 6, 18, 19syl3anc 1230 1  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  B )  ->  ( ( A  u.  {
<. M ,  C >. } ) `  M )  =  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058    u. cun 3411    i^i cin 3412   (/)c0 3737   {csn 3971   <.cop 3977   dom cdm 4822   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    ^m cmap 7456   1c1 9522    + caddc 9524   ...cfz 11724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725
This theorem is referenced by:  rexrabdioph  35069
  Copyright terms: Public domain W3C validator