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Theorem mapfien 7901
Description: A bijection of the base sets induces a bijection on the set of finitely supported functions. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mapfien.s  |-  S  =  { x  e.  ( B  ^m  A )  |  x finSupp  Z }
mapfien.t  |-  T  =  { x  e.  ( D  ^m  C )  |  x finSupp  W }
mapfien.w  |-  W  =  ( G `  Z
)
mapfien.f  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
mapfien.g  |-  ( ph  ->  G : B -1-1-onto-> D )
mapfien.a  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
mapfien.b  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
mapfien.c  |-  ( ph  ->  C  e.  _V )
mapfien.d  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
mapfien.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
Assertion
Ref Expression
mapfien  |-  ( ph  ->  ( f  e.  S  |->  ( G  o.  (
f  o.  F ) ) ) : S -1-1-onto-> T
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, f, F    f, G, x    ph, f    x, D    S, f    T, f    x, W   
x, Z
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( f)    B( f)    C( f)    D( f)    S( x)    T( x)    W( f)    Z( f)

Proof of Theorem mapfien
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . 2  |-  ( f  e.  S  |->  ( G  o.  ( f  o.  F ) ) )  =  ( f  e.  S  |->  ( G  o.  ( f  o.  F
) ) )
2 mapfien.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : B -1-1-onto-> D )
3 f1of 5799 . . . . . . 7  |-  ( G : B -1-1-onto-> D  ->  G : B
--> D )
42, 3syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : B --> D )
54adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  G : B --> D )
6 breq1 4398 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  f  ->  (
x finSupp  Z  <->  f finSupp  Z ) )
7 mapfien.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  { x  e.  ( B  ^m  A )  |  x finSupp  Z }
86, 7elrab2 3209 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  S  <->  ( f  e.  ( B  ^m  A
)  /\  f finSupp  Z ) )
98simplbi 458 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  S  ->  f  e.  ( B  ^m  A
) )
109adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  f  e.  ( B  ^m  A
) )
11 elmapi 7478 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( B  ^m  A )  ->  f : A --> B )
1210, 11syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  f : A --> B )
13 mapfien.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
14 f1of 5799 . . . . . . . 8  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  F : C
--> A )
1513, 14syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : C --> A )
1615adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  F : C --> A )
17 fco 5724 . . . . . 6  |-  ( ( f : A --> B  /\  F : C --> A )  ->  ( f  o.  F ) : C --> B )
1812, 16, 17syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  (
f  o.  F ) : C --> B )
19 fco 5724 . . . . 5  |-  ( ( G : B --> D  /\  ( f  o.  F
) : C --> B )  ->  ( G  o.  ( f  o.  F
) ) : C --> D )
205, 18, 19syl2anc 659 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  ( G  o.  ( f  o.  F ) ) : C --> D )
21 mapfien.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
22 mapfien.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  _V )
2321, 22elmapd 7471 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G  o.  ( f  o.  F
) )  e.  ( D  ^m  C )  <-> 
( G  o.  (
f  o.  F ) ) : C --> D ) )
2423adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  (
( G  o.  (
f  o.  F ) )  e.  ( D  ^m  C )  <->  ( G  o.  ( f  o.  F
) ) : C --> D ) )
2520, 24mpbird 232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  ( G  o.  ( f  o.  F ) )  e.  ( D  ^m  C
) )
26 mapfien.t . . . 4  |-  T  =  { x  e.  ( D  ^m  C )  |  x finSupp  W }
27 mapfien.w . . . 4  |-  W  =  ( G `  Z
)
28 mapfien.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
29 mapfien.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
30 mapfien.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  B )
317, 26, 27, 13, 2, 28, 29, 22, 21, 30mapfienlem1 7898 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  ( G  o.  ( f  o.  F ) ) finSupp  W
)
32 breq1 4398 . . . 4  |-  ( x  =  ( G  o.  ( f  o.  F
) )  ->  (
x finSupp  W  <->  ( G  o.  ( f  o.  F
) ) finSupp  W )
)
3332, 26elrab2 3209 . . 3  |-  ( ( G  o.  ( f  o.  F ) )  e.  T  <->  ( ( G  o.  ( f  o.  F ) )  e.  ( D  ^m  C
