Theorem mapfien 7901

Description: A bijection of the base sets induces a bijection on the set of finitely supported functions. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapfien.s	|- S = { x e. ( B ^m A ) | x finSupp Z }
mapfien.t	|- T = { x e. ( D ^m C ) | x finSupp W }
mapfien.w	|- W = ( G ` Z )
mapfien.f	|- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
mapfien.g	|- ( ph -> G : B -1-1-onto-> D )
mapfien.a	|- ( ph -> A e. _V )
mapfien.b	|- ( ph -> B e. _V )
mapfien.c	|- ( ph -> C e. _V )
mapfien.d	|- ( ph -> D e. _V )
mapfien.z	|- ( ph -> Z e. B )

Assertion

Ref	Expression
mapfien	|- ( ph -> ( f e. S |-> ( G o. ( f o. F ) ) ) : S -1-1-onto-> T )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   x, f, F   f, G, x   ph, f   x, D   S, f   T, f   x, W   x, Z

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( f)   B( f)   C( f)   D( f)   S( x)   T( x)   W( f)   Z( f)

Proof of Theorem mapfien

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2402	. 2 |- ( f e. S |-> ( G o. ( f o. F ) ) ) = ( f e. S |-> ( G o. ( f o. F ) ) )
2		mapfien.g	. . . . . . 7 |- ( ph -> G : B -1-1-onto-> D )
3		f1of 5799	. . . . . . 7 |- ( G : B -1-1-onto-> D -> G : B --> D )
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> G : B --> D )
5	4	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> G : B --> D )
6		breq1 4398	. . . . . . . . . 10 |- ( x = f -> ( x finSupp Z <-> f finSupp Z ) )
7		mapfien.s	. . . . . . . . . 10 |- S = { x e. ( B ^m A ) | x finSupp Z }
8	6, 7	elrab2 3209	. . . . . . . . 9 |- ( f e. S <-> ( f e. ( B ^m A ) /\ f finSupp Z ) )
9	8	simplbi 458	. . . . . . . 8 |- ( f e. S -> f e. ( B ^m A ) )
10	9	adantl 464	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> f e. ( B ^m A ) )
11		elmapi 7478	. . . . . . 7 |- ( f e. ( B ^m A ) -> f : A --> B )
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> f : A --> B )
13		mapfien.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
14		f1of 5799	. . . . . . . 8 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> F : C --> A )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : C --> A )
16	15	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> F : C --> A )
17		fco 5724	. . . . . 6 |- ( ( f : A --> B /\ F : C --> A ) -> ( f o. F ) : C --> B )
18	12, 16, 17	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> ( f o. F ) : C --> B )
19		fco 5724	. . . . 5 |- ( ( G : B --> D /\ ( f o. F ) : C --> B ) -> ( G o. ( f o. F ) ) : C --> D )
20	5, 18, 19	syl2anc 659	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> ( G o. ( f o. F ) ) : C --> D )
21		mapfien.d	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. _V )
22		mapfien.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. _V )
23	21, 22	elmapd 7471	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( G o. ( f o. F ) ) e. ( D ^m C ) <-> ( G o. ( f o. F ) ) : C --> D ) )
24	23	adantr 463	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> ( ( G o. ( f o. F ) ) e. ( D ^m C ) <-> ( G o. ( f o. F ) ) : C --> D ) )
25	20, 24	mpbird 232	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> ( G o. ( f o. F ) ) e. ( D ^m C ) )
26		mapfien.t	. . . 4 |- T = { x e. ( D ^m C ) | x finSupp W }
27		mapfien.w	. . . 4 |- W = ( G ` Z )
28		mapfien.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. _V )
29		mapfien.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. _V )
30		mapfien.z	. . . 4 |- ( ph -> Z e. B )
31	7, 26, 27, 13, 2, 28, 29, 22, 21, 30	mapfienlem1 7898	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> ( G o. ( f o. F ) ) finSupp W )
32		breq1 4398	. . . 4 |- ( x = ( G o. ( f o. F ) ) -> ( x finSupp W <-> ( G o. ( f o. F ) ) finSupp W ) )
33	32, 26	elrab2 3209	. . 3 |- ( ( G o. ( f o. F ) ) e. T <-> ( ( G o. ( f o. F ) ) e. ( D ^m C ) /\ ( G o. ( f o. F ) ) finSupp W ) )
34	25, 31, 33	sylanbrc 662	. 2 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> ( G o. ( f o. F ) ) e. T )
