Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapfzcons1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mapfzcons1 35630
Description: Recover prefix mapping from an extended mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mapfzcons.1  |-  M  =  ( N  +  1 )
Assertion
Ref Expression
mapfzcons1  |-  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
( A  u.  { <. M ,  C >. } )  |`  ( 1 ... N ) )  =  A )

Proof of Theorem mapfzcons1
StepHypRef Expression
1 elmapi 7511 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  A : ( 1 ... N ) --> B )
2 ffn 5739 . . . 4  |-  ( A : ( 1 ... N ) --> B  ->  A  Fn  ( 1 ... N ) )
3 fnresdm 5695 . . . 4  |-  ( A  Fn  ( 1 ... N )  ->  ( A  |`  ( 1 ... N ) )  =  A )
41, 2, 33syl 18 . . 3  |-  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  ( A  |`  ( 1 ... N ) )  =  A )
54uneq1d 3578 . 2  |-  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
( A  |`  (
1 ... N ) )  u.  ( { <. M ,  C >. }  |`  (
1 ... N ) ) )  =  ( A  u.  ( { <. M ,  C >. }  |`  (
1 ... N ) ) ) )
6 resundir 5125 . 2  |-  ( ( A  u.  { <. M ,  C >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( ( A  |`  (
1 ... N ) )  u.  ( { <. M ,  C >. }  |`  (
1 ... N ) ) )
7 dmres 5131 . . . . . 6  |-  dom  ( { <. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( ( 1 ... N )  i^i 
dom  { <. M ,  C >. } )
8 dmsnopss 5315 . . . . . . . . 9  |-  dom  { <. M ,  C >. } 
C_  { M }
9 mapfzcons.1 . . . . . . . . . 10  |-  M  =  ( N  +  1 )
109sneqi 3970 . . . . . . . . 9  |-  { M }  =  { ( N  +  1 ) }
118, 10sseqtri 3450 . . . . . . . 8  |-  dom  { <. M ,  C >. } 
C_  { ( N  +  1 ) }
12 sslin 3649 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
{ <. M ,  C >. }  C_  { ( N  +  1 ) }  ->  ( (
1 ... N )  i^i 
dom  { <. M ,  C >. } )  C_  (
( 1 ... N
)  i^i  { ( N  +  1 ) } ) )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  dom  { <. M ,  C >. } )  C_  ( ( 1 ... N )  i^i  {
( N  +  1 ) } )
14 fzp1disj 11880 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  { ( N  +  1 ) } )  =  (/)
15 sseq0 3769 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1 ... N )  i^i  dom  {
<. M ,  C >. } )  C_  ( (
1 ... N )  i^i 
{ ( N  + 
1 ) } )  /\  ( ( 1 ... N )  i^i 
{ ( N  + 
1 ) } )  =  (/) )  ->  (
( 1 ... N
)  i^i  dom  { <. M ,  C >. } )  =  (/) )
1613, 14, 15mp2an 686 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  dom  { <. M ,  C >. } )  =  (/)
177, 16eqtri 2493 . . . . 5  |-  dom  ( { <. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N ) )  =  (/)
18 relres 5138 . . . . . 6  |-  Rel  ( { <. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N ) )
19 reldm0 5058 . . . . . 6  |-  ( Rel  ( { <. M ,  C >. }  |`  (
1 ... N ) )  ->  ( ( {
<. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/)  <->  dom  ( { <. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N ) )  =  (/) ) )
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( { <. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N ) )  =  (/)  <->  dom  ( { <. M ,  C >. }  |`  (
1 ... N ) )  =  (/) )
2117, 20mpbir 214 . . . 4  |-  ( {
<. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/)
2221uneq2i 3576 . . 3  |-  ( A  u.  ( { <. M ,  C >. }  |`  (
1 ... N ) ) )  =  ( A  u.  (/) )
23 un0 3762 . . 3  |-  ( A  u.  (/) )  =  A
2422, 23eqtr2i 2494 . 2  |-  A  =  ( A  u.  ( { <. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N ) ) )
255, 6, 243eqtr4g 2530 1  |-  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
( A  u.  { <. M ,  C >. } )  |`  ( 1 ... N ) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    = wceq 1452    e. wcel 1904    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   <.cop 3965   dom cdm 4839    |` cres 4841   Rel wrel 4844    Fn wfn 5584   -->wf 5585  (class class class)co 6308    ^m cmap 7490   1c1 9558    + caddc 9560   ...cfz 11810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811
This theorem is referenced by:  rexrabdioph  35708
  Copyright terms: Public domain W3C validator