Theorem mapfien 7645

Description: A bijection of the base sets induces a bijection on the set of finitely supported functions. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapfien.s	|- S = { x e. ( B ^m A ) | x finSupp Z }
mapfien.t	|- T = { x e. ( D ^m C ) | x finSupp W }
mapfien.w	|- W = ( G ` Z )
mapfien.f	|- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
mapfien.g	|- ( ph -> G : B -1-1-onto-> D )
mapfien.a	|- ( ph -> A e. _V )
mapfien.b	|- ( ph -> B e. _V )
mapfien.c	|- ( ph -> C e. _V )
mapfien.d	|- ( ph -> D e. _V )
mapfien.z	|- ( ph -> Z e. B )

Assertion

Ref	Expression
mapfien	|- ( ph -> ( f e. S |-> ( G o. ( f o. F ) ) ) : S -1-1-onto-> T )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   x, f, F   f, G, x   ph, f   x, D   S, f   T, f   x, W   x, Z

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( f)   B( f)   C( f)   D( f)   S( x)   T( x)   W( f)   Z( f)

Proof of Theorem mapfien

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2433	. 2 |- ( f e. S |-> ( G o. ( f o. F ) ) ) = ( f e. S |-> ( G o. ( f o. F ) ) )
2		mapfien.g	. . . . . . 7 |- ( ph -> G : B -1-1-onto-> D )
3		f1of 5629	. . . . . . 7 |- ( G : B -1-1-onto-> D -> G : B --> D )
4	2, 3	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> G : B --> D )
5	4	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> G : B --> D )
6		breq1 4283	. . . . . . . . . 10 |- ( x = f -> ( x finSupp Z <-> f finSupp Z ) )
7		mapfien.s	. . . . . . . . . 10 |- S = { x e. ( B ^m A ) | x finSupp Z }
8	6, 7	elrab2 3108	. . . . . . . . 9 |- ( f e. S <-> ( f e. ( B ^m A ) /\ f finSupp Z ) )
9	8	simplbi 457	. . . . . . . 8 |- ( f e. S -> f e. ( B ^m A ) )
10	9	adantl 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> f e. ( B ^m A ) )
11		elmapi 7222	. . . . . . 7 |- ( f e. ( B ^m A ) -> f : A --> B )
12	10, 11	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> f : A --> B )
13		mapfien.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
14		f1of 5629	. . . . . . . 8 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> F : C --> A )
15	13, 14	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : C --> A )
16	15	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> F : C --> A )
17		fco 5556	. . . . . 6 |- ( ( f : A --> B /\ F : C --> A ) -> ( f o. F ) : C --> B )
18	12, 16, 17	syl2anc 654	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> ( f o. F ) : C --> B )
19		fco 5556	. . . . 5 |- ( ( G : B --> D /\ ( f o. F ) : C --> B ) -> ( G o. ( f o. F ) ) : C --> D )
20	5, 18, 19	syl2anc 654	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> ( G o. ( f o. F ) ) : C --> D )
21		mapfien.d	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. _V )
22		mapfien.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. _V )
23		elmapg 7215	. . . . . 6 |- ( ( D e. _V /\ C e. _V ) -> ( ( G o. ( f o. F ) ) e. ( D ^m C ) <-> ( G o. ( f o. F ) ) : C --> D ) )
24	21, 22, 23	syl2anc 654	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( G o. ( f o. F ) ) e. ( D ^m C ) <-> ( G o. ( f o. F ) ) : C --> D ) )
25	24	adantr 462	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> ( ( G o. ( f o. F ) ) e. ( D ^m C ) <-> ( G o. ( f o. F ) ) : C --> D ) )
26	20, 25	mpbird 232	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> ( G o. ( f o. F ) ) e. ( D ^m C ) )
27		mapfien.t	. . . 4 |- T = { x e. ( D ^m C ) | x finSupp W }
28		mapfien.w	. . . 4 |- W = ( G ` Z )
29		mapfien.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. _V )
30		mapfien.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. _V )
31		mapfien.z	. . . 4 |- ( ph -> Z e. B )
32	7, 27, 28, 13, 2, 29, 30, 22, 21, 31	mapfienlem1 7642	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> ( G o. ( f o. F ) ) finSupp W )
33		breq1 4283	. . . 4 |- ( x = ( G o. ( f o. F ) ) -> ( x finSupp W <-> ( G o. ( f o. F ) ) finSupp W ) )
34	33, 27	elrab2 3108	. . 3 |- ( ( G o. ( f o. F ) ) e. T <-> ( ( G o. ( f o. F ) ) e. ( D ^m C