35	7, 26, 27, 13, 2, 28, 29, 22, 21, 30	mapfienlem3 7900	. 2 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) e. S )
36		coass 5342	. . . . . 6 |- ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) o. F ) = ( ( `' G o. g ) o. ( `' F o. F ) )
37	13	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> F : C -1-1-onto-> A )
38		f1ococnv1 5827	. . . . . . . . 9 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> ( `' F o. F ) = ( _I |` C ) )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( `' F o. F ) = ( _I |` C ) )
40	39	coeq2d 4986	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. g ) o. ( `' F o. F ) ) = ( ( `' G o. g ) o. ( _I |` C ) ) )
41		f1ocnv 5811	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G : B -1-1-onto-> D -> `' G : D -1-1-onto-> B )
42		f1of 5799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' G : D -1-1-onto-> B -> `' G : D --> B )
43	2, 41, 42	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> `' G : D --> B )
44	43	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> `' G : D --> B )
45		simpr 459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> g e. T )
46		breq1 4398	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = g -> ( x finSupp W <-> g finSupp W ) )
47	46, 26	elrab2 3209	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g e. T <-> ( g e. ( D ^m C ) /\ g finSupp W ) )
48	45, 47	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( g e. ( D ^m C ) /\ g finSupp W ) )
49	48	simpld 457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> g e. ( D ^m C ) )
50		elmapi 7478	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. ( D ^m C ) -> g : C --> D )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> g : C --> D )
52		fco 5724	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' G : D --> B /\ g : C --> D ) -> ( `' G o. g ) : C --> B )
53	44, 51, 52	syl2anc 659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( `' G o. g ) : C --> B )
54	53	adantrl 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( `' G o. g ) : C --> B )
55		fcoi1 5742	. . . . . . . 8 |- ( ( `' G o. g ) : C --> B -> ( ( `' G o. g ) o. ( _I |` C ) ) = ( `' G o. g ) )
56	54, 55	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. g ) o. ( _I |` C ) ) = ( `' G o. g ) )
57	40, 56	eqtrd 2443	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. g ) o. ( `' F o. F ) ) = ( `' G o. g ) )
58	36, 57	syl5eq 2455	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) o. F ) = ( `' G o. g ) )
59	58	eqeq2d 2416	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( f o. F ) = ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) o. F ) <-> ( f o. F ) = ( `' G o. g ) ) )
60		coass 5342	. . . . . . 7 |- ( ( `' G o. G ) o. ( f o. F ) ) = ( `' G o. ( G o. ( f o. F ) ) )
61	2	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> G : B -1-1-onto-> D )
62		f1ococnv1 5827	. . . . . . . . . 10 |- ( G : B -1-1-onto-> D -> ( `' G o. G ) = ( _I |` B ) )
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( `' G o. G ) = ( _I |` B ) )
64	63	coeq1d 4985	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. G ) o. ( f o. F ) ) = ( ( _I |` B ) o. ( f o. F ) ) )
65	18	adantrr 715	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( f o. F ) : C --> B )
66		fcoi2 5743	. . . . . . . . 9 |- ( ( f o. F ) : C --> B -> ( ( _I |` B ) o. ( f o. F ) ) = ( f o. F ) )
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( _I |` B ) o. ( f o. F ) ) = ( f o. F ) )
68	64, 67	eqtrd 2443	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. G ) o. ( f o. F ) ) = ( f o. F ) )
69	60, 68	syl5eqr 2457	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( `' G o. ( G o. ( f o. F ) ) ) = ( f o. F ) )
70	69	eqeq2d 2416	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. g ) = ( `' G o. ( G o. ( f o. F ) ) ) <-> ( `' G o. g ) = ( f o. F ) ) )
