Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapfzcons1 Structured version   Unicode version

Theorem mapfzcons1 35471
Description: Recover prefix mapping from an extended mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mapfzcons.1  |-  M  =  ( N  +  1 )
Assertion
Ref Expression
mapfzcons1  |-  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
( A  u.  { <. M ,  C >. } )  |`  ( 1 ... N ) )  =  A )

Proof of Theorem mapfzcons1
StepHypRef Expression
1 elmapi 7448 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  A : ( 1 ... N ) --> B )
2 ffn 5689 . . . 4  |-  ( A : ( 1 ... N ) --> B  ->  A  Fn  ( 1 ... N ) )
3 fnresdm 5646 . . . 4  |-  ( A  Fn  ( 1 ... N )  ->  ( A  |`  ( 1 ... N ) )  =  A )
41, 2, 33syl 18 . . 3  |-  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  ( A  |`  ( 1 ... N ) )  =  A )
54uneq1d 3562 . 2  |-  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
( A  |`  (
1 ... N ) )  u.  ( { <. M ,  C >. }  |`  (
1 ... N ) ) )  =  ( A  u.  ( { <. M ,  C >. }  |`  (
1 ... N ) ) ) )
6 resundir 5081 . 2  |-  ( ( A  u.  { <. M ,  C >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( ( A  |`  (
1 ... N ) )  u.  ( { <. M ,  C >. }  |`  (
1 ... N ) ) )
7 dmres 5087 . . . . . 6  |-  dom  ( { <. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( ( 1 ... N )  i^i 
dom  { <. M ,  C >. } )
8 dmsnopss 5270 . . . . . . . . 9  |-  dom  { <. M ,  C >. } 
C_  { M }
9 mapfzcons.1 . . . . . . . . . 10  |-  M  =  ( N  +  1 )
109sneqi 3952 . . . . . . . . 9  |-  { M }  =  { ( N  +  1 ) }
118, 10sseqtri 3439 . . . . . . . 8  |-  dom  { <. M ,  C >. } 
C_  { ( N  +  1 ) }
12 sslin 3631 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
{ <. M ,  C >. }  C_  { ( N  +  1 ) }  ->  ( (
1 ... N )  i^i 
dom  { <. M ,  C >. } )  C_  (
( 1 ... N
)  i^i  { ( N  +  1 ) } ) )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  dom  { <. M ,  C >. } )  C_  ( ( 1 ... N )  i^i  {
( N  +  1 ) } )
14 fzp1disj 11805 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  { ( N  +  1 ) } )  =  (/)
15 sseq0 3739 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1 ... N )  i^i  dom  {
<. M ,  C >. } )  C_  ( (
1 ... N )  i^i 
{ ( N  + 
1 ) } )  /\  ( ( 1 ... N )  i^i 
{ ( N  + 
1 ) } )  =  (/) )  ->  (
( 1 ... N
)  i^i  dom  { <. M ,  C >. } )  =  (/) )
1613, 14, 15mp2an 676 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  dom  { <. M ,  C >. } )  =  (/)
177, 16eqtri 2450 . . . . 5  |-  dom  ( { <. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N ) )  =  (/)
18 relres 5094 . . . . . 6  |-  Rel  ( { <. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N ) )
19 reldm0 5014 . . . . . 6  |-  ( Rel  ( { <. M ,  C >. }  |`  (
1 ... N ) )  ->  ( ( {
<. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/)  <->  dom  ( { <. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N ) )  =  (/) ) )
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( { <. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N ) )  =  (/)  <->  dom  ( { <. M ,  C >. }  |`  (
1 ... N ) )  =  (/) )
2117, 20mpbir 212 . . . 4  |-  ( {
<. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/)
2221uneq2i 3560 . . 3  |-  ( A  u.  ( { <. M ,  C >. }  |`  (
1 ... N ) ) )  =  ( A  u.  (/) )
23 un0 3732 . . 3  |-  ( A  u.  (/) )  =  A
2422, 23eqtr2i 2451 . 2  |-  A  =  ( A  u.  ( { <. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N ) ) )
255, 6, 243eqtr4g 2487 1  |-  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
( A  u.  { <. M ,  C >. } )  |`  ( 1 ... N ) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    = wceq 1437    e. wcel 1872    u. cun 3377    i^i cin 3378    C_ wss 3379   (/)c0 3704   {csn 3941   <.cop 3947   dom cdm 4796    |` cres 4798   Rel wrel 4801    Fn wfn 5539   -->wf 5540  (class class class)co 6249    ^m cmap 7427   1c1 9491    + caddc 9493   ...cfz 11735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-er 7318  df-map 7429  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-z 10889  df-uz 11111  df-fz 11736
This theorem is referenced by:  rexrabdioph  35549
  Copyright terms: Public domain W3C validator