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Theorem mapfien 7856
Description: A bijection of the base sets induces a bijection on the set of finitely supported functions. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mapfien.s  |-  S  =  { x  e.  ( B  ^m  A )  |  x finSupp  Z }
mapfien.t  |-  T  =  { x  e.  ( D  ^m  C )  |  x finSupp  W }
mapfien.w  |-  W  =  ( G `  Z
)
mapfien.f  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
mapfien.g  |-  ( ph  ->  G : B -1-1-onto-> D )
mapfien.a  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
mapfien.b  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
mapfien.c  |-  ( ph  ->  C  e.  _V )
mapfien.d  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
mapfien.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
Assertion
Ref Expression
mapfien  |-  ( ph  ->  ( f  e.  S  |->  ( G  o.  (
f  o.  F ) ) ) : S -1-1-onto-> T
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, f, F    f, G, x    ph, f    x, D    S, f    T, f    x, W   
x, Z
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( f)    B( f)    C( f)    D( f)    S( x)    T( x)    W( f)    Z( f)

Proof of Theorem mapfien
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2460 . 2  |-  ( f  e.  S  |->  ( G  o.  ( f  o.  F ) ) )  =  ( f  e.  S  |->  ( G  o.  ( f  o.  F
) ) )
2 mapfien.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : B -1-1-onto-> D )
3 f1of 5807 . . . . . . 7  |-  ( G : B -1-1-onto-> D  ->  G : B
--> D )
42, 3syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : B --> D )
54adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  G : B --> D )
6 breq1 4443 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  f  ->  (
x finSupp  Z  <->  f finSupp  Z ) )
7 mapfien.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  { x  e.  ( B  ^m  A )  |  x finSupp  Z }
86, 7elrab2 3256 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  S  <->  ( f  e.  ( B  ^m  A
)  /\  f finSupp  Z ) )
98simplbi 460 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  S  ->  f  e.  ( B  ^m  A
) )
109adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  f  e.  ( B  ^m  A
) )
11 elmapi 7430 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( B  ^m  A )  ->  f : A --> B )
1210, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  f : A --> B )
13 mapfien.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
14 f1of 5807 . . . . . . . 8  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  F : C
--> A )
1513, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : C --> A )
1615adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  F : C --> A )
17 fco 5732 . . . . . 6  |-  ( ( f : A --> B  /\  F : C --> A )  ->  ( f  o.  F ) : C --> B )
1812, 16, 17syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  (
f  o.  F ) : C --> B )
19 fco 5732 . . . . 5  |-  ( ( G : B --> D  /\  ( f  o.  F
) : C --> B )  ->  ( G  o.  ( f  o.  F
) ) : C --> D )
205, 18, 19syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  ( G  o.  ( f  o.  F ) ) : C --> D )
21 mapfien.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
22 mapfien.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  _V )
23 elmapg 7423 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( ( G  o.  ( f  o.  F
) )  e.  ( D  ^m  C )  <-> 
( G  o.  (
f  o.  F ) ) : C --> D ) )
2421, 22, 23syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  ( f  o.  F
) )  e.  ( D  ^m  C )  <-> 
( G  o.  (
f  o.  F ) ) : C --> D ) )
2524adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  (
( G  o.  (
f  o.  F ) )  e.  ( D  ^m  C )  <->  ( G  o.  ( f  o.  F
) ) : C --> D ) )
2620, 25mpbird 232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  ( G  o.  ( f  o.  F ) )  e.  ( D  ^m  C
) )
27 mapfien.t . . . 4  |-  T  =  { x  e.  ( D  ^m  C )  |  x finSupp  W }
28 mapfien.w . . . 4  |-  W  =  ( G `  Z
)
29 mapfien.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
30 mapfien.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
31 mapfien.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
327, 27, 28, 13, 2, 29, 30, 22, 21, 31mapfienlem1 7853 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  ( G  o.  ( f  o.  F ) ) finSupp  W
)
33 breq1 4443 . . . 4  |-  ( x  =  ( G  o.  ( f  o.  F
) )  ->  (
x finSupp  W  <->  ( G  o.  ( f  o.  F