71		eqcom 2411	. . . . 5 |- ( ( `' G o. g ) = ( f o. F ) <-> ( f o. F ) = ( `' G o. g ) )
72	70, 71	syl6bb 261	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. g ) = ( `' G o. ( G o. ( f o. F ) ) ) <-> ( f o. F ) = ( `' G o. g ) ) )
73	59, 72	bitr4d 256	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( f o. F ) = ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) o. F ) <-> ( `' G o. g ) = ( `' G o. ( G o. ( f o. F ) ) ) ) )
74		f1ofo 5806	. . . . 5 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> F : C -onto-> A )
75	37, 74	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> F : C -onto-> A )
76		ffn 5714	. . . . . 6 |- ( f : A --> B -> f Fn A )
77	10, 11, 76	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> f Fn A )
78	77	adantrr 715	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> f Fn A )
79		f1ocnv 5811	. . . . . . . . 9 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> `' F : A -1-1-onto-> C )
80		f1of 5799	. . . . . . . . 9 |- ( `' F : A -1-1-onto-> C -> `' F : A --> C )
81	13, 79, 80	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> `' F : A --> C )
82	81	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> `' F : A --> C )
83		fco 5724	. . . . . . 7 |- ( ( ( `' G o. g ) : C --> B /\ `' F : A --> C ) -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) : A --> B )
84	53, 82, 83	syl2anc 659	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) : A --> B )
85		ffn 5714	. . . . . 6 |- ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) : A --> B -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) Fn A )
86	84, 85	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) Fn A )
87	86	adantrl 714	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) Fn A )
88		cocan2 6178	. . . 4 |- ( ( F : C -onto-> A /\ f Fn A /\ ( ( `' G o. g ) o. `' F ) Fn A ) -> ( ( f o. F ) = ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) o. F ) <-> f = ( ( `' G o. g ) o. `' F ) ) )
89	75, 78, 87, 88	syl3anc 1230	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( f o. F ) = ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) o. F ) <-> f = ( ( `' G o. g ) o. `' F ) ) )
90	2, 41	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> `' G : D -1-1-onto-> B )
91	90	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> `' G : D -1-1-onto-> B )
92		f1of1 5798	. . . . 5 |- ( `' G : D -1-1-onto-> B -> `' G : D -1-1-> B )
93	91, 92	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> `' G : D -1-1-> B )
94	51	adantrl 714	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> g : C --> D )
95	20	adantrr 715	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( G o. ( f o. F ) ) : C --> D )
96		cocan1 6177	. . . 4 |- ( ( `' G : D -1-1-> B /\ g : C --> D /\ ( G o. ( f o. F ) ) : C --> D ) -> ( ( `' G o. g ) = ( `' G o. ( G o. ( f o. F ) ) ) <-> g = ( G o. ( f o. F ) ) ) )
97	93, 94, 95, 96	syl3anc 1230	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. g ) = ( `' G o. ( G o. ( f o. F ) ) ) <-> g = ( G o. ( f o. F ) ) ) )
98	73, 89, 97	3bitr3d 283	. 2 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( f = ( ( `' G o. g ) o. `' F ) <-> g = ( G o. ( f o. F ) ) ) )
99	1, 34, 35, 98	f1o2d 6508	1 |- ( ph -> ( f e. S |-> ( G o. ( f o. F ) ) ) : S -1-1-onto-> T )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   {crab 2758   _Vcvv 3059   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4453   _I cid 4733   `'ccnv 4822   |` cres 4825   o. ccom 4827   Fn wfn 5564   -->wf 5565   -1-1->wf1 5566   -onto->wfo 5567   -1-1-onto->wf1o 5568   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   ^m cmap 7457   finSupp cfsupp 7863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-1o 7167  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-fin 7558  df-fsupp 7864

This theorem is referenced by:  mapfien2  7902  wemapwe  8171  oef1o  8173  fcobijfs  27996