Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapfzcons2 Structured version   Unicode version

Theorem mapfzcons2 28964
Description: Recover added element from an extended mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mapfzcons.1  |-  M  =  ( N  +  1 )
Assertion
Ref Expression
mapfzcons2  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  B )  ->  ( ( A  u.  {
<. M ,  C >. } ) `  M )  =  C )

Proof of Theorem mapfzcons2
StepHypRef Expression
1 mapfzcons.1 . . . 4  |-  M  =  ( N  +  1 )
2 ovex 6115 . . . 4  |-  ( N  +  1 )  e. 
_V
31, 2eqeltri 2511 . . 3  |-  M  e. 
_V
43a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  B )  ->  M  e.  _V )
5 elex 2979 . . 3  |-  ( C  e.  B  ->  C  e.  _V )
65adantl 463 . 2  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  B )  ->  C  e.  _V )
7 elmapi 7230 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  A : ( 1 ... N ) --> B )
8 fdm 5560 . . . . . . 7  |-  ( A : ( 1 ... N ) --> B  ->  dom  A  =  ( 1 ... N ) )
97, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  dom  A  =  ( 1 ... N ) )
109adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  B )  ->  dom  A  =  ( 1 ... N ) )
1110ineq1d 3548 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  B )  ->  ( dom  A  i^i  { M } )  =  ( ( 1 ... N )  i^i  { M } ) )
121sneqi 3885 . . . . . 6  |-  { M }  =  { ( N  +  1 ) }
1312ineq2i 3546 . . . . 5  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  { M }
)  =  ( ( 1 ... N )  i^i  { ( N  +  1 ) } )
14 fzp1disj 11511 . . . . 5  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  { ( N  +  1 ) } )  =  (/)
1513, 14eqtri 2461 . . . 4  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  { M }
)  =  (/)
1611, 15syl6eq 2489 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  B )  ->  ( dom  A  i^i  { M } )  =  (/) )
17 disjsn 3933 . . 3  |-  ( ( dom  A  i^i  { M } )  =  (/)  <->  -.  M  e.  dom  A )
1816, 17sylib 196 . 2  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  B )  ->  -.  M  e.  dom  A )
19 fsnunfv 5915 . 2  |-  ( ( M  e.  _V  /\  C  e.  _V  /\  -.  M  e.  dom  A )  ->  ( ( A  u.  { <. M ,  C >. } ) `  M )  =  C )
204, 6, 18, 19syl3anc 1213 1  |-  ( ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N ) )  /\  C  e.  B )  ->  ( ( A  u.  {
<. M ,  C >. } ) `  M )  =  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   _Vcvv 2970    u. cun 3323    i^i cin 3324   (/)c0 3634   {csn 3874   <.cop 3880   dom cdm 4836   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    ^m cmap 7210   1c1 9279    + caddc 9281   ...cfz 11433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434
This theorem is referenced by:  rexrabdioph  29041
  Copyright terms: Public domain W3C validator