) ) finSupp  W )
)
3433, 27elrab2 3256 . . 3  |-  ( ( G  o.  ( f  o.  F ) )  e.  T  <->  ( ( G  o.  ( f  o.  F ) )  e.  ( D  ^m  C
)  /\  ( G  o.  ( f  o.  F
) ) finSupp  W )
)
3526, 32, 34sylanbrc 664 . 2  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  ( G  o.  ( f  o.  F ) )  e.  T )
367, 27, 28, 13, 2, 29, 30, 22, 21, 31mapfienlem3 7855 . 2  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  (
( `' G  o.  g )  o.  `' F )  e.  S
)
37 coass 5517 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  o.  F
)  =  ( ( `' G  o.  g
)  o.  ( `' F  o.  F ) )
3813adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  ->  F : C -1-1-onto-> A )
39 f1ococnv1 5835 . . . . . . . . 9  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  C ) )
4038, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  C )
)
4140coeq2d 5156 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  g )  o.  ( `' F  o.  F
) )  =  ( ( `' G  o.  g )  o.  (  _I  |`  C ) ) )
42 f1ocnv 5819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : B -1-1-onto-> D  ->  `' G : D -1-1-onto-> B )
43 f1of 5807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' G : D -1-1-onto-> B  ->  `' G : D --> B )
442, 42, 433syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  `' G : D --> B )
4544adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  `' G : D --> B )
46 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  g  e.  T )
47 breq1 4443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  g  ->  (
x finSupp  W  <->  g finSupp  W ) )
4847, 27elrab2 3256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  e.  T  <->  ( g  e.  ( D  ^m  C
)  /\  g finSupp  W ) )
4946, 48sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  (
g  e.  ( D  ^m  C )  /\  g finSupp  W ) )
5049simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  g  e.  ( D  ^m  C
) )
51 elmapi 7430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  ( D  ^m  C )  ->  g : C --> D )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  g : C --> D )
53 fco 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' G : D --> B  /\  g : C --> D )  ->  ( `' G  o.  g ) : C --> B )
5445, 52, 53syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  ( `' G  o.  g
) : C --> B )
5554adantrl 715 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( `' G  o.  g ) : C --> B )
56 fcoi1 5750 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' G  o.  g
) : C --> B  -> 
( ( `' G  o.  g )  o.  (  _I  |`  C ) )  =  ( `' G  o.  g ) )
5755, 56syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  g )  o.  (  _I  |`  C ) )  =  ( `' G  o.  g ) )
5841, 57eqtrd 2501 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  g )  o.  ( `' F  o.  F
) )  =  ( `' G  o.  g
) )
5937, 58syl5eq 2513 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  o.  F )  =  ( `' G  o.  g ) )
6059eqeq2d 2474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( f  o.  F )  =  ( ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  o.  F
)  <->  ( f  o.  F )  =  ( `' G  o.  g
) ) )
61 coass 5517 . . . . . . 7  |-  ( ( `' G  o.  G
)  o.  ( f  o.  F ) )  =  ( `' G  o.  ( G  o.  (
f  o.  F ) ) )
622adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  ->  G : B -1-1-onto-> D )
63 f1ococnv1 5835 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : B -1-1-onto-> D  ->  ( `' G  o.  G )  =  (  _I  |`  B ) )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( `' G  o.  G )  =  (  _I  |`  B )
)
6564coeq1d 5155 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  G )  o.  (
f  o.  F ) )  =  ( (  _I  |`  B )  o.  ( f  o.  F
) ) )
6618adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( f  o.  F
) : C --> B )
67 fcoi2 5751 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  o.  F ) : C --> B  -> 
( (  _I  |`  B )  o.  ( f  o.  F ) )  =  ( f  o.  F
) )
6866, 67syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( (  _I  |`  B )  o.  ( f  o.  F ) )  =  ( f  o.  F
) )
6965, 68eqtrd 2501 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  G )  o.  (
f  o.  F ) )  =  ( f  o.  F ) )
7061, 69syl5eqr 2515 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( `' G  o.  ( G  o.  (
f  o.  F ) ) )  =  ( f  o.  F ) )
7170eqeq2d 2474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  g )  =  ( `' G  o.  ( G  o.  ( f  o.  F ) ) )  <-> 