)  /\  ( G  o.  ( f  o.  F
) ) finSupp  W )
)
3425, 31, 33sylanbrc 662 . 2  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  ( G  o.  ( f  o.  F ) )  e.  T )
357, 26, 27, 13, 2, 28, 29, 22, 21, 30mapfienlem3 7900 . 2  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  (
( `' G  o.  g )  o.  `' F )  e.  S
)
36 coass 5342 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  o.  F
)  =  ( ( `' G  o.  g
)  o.  ( `' F  o.  F ) )
3713adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  ->  F : C -1-1-onto-> A )
38 f1ococnv1 5827 . . . . . . . . 9  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  C ) )
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  C )
)
4039coeq2d 4986 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  g )  o.  ( `' F  o.  F
) )  =  ( ( `' G  o.  g )  o.  (  _I  |`  C ) ) )
41 f1ocnv 5811 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : B -1-1-onto-> D  ->  `' G : D -1-1-onto-> B )
42 f1of 5799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' G : D -1-1-onto-> B  ->  `' G : D --> B )
432, 41, 423syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  `' G : D --> B )
4443adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  `' G : D --> B )
45 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  g  e.  T )
46 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  g  ->  (
x finSupp  W  <->  g finSupp  W ) )
4746, 26elrab2 3209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  e.  T  <->  ( g  e.  ( D  ^m  C
)  /\  g finSupp  W ) )
4845, 47sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  (
g  e.  ( D  ^m  C )  /\  g finSupp  W ) )
4948simpld 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  g  e.  ( D  ^m  C
) )
50 elmapi 7478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  ( D  ^m  C )  ->  g : C --> D )
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  g : C --> D )
52 fco 5724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' G : D --> B  /\  g : C --> D )  ->  ( `' G  o.  g ) : C --> B )
5344, 51, 52syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  ( `' G  o.  g
) : C --> B )
5453adantrl 714 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( `' G  o.  g ) : C --> B )
55 fcoi1 5742 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' G  o.  g
) : C --> B  -> 
( ( `' G  o.  g )  o.  (  _I  |`  C ) )  =  ( `' G  o.  g ) )
5654, 55syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  g )  o.  (  _I  |`  C ) )  =  ( `' G  o.  g ) )
5740, 56eqtrd 2443 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  g )  o.  ( `' F  o.  F
) )  =  ( `' G  o.  g
) )
5836, 57syl5eq 2455 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  o.  F )  =  ( `' G  o.  g ) )
5958eqeq2d 2416 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( f  o.  F )  =  ( ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  o.  F
)  <->  ( f  o.  F )  =  ( `' G  o.  g
) ) )
60 coass 5342 . . . . . . 7  |-  ( ( `' G  o.  G
)  o.  ( f  o.  F ) )  =  ( `' G  o.  ( G  o.  (
f  o.  F ) ) )
612adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  ->  G : B -1-1-onto-> D )
62 f1ococnv1 5827 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : B -1-1-onto-> D  ->  ( `' G  o.  G )  =  (  _I  |`  B ) )
6361, 62syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( `' G  o.  G )  =  (  _I  |`  B )
)
6463coeq1d 4985 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  G )  o.  (
f  o.  F ) )  =  ( (  _I  |`  B )  o.  ( f  o.  F
) ) )
6518adantrr 715 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( f  o.  F
) : C --> B )
66 fcoi2 5743 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  o.  F ) : C --> B  -> 
( (  _I  |`  B )  o.  ( f  o.  F ) )  =  ( f  o.  F
) )
6765, 66syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( (  _I  |`  B )  o.  ( f  o.  F ) )  =  ( f  o.  F
) )
6864, 67eqtrd 2443 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  G )  o.  (
f  o.  F ) )  =  ( f  o.  F ) )
6960, 68syl5eqr 2457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( `' G  o.  ( G  o.  (
f  o.  F ) ) )  =  ( f  o.  F ) )
7069eqeq2d 2416 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  g )  =  ( `' G  o.  ( G  o.  ( f  o.  F ) ) )  <-> 
( `' G  o.  g )  =  ( f  o.  F ) ) )
