Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapfzcons1 Structured version   Unicode version

Theorem mapfzcons1 30889
Description: Recover prefix mapping from an extended mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mapfzcons.1  |-  M  =  ( N  +  1 )
Assertion
Ref Expression
mapfzcons1  |-  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
( A  u.  { <. M ,  C >. } )  |`  ( 1 ... N ) )  =  A )

Proof of Theorem mapfzcons1
StepHypRef Expression
1 elmapi 7433 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  A : ( 1 ... N ) --> B )
2 ffn 5713 . . . 4  |-  ( A : ( 1 ... N ) --> B  ->  A  Fn  ( 1 ... N ) )
3 fnresdm 5672 . . . 4  |-  ( A  Fn  ( 1 ... N )  ->  ( A  |`  ( 1 ... N ) )  =  A )
41, 2, 33syl 20 . . 3  |-  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  ( A  |`  ( 1 ... N ) )  =  A )
54uneq1d 3643 . 2  |-  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
( A  |`  (
1 ... N ) )  u.  ( { <. M ,  C >. }  |`  (
1 ... N ) ) )  =  ( A  u.  ( { <. M ,  C >. }  |`  (
1 ... N ) ) ) )
6 resundir 5276 . 2  |-  ( ( A  u.  { <. M ,  C >. } )  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( ( A  |`  (
1 ... N ) )  u.  ( { <. M ,  C >. }  |`  (
1 ... N ) ) )
7 dmres 5282 . . . . . 6  |-  dom  ( { <. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( ( 1 ... N )  i^i 
dom  { <. M ,  C >. } )
8 dmsnopss 5463 . . . . . . . . 9  |-  dom  { <. M ,  C >. } 
C_  { M }
9 mapfzcons.1 . . . . . . . . . 10  |-  M  =  ( N  +  1 )
109sneqi 4027 . . . . . . . . 9  |-  { M }  =  { ( N  +  1 ) }
118, 10sseqtri 3521 . . . . . . . 8  |-  dom  { <. M ,  C >. } 
C_  { ( N  +  1 ) }
12 sslin 3710 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
{ <. M ,  C >. }  C_  { ( N  +  1 ) }  ->  ( (
1 ... N )  i^i 
dom  { <. M ,  C >. } )  C_  (
( 1 ... N
)  i^i  { ( N  +  1 ) } ) )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  dom  { <. M ,  C >. } )  C_  ( ( 1 ... N )  i^i  {
( N  +  1 ) } )
14 fzp1disj 11742 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  { ( N  +  1 ) } )  =  (/)
15 sseq0 3816 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1 ... N )  i^i  dom  {
<. M ,  C >. } )  C_  ( (
1 ... N )  i^i 
{ ( N  + 
1 ) } )  /\  ( ( 1 ... N )  i^i 
{ ( N  + 
1 ) } )  =  (/) )  ->  (
( 1 ... N
)  i^i  dom  { <. M ,  C >. } )  =  (/) )
1613, 14, 15mp2an 670 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  dom  { <. M ,  C >. } )  =  (/)
177, 16eqtri 2483 . . . . 5  |-  dom  ( { <. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N ) )  =  (/)
18 relres 5289 . . . . . 6  |-  Rel  ( { <. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N ) )
19 reldm0 5209 . . . . . 6  |-  ( Rel  ( { <. M ,  C >. }  |`  (
1 ... N ) )  ->  ( ( {
<. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/)  <->  dom  ( { <. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N ) )  =  (/) ) )
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( { <. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N ) )  =  (/)  <->  dom  ( { <. M ,  C >. }  |`  (
1 ... N ) )  =  (/) )
2117, 20mpbir 209 . . . 4  |-  ( {
<. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N
) )  =  (/)
2221uneq2i 3641 . . 3  |-  ( A  u.  ( { <. M ,  C >. }  |`  (
1 ... N ) ) )  =  ( A  u.  (/) )
23 un0 3809 . . 3  |-  ( A  u.  (/) )  =  A
2422, 23eqtr2i 2484 . 2  |-  A  =  ( A  u.  ( { <. M ,  C >. }  |`  ( 1 ... N ) ) )
255, 6, 243eqtr4g 2520 1  |-  ( A  e.  ( B  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  (
( A  u.  { <. M ,  C >. } )  |`  ( 1 ... N ) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1398    e. wcel 1823    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   {csn 4016   <.cop 4022   dom cdm 4988    |` cres 4990   Rel wrel 4993    Fn wfn 5565   -->wf 5566  (class class class)co 6270    ^m cmap 7412   1c1 9482    + caddc 9484   ...cfz 11675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676
This theorem is referenced by:  rexrabdioph  30967
  Copyright terms: Public domain W3C validator