Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapfienOLD Structured version   Unicode version

Theorem mapfienOLD 8172
 Description: A bijection of the base sets induces a bijection on the set of finitely supported functions. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) Obsolete version of mapfien 7903 as of 3-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapfienOLD.s
mapfienOLD.t
mapfienOLD.w
mapfienOLD.f
mapfienOLD.g
mapfienOLD.a
mapfienOLD.b
mapfienOLD.c
mapfienOLD.d
mapfienOLD.z
Assertion
Ref Expression
mapfienOLD
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,,   ,,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem mapfienOLD
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . 2
2 mapfienOLD.g . . . . . . 7
3 f1of 5801 . . . . . . 7
42, 3syl 17 . . . . . 6
54adantr 465 . . . . 5
6 cnveq 4999 . . . . . . . . . . . 12
76imaeq1d 5158 . . . . . . . . . . 11
87eleq1d 2473 . . . . . . . . . 10
9 mapfienOLD.s . . . . . . . . . 10
108, 9elrab2 3211 . . . . . . . . 9
1110simplbi 460 . . . . . . . 8
1211adantl 466 . . . . . . 7
13 elmapi 7480 . . . . . . 7
1412, 13syl 17 . . . . . 6
15 mapfienOLD.f . . . . . . . 8
16 f1of 5801 . . . . . . . 8
1715, 16syl 17 . . . . . . 7
1817adantr 465 . . . . . 6
19 fco 5726 . . . . . 6
2014, 18, 19syl2anc 661 . . . . 5
21 fco 5726 . . . . 5
225, 20, 21syl2anc 661 . . . 4
23 mapfienOLD.d . . . . . 6
24 mapfienOLD.c . . . . . 6
25 elmapg 7472 . . . . . 6
2623, 24, 25syl2anc 661 . . . . 5
2726adantr 465 . . . 4
2822, 27mpbird 234 . . 3
29 cnvco 5011 . . . . . . 7
3029imaeq1i 5156 . . . . . 6
31 imaco 5330 . . . . . 6
3230, 31eqtri 2433 . . . . 5
33 cnvco 5011 . . . . . 6
3433imaeq1i 5156 . . . . 5
35 imaco 5330 . . . . 5
3632, 34, 353eqtri 2437 . . . 4
3715adantr 465 . . . . . 6
38 dff1o3 5807 . . . . . . 7
3938simprbi 464 . . . . . 6
4037, 39syl 17 . . . . 5
4110simprbi 464 . . . . . . 7
4241adantl 466 . . . . . 6
432adantr 465 . . . . . . . . 9
44 f1ofun 5803 . . . . . . . . 9
45 funcnvcnv 5629 . . . . . . . . 9
46 imadif 5646 . . . . . . . . 9
4743, 44, 45, 464syl 19 . . . . . . . 8
48 ssv 3464 . . . . . . . . . 10
49 ssdif 3580 . . . . . . . . . 10
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . . 9
51 mapfienOLD.z . . . . . . . . . . . . 13
5251adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
53 mapfienOLD.w . . . . . . . . . . . . . . 15
5453eqcomi 2417 . . . . . . . . . . . . . 14
55 fvex 5861 . . . . . . . . . . . . . . 15
5655elsnc 3998 . . . . . . . . . . . . . 14
5754, 56mpbir 211 . . . . . . . . . . . . 13
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
59 ffn 5716 . . . . . . . . . . . . 13
60 elpreima 5987 . . . . . . . . . . . . 13
615, 59, 603syl 18 . . . . . . . . . . . 12
6252, 58, 61mpbir2and 925 . . . . . . . . . . 11
6362snssd 4119 . . . . . . . . . 10
6463sscond 3582 . . . . . . . . 9
6550, 64syl5ss 3455 . . . . . . . 8
6647, 65eqsstrd 3478 . . . . . . 7
67 imass2 5194 . . . . . . 7
6866, 67syl 17 . . . . . 6
69 ssfi 7777 . . . . . 6
7042, 68, 69syl2anc 661 . . . . 5
71 imafi 7849 . . . . 5
7240, 70, 71syl2anc 661 . . . 4
7336, 72syl5eqel 2496 . . 3
74 cnveq 4999 . . . . . 6
7574imaeq1d 5158 . . . . 5
7675eleq1d 2473 . . . 4
77 mapfienOLD.t . . . 4
7876, 77elrab2 3211 . . 3
7928, 73, 78sylanbrc 664 . 2
80 f1ocnv 5813 . . . . . . . 8
81 f1of 5801 . . . . . . . 8
822, 80, 813syl 18 . . . . . . 7
8382adantr 465 . . . . . 6
84 simpr 461 . . . . . . . . 9
85 cnveq 4999 . . . . . . . . . . . 12
8685imaeq1d 5158 . . . . . . . . . . 11
8786eleq1d 2473 . . . . . . . . . 10
8887, 77elrab2 3211 . . . . . . . . 9
8984, 88sylib 198 . . . . . . . 8
9089simpld 459 . . . . . . 7
91 elmapi 7480 . . . . . . 7
9290, 91syl 17 . . . . . 6
93 fco 5726 . . . . . 6
9483, 92, 93syl2anc 661 . . . . 5
95 f1ocnv 5813 . . . . . . 7
96 f1of 5801 . . . . . . 7
9715, 95, 963syl 18 . . . . . 6
9897adantr 465 . . . . 5
99 fco 5726 . . . . 5
10094, 98, 99syl2anc 661 . . . 4
101 mapfienOLD.b . . . . . 6