71 eqcom 2411 . . . . 5  |-  ( ( `' G  o.  g
)  =  ( f  o.  F )  <->  ( f  o.  F )  =  ( `' G  o.  g
) )
7270, 71syl6bb 261 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  g )  =  ( `' G  o.  ( G  o.  ( f  o.  F ) ) )  <-> 
( f  o.  F
)  =  ( `' G  o.  g ) ) )
7359, 72bitr4d 256 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( f  o.  F )  =  ( ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  o.  F
)  <->  ( `' G  o.  g )  =  ( `' G  o.  ( G  o.  ( f  o.  F ) ) ) ) )
74 f1ofo 5806 . . . . 5  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  F : C -onto-> A )
7537, 74syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  ->  F : C -onto-> A )
76 ffn 5714 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  -> 
f  Fn  A )
7710, 11, 763syl 18 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  S )  ->  f  Fn  A )
7877adantrr 715 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
f  Fn  A )
79 f1ocnv 5811 . . . . . . . . 9  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  `' F : A -1-1-onto-> C )
80 f1of 5799 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F : A -1-1-onto-> C  ->  `' F : A --> C )
8113, 79, 803syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  `' F : A --> C )
8281adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  `' F : A --> C )
83 fco 5724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' G  o.  g ) : C --> B  /\  `' F : A
--> C )  ->  (
( `' G  o.  g )  o.  `' F ) : A --> B )
8453, 82, 83syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  (
( `' G  o.  g )  o.  `' F ) : A --> B )
85 ffn 5714 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F ) : A --> B  ->  ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  Fn  A )
8684, 85syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  T )  ->  (
( `' G  o.  g )  o.  `' F )  Fn  A
)
8786adantrl 714 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  Fn  A
)
88 cocan2 6178 . . . 4  |-  ( ( F : C -onto-> A  /\  f  Fn  A  /\  ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  Fn  A
)  ->  ( (
f  o.  F )  =  ( ( ( `' G  o.  g
)  o.  `' F
)  o.  F )  <-> 
f  =  ( ( `' G  o.  g
)  o.  `' F
) ) )
8975, 78, 87, 88syl3anc 1230 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( f  o.  F )  =  ( ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  o.  F
)  <->  f  =  ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F ) ) )
902, 41syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  `' G : D -1-1-onto-> B )
9190adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  ->  `' G : D -1-1-onto-> B )
92 f1of1 5798 . . . . 5  |-  ( `' G : D -1-1-onto-> B  ->  `' G : D -1-1-> B
)
9391, 92syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  ->  `' G : D -1-1-> B
)
9451adantrl 714 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
g : C --> D )
9520adantrr 715 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( G  o.  (
f  o.  F ) ) : C --> D )
96 cocan1 6177 . . . 4  |-  ( ( `' G : D -1-1-> B  /\  g : C --> D  /\  ( G  o.  (
f  o.  F ) ) : C --> D )  ->  ( ( `' G  o.  g )  =  ( `' G  o.  ( G  o.  (
f  o.  F ) ) )  <->  g  =  ( G  o.  (
f  o.  F ) ) ) )
9793, 94, 95, 96syl3anc 1230 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( ( `' G  o.  g )  =  ( `' G  o.  ( G  o.  ( f  o.  F ) ) )  <-> 
g  =  ( G  o.  ( f  o.  F ) ) ) )
9873, 89, 973bitr3d 283 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  S  /\  g  e.  T ) )  -> 
( f  =  ( ( `' G  o.  g )  o.  `' F )  <->  g  =  ( G  o.  (
f  o.  F ) ) ) )
991, 34, 35, 98f1o2d 6508 1  |-  ( ph  ->  ( f  e.  S  |->  ( G  o.  (
f  o.  F ) ) ) : S -1-1-onto-> T
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   {crab 2758   _Vcvv 3059   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453    _I cid 4733   `'ccnv 4822    |` cres 4825    o. ccom 4827    Fn wfn 5564   -->wf 5565   -1-1->wf1 5566   -onto->wfo 5567   -1-1-onto->wf1o 5568   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    ^m cmap 7457   finSupp cfsupp 7863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-1o 7167  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-fin 7558  df-fsupp 7864
This theorem is referenced by:  mapfien2  7902  wemapwe  8171  oef1o  8173  fcobijfs  27996
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