( `' G  o.  g )  =  ( f  o.  F ) ) )
72 eqcom 2469 . . . . 5  |-  ( ( `' G  o.  g
)  =  ( f  o.  F )  <->  ( f  o.  F )  =  ( `' G  o.  g
) )
7371, 72syl6bb 261 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  g )  =  ( `' G  o.  ( G  o.  ( f  o.  F ) ) )  <-> 
( f  o.  F
)  =  ( `' G  o.  g ) ) )
7460, 73bitr4d 256 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( f  o.  F )  =  ( ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  o.  F
)  <->  ( `' G  o.  g )  =  ( `' G  o.  ( G  o.  ( f  o.  F ) ) ) ) )
75 f1ofo 5814 . . . . 5  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  F : C -onto-> A )
7638, 75syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  ->  F : C -onto-> A )
77 ffn 5722 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  -> 
f  Fn  A )
7810, 11, 773syl 20 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  f  Fn  A )
7978adantrr 716 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
f  Fn  A )
80 f1ocnv 5819 . . . . . . . . 9  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  `' F : A -1-1-onto-> C )
81 f1of 5807 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F : A -1-1-onto-> C  ->  `' F : A --> C )
8213, 80, 813syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  `' F : A --> C )
8382adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  `' F : A --> C )
84 fco 5732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' G  o.  g ) : C --> B  /\  `' F : A
--> C )  ->  (
( `' G  o.  g )  o.  `' F ) : A --> B )
8554, 83, 84syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  (
( `' G  o.  g )  o.  `' F ) : A --> B )
86 ffn 5722 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F ) : A --> B  ->  ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  Fn  A )
8785, 86syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  (
( `' G  o.  g )  o.  `' F )  Fn  A
)
8887adantrl 715 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  Fn  A
)
89 cocan2 6174 . . . 4  |-  ( ( F : C -onto-> A  /\  f  Fn  A  /\  ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  Fn  A
)  ->  ( (
f  o.  F )  =  ( ( ( `' G  o.  g
)  o.  `' F
)  o.  F )  <-> 
f  =  ( ( `' G  o.  g
)  o.  `' F
) ) )
9076, 79, 88, 89syl3anc 1223 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( f  o.  F )  =  ( ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  o.  F
)  <->  f  =  ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F ) ) )
912, 42syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' G : D -1-1-onto-> B )
9291adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  ->  `' G : D -1-1-onto-> B )
93 f1of1 5806 . . . . 5  |-  ( `' G : D -1-1-onto-> B  ->  `' G : D -1-1-> B
)
9492, 93syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  ->  `' G : D -1-1-> B
)
9552adantrl 715 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
g : C --> D )
9620adantrr 716 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( G  o.  (
f  o.  F ) ) : C --> D )
97 cocan1 6173 . . . 4  |-  ( ( `' G : D -1-1-> B  /\  g : C --> D  /\  ( G  o.  (
f  o.  F ) ) : C --> D )  ->  ( ( `' G  o.  g )  =  ( `' G  o.  ( G  o.  (
f  o.  F ) ) )  <->  g  =  ( G  o.  (
f  o.  F ) ) ) )
9894, 95, 96, 97syl3anc 1223 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  g )  =  ( `' G  o.  ( G  o.  ( f  o.  F ) ) )  <-> 
g  =  ( G  o.  ( f  o.  F ) ) ) )
9974, 90, 983bitr3d 283 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( f  =  ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  <->  g  =  ( G  o.  (
f  o.  F ) ) ) )
1001, 35, 36, 99f1o2d 6502 1  |-  ( ph  ->  ( f  e.  S  |->  ( G  o.  (
f  o.  F ) ) ) : S -1-1-onto-> T
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   {crab 2811   _Vcvv 3106   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498    _I cid 4783   `'ccnv 4991    |` cres 4994    o. ccom 4996    Fn wfn 5574   -->wf 5575   -1-1->wf1 5576   -onto->wfo 5577   -1-1-onto->wf1o 5578   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    ^m cmap 7410   finSupp cfsupp 7818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-1o 7120  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-fin 7510  df-fsupp 7819
This theorem is referenced by:  mapfien2  7857  wemapwe  8128  oef1o  8130  fcobijfs  27207
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