102 mapfienOLD.a . . . . . 6
103 elmapg 7472 . . . . . 6
104101, 102, 103syl2anc 661 . . . . 5
105104adantr 465 . . . 4
106100, 105mpbird 234 . . 3
107 f1ofun 5803 . . . . . 6
10815, 107syl 17 . . . . 5
109108adantr 465 . . . 4
110 cnvco 5011 . . . . . . 7
111110imaeq1i 5156 . . . . . 6
112 imaco 5330 . . . . . 6
113 imacnvcnv 5290 . . . . . . 7
114113imaeq2i 5157 . . . . . 6
115111, 112, 1143eqtri 2437 . . . . 5
11688a1i 11 . . . . . . 7
117116simplbda 624 . . . . . 6
1182adantr 465 . . . . . . . . 9
119 dff1o3 5807 . . . . . . . . . 10
120119simprbi 464 . . . . . . . . 9
121 imadif 5646 . . . . . . . . 9
122118, 120, 1213syl 18 . . . . . . . 8
123 ssv 3464 . . . . . . . . . 10
124 ssdif 3580 . . . . . . . . . 10
125123, 124ax-mp 5 . . . . . . . . 9
126118, 3, 593syl 18 . . . . . . . . . . . . 13
12751adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
128127snssd 4119 . . . . . . . . . . . . 13
129 snidg 4000 . . . . . . . . . . . . . 14
130127, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
131 fnfvima 6133 . . . . . . . . . . . . 13
132126, 128, 130, 131syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . 12
13353, 132syl5eqel 2496 . . . . . . . . . . 11
134133snssd 4119 . . . . . . . . . 10
135134sscond 3582 . . . . . . . . 9
136125, 135syl5ss 3455 . . . . . . . 8
137122, 136eqsstrd 3478 . . . . . . 7
138 imass2 5194 . . . . . . 7
139137, 138syl 17 . . . . . 6
140 ssfi 7777 . . . . . 6
141117, 139, 140syl2anc 661 . . . . 5
142115, 141syl5eqel 2496 . . . 4
143 imafi 7849 . . . 4
144109, 142, 143syl2anc 661 . . 3
145 cnveq 4999 . . . . . . . 8
146 cnvco 5011 . . . . . . . 8
147145, 146syl6eq 2461 . . . . . . 7
148147imaeq1d 5158 . . . . . 6
149 imaco 5330 . . . . . . 7
150 imacnvcnv 5290 . . . . . . 7
151149, 150eqtri 2433 . . . . . 6
152148, 151syl6eq 2461 . . . . 5
153152eleq1d 2473 . . . 4
154153, 9elrab2 3211 . . 3
155106, 144, 154sylanbrc 664 . 2
156 coass 5344 . . . . . 6
15715adantr 465 . . . . . . . . 9
158 f1ococnv1 5829 . . . . . . . . 9
159157, 158syl 17 . . . . . . . 8
160159coeq2d 4988 . . . . . . 7
16194adantrl 716 . . . . . . . 8
162 fcoi1 5744 . . . . . . . 8
163161, 162syl 17 . . . . . . 7
164160, 163eqtrd 2445 . . . . . 6
165156, 164syl5eq 2457 . . . . 5
166165eqeq2d 2418 . . . 4
167 coass 5344 . . . . . . 7
1682adantr 465 . . . . . . . . . 10
169 f1ococnv1 5829 . . . . . . . . . 10
170168, 169syl 17 . . . . . . . . 9
171170coeq1d 4987 . . . . . . . 8
17220adantrr 717 . . . . . . . . 9
173 fcoi2 5745 . . . . . . . . 9
174172, 173syl 17 . . . . . . . 8
175171, 174eqtrd 2445 . . . . . . 7
176167, 175syl5eqr 2459 . . . . . 6
177176eqeq2d 2418 . . . . 5
178 eqcom 2413 . . . . 5
179177, 178syl6bb 263 . . . 4
180166, 179bitr4d 258 . . 3
181 f1ofo 5808 . . . . 5
182157, 181syl 17 . . . 4
183 ffn 5716 . . . . . 6
18412, 13, 1833syl 18 . . . . 5
185184adantrr 717 . . . 4
186 ffn 5716 . . . . . 6
187100, 186syl 17 . . . . 5
188187adantrl 716 . . . 4
189 cocan2 6180 . . . 4
190182, 185, 188, 189syl3anc 1232 . . 3
1912, 80syl 17 . . . . . 6
192191adantr 465 . . . . 5
193 f1of1 5800 . . . . 5
194192, 193syl 17 . . . 4
19592adantrl 716 . . . 4
19622adantrr 717 . . . 4
197 cocan1 6179 . . . 4
198194, 195, 196, 197syl3anc 1232 . . 3
199180, 190, 1983bitr3d 285 . 2
2001, 79, 155, 199f1o2d 6510 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 186   wa 369   wceq 1407   wcel 1844  crab 2760  cvv 3061   cdif 3413   wss 3416  csn 3974   cmpt 4455   cid 4735  ccnv 4824   cres 4827  cima 4828   ccom 4829   wfun 5565   wfn 5566  wf 5567  wf1 5568  wfo 5569  wf1o 5570  cfv 5571  (class class class)co 6280   cmap 7459  cfn 7556 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576 This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-1o 7169  df-er 7350  df-map 7461  df-en 7557  df-dom 7558  df-fin 7560 This theorem is referenced by:  wemapweOLD  8174  oef1oOLD  8176  mapfien2OLD  35417
 Copyright terms: Public domain W3C validator