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Theorem mapfien 7939
Description: A bijection of the base sets induces a bijection on the set of finitely supported functions. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mapfien.s |- S = { x e. ( B ^m A ) | x finSupp Z }
mapfien.t |- T = { x e. ( D ^m C ) | x finSupp W }
mapfien.w |- W = ( G ` Z )
mapfien.f |- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
mapfien.g |- ( ph -> G : B -1-1-onto-> D )
mapfien.a |- ( ph -> A e. _V )
mapfien.b |- ( ph -> B e. _V )
mapfien.c |- ( ph -> C e. _V )
mapfien.d |- ( ph -> D e. _V )
mapfien.z |- ( ph -> Z e. B )
Assertion
Ref Expression
mapfien |- ( ph -> ( f e. S |-> ( G o. ( f o. F ) ) ) : S -1-1-onto-> T )
Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   x, f, F   f, G, x   ph, f   x, D   S, f   T, f   x, W   x, Z
Allowed substitution hints:   ph( x)   A( f)   B( f)   C( f)   D( f)   S( x)   T( x)   W( f)   Z( f)
Proof of Theorem mapfien
Dummy variable g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2471 . 2 |- ( f e. S |-> ( G o. ( f o. F ) ) ) = ( f e. S |-> ( G o. ( f o. F ) ) )
2 mapfien.g . . . . . . 7 |- ( ph -> G : B -1-1-onto-> D )
3 f1of 5828 . . . . . . 7 |- ( G : B -1-1-onto-> D -> G : B --> D )
42, 3syl 17 . . . . . 6 |- ( ph -> G : B --> D )
54adantr 472 . . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> G : B --> D )
6 breq1 4398 . . . . . . . . . 10 |- ( x = f -> ( x finSupp Z <-> f finSupp Z ) )
7 mapfien.s . . . . . . . . . 10 |- S = { x e. ( B ^m A ) | x finSupp Z }
86, 7elrab2 3186 . . . . . . . . 9 |- ( f e. S <-> ( f e. ( B ^m A ) /\ f finSupp Z ) )
98simplbi 467 . . . . . . . 8 |- ( f e. S -> f e. ( B ^m A ) )
109adantl 473 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> f e. ( B ^m A ) )
11 elmapi 7511 . . . . . . 7 |- ( f e. ( B ^m A ) -> f : A --> B )
1210, 11syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> f : A --> B )
13 mapfien.f . . . . . . . 8 |- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
14 f1of 5828 . . . . . . . 8 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> F : C --> A )
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> F : C --> A )
1615adantr 472 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> F : C --> A )
17 fco 5751 . . . . . 6 |- ( ( f : A --> B /\ F : C --> A ) -> ( f o. F ) : C --> B )
1812, 16, 17syl2anc 673 . . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> ( f o. F ) : C --> B )
19 fco 5751 . . . . 5 |- ( ( G : B --> D /\ ( f o. F ) : C --> B ) -> ( G o. ( f o. F ) ) : C --> D )
205, 18, 19syl2anc 673 . . . 4 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> ( G o. ( f o. F ) ) : C --> D )
21 mapfien.d . . . . . 6 |- ( ph -> D e. _V )
22 mapfien.c . . . . . 6 |- ( ph -> C e. _V )
2321, 22elmapd 7504 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( G o. ( f o. F ) ) e. ( D ^m C ) <-> ( G o. ( f o. F ) ) : C --> D ) )
2423adantr 472 . . . 4 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> ( ( G o. ( f o. F ) ) e. ( D ^m C ) <-> ( G o. ( f o. F ) ) : C --> D ) )
2520, 24mpbird 240 . . 3 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> ( G o. ( f o. F ) ) e. ( D ^m C ) )
26 mapfien.t . . . 4 |- T = { x e. ( D ^m C ) | x finSupp W }
27 mapfien.w . . . 4 |- W = ( G ` Z )
28 mapfien.a . . . 4 |- ( ph -> A e. _V )
29 mapfien.b . . . 4 |- ( ph -> B e. _V )
30 mapfien.z . . . 4 |- ( ph -> Z e. B )
317, 26, 27, 13, 2, 28, 29, 22, 21, 30mapfienlem1 7936 . . 3 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> ( G o. ( f o. F ) ) finSupp W )
32 breq1 4398 . . . 4 |- ( x = ( G o. ( f o. F ) ) -> ( x finSupp W <-> ( G o. ( f o. F ) ) finSupp W ) )
3332, 26elrab2 3186 . . 3 |- ( ( G o. ( f o. F ) ) e. T <-> ( ( G o. ( f o. F ) ) e. ( D ^m C ) /\ ( G o. ( f o. F ) ) finSupp W ) )
3425, 31, 33sylanbrc 677 . 2 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> ( G o. ( f o. F ) ) e. T )
357, 26, 27, 13, 2, 28, 29, 22, 21, 30mapfienlem3 7938 . 2 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) e. S )
36 coass 5361 . . . . . 6 |- ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) o. F ) = ( ( `' G o. g ) o. ( `' F o. F ) )
3713adantr 472 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> F : C -1-1-onto-> A )
38 f1ococnv1 5856 . . . . . . . . 9 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> ( `' F o. F ) = ( _I |` C ) )
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( `' F o. F ) = ( _I |` C ) )
4039coeq2d 5002 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. g ) o. ( `' F o. F ) ) = ( ( `' G o. g ) o. ( _I |` C ) ) )
41 f1ocnv 5840 . . . . . . . . . . . 12 |- ( G : B -1-1-onto-> D -> `' G : D -1-1-onto-> B )
42 f1of 5828 . . . . . . . . . . . 12 |- ( `' G : D -1-1-onto-> B -> `' G : D --> B )
432, 41, 423syl 18 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> `' G : D --> B )
4443adantr 472 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> `' G : D --> B )
45 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> g e. T )
46 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = g -> ( x finSupp W <-> g finSupp W ) )
4746, 26elrab2 3186 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( g e. T <-> ( g e. ( D ^m C ) /\ g finSupp W ) )
4845, 47sylib 201 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( g e. ( D ^m C ) /\ g finSupp W ) )
4948simpld 466 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> g e. ( D ^m C ) )
50 elmapi 7511 . . . . . . . . . . 11 |- ( g e. ( D ^m C ) -> g : C --> D )
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> g : C --> D )
52 fco 5751 . . . . . . . . . 10 |- ( ( `' G : D --> B /\ g : C --> D ) -> ( `' G o. g ) : C --> B )
5344, 51, 52syl2anc 673 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( `' G o. g ) : C --> B )
5453adantrl 730 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( `' G o. g ) : C --> B )
55 fcoi1 5769 . . . . . . . 8 |- ( ( `' G o. g ) : C --> B -> ( ( `' G o. g ) o. ( _I |` C ) ) = ( `' G o. g ) )
5654, 55syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. g ) o. ( _I |` C ) ) = ( `' G o. g ) )
5740, 56eqtrd 2505 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. g ) o. ( `' F o. F ) ) = ( `' G o. g ) )
5836, 57syl5eq 2517 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) o. F ) = ( `' G o. g ) )
5958eqeq2d 2481 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( f o. F ) = ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) o. F ) <-> ( f o. F ) = ( `' G o. g ) ) )
60 coass 5361 . . . . . . 7 |- ( ( `' G o. G ) o. ( f o. F ) ) = ( `' G o. ( G o. ( f o. F ) ) )
612adantr 472 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> G : B -1-1-onto-> D )
62 f1ococnv1 5856 . . . . . . . . . 10 |- ( G : B -1-1-onto-> D -> ( `' G o. G ) = ( _I |` B ) )
6361, 62syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( `' G o. G ) = ( _I |` B ) )
6463coeq1d 5001 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. G ) o. ( f o. F ) ) = ( ( _I |` B ) o. ( f o. F ) ) )
6518adantrr 731 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( f o. F ) : C --> B )
66 fcoi2 5770 . . . . . . . . 9 |- ( ( f o. F ) : C --> B -> ( ( _I |` B ) o. ( f o. F ) ) = ( f o. F ) )
6765, 66syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( _I |` B ) o. ( f o. F ) ) = ( f o. F ) )
6864, 67eqtrd 2505 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. G ) o. ( f o. F ) ) = ( f o. F ) )
6960, 68syl5eqr 2519 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( `' G o. ( G o. ( f o. F ) ) ) = ( f o. F ) )
7069eqeq2d 2481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. g ) = ( `' G o. ( G o. ( f o. F ) ) ) <-> ( `' G o. g ) = ( f o. F ) ) )
71 eqcom 2478 . . . . 5 |- ( ( `' G o. g ) = ( f o. F ) <-> ( f o. F ) = ( `' G o. g ) )
7270, 71syl6bb 269 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. g ) = ( `' G o. ( G o. ( f o. F ) ) ) <-> ( f o. F ) = ( `' G o. g ) ) )
7359, 72bitr4d 264 . . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( f o. F ) = ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) o. F ) <-> ( `' G o. g ) = ( `' G o. ( G o. ( f o. F ) ) ) ) )
74 f1ofo 5835 . . . . 5 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> F : C -onto-> A )
7537, 74syl 17 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> F : C -onto-> A )
76 ffn 5739 . . . . . 6 |- ( f : A --> B -> f Fn A )
7710, 11, 763syl 18 . . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> f Fn A )
7877adantrr 731 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> f Fn A )
79 f1ocnv 5840 . . . . . . . . 9 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> `' F : A -1-1-onto-> C )
80 f1of 5828 . . . . . . . . 9 |- ( `' F : A -1-1-onto-> C -> `' F : A --> C )
8113, 79, 803syl 18 . . . . . . . 8 |- ( ph -> `' F : A --> C )
8281adantr 472 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> `' F : A --> C )
83 fco 5751 . . . . . . 7 |- ( ( ( `' G o. g ) : C --> B /\ `' F : A --> C ) -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) : A --> B )
8453, 82, 83syl2anc 673 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) : A --> B )
85 ffn 5739 . . . . . 6 |- ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) : A --> B -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) Fn A )
8684, 85syl 17 . . . . 5 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) Fn A )
8786adantrl 730 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) Fn A )
88 cocan2 6208 . . . 4 |- ( ( F : C -onto-> A /\ f Fn A /\ ( ( `' G o. g ) o. `' F ) Fn A ) -> ( ( f o. F ) = ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) o. F ) <-> f = ( ( `' G o. g ) o. `' F ) ) )
8975, 78, 87, 88syl3anc 1292 . . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( f o. F ) = ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) o. F ) <-> f = ( ( `' G o. g ) o. `' F ) ) )
902, 41syl 17 . . . . . 6 |- ( ph -> `' G : D -1-1-onto-> B )
9190adantr 472 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> `' G : D -1-1-onto-> B )
92 f1of1 5827 . . . . 5 |- ( `' G : D -1-1-onto-> B -> `' G : D -1-1-> B )
9391, 92syl 17 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> `' G : D -1-1-> B )
9451adantrl 730 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> g : C --> D )
9520adantrr 731 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( G o. ( f o. F ) ) : C --> D )
96 cocan1 6207 . . . 4 |- ( ( `' G : D -1-1-> B /\ g : C --> D /\ ( G o. ( f o. F ) ) : C --> D ) -> ( ( `' G o. g ) = ( `' G o. ( G o. ( f o. F ) ) ) <-> g = ( G o. ( f o. F ) ) ) )
9793, 94, 95, 96syl3anc 1292 . . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. g ) = ( `' G o. ( G o. ( f o. F ) ) ) <-> g = ( G o. ( f o. F ) ) ) )
9873, 89, 973bitr3d 291 . 2 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( f = ( ( `' G o. g ) o. `' F ) <-> g = ( G o. ( f o. F ) ) ) )
991, 34, 35, 98f1o2d 6540 1 |- ( ph -> ( f e. S |-> ( G o. ( f o. F ) ) ) : S -1-1-onto-> T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   {crab 2760   _Vcvv 3031   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   _I cid 4749   `'ccnv 4838   |` cres 4841   o. ccom 4843   Fn wfn 5584   -->wf 5585   -1-1->wf1 5586   -onto->wfo 5587   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ^m cmap 7490   finSupp cfsupp 7901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-1o 7200  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-fin 7591  df-fsupp 7902
This theorem is referenced by:  mapfien2  7940  wemapwe  8220  oef1o  8221  fcobijfs  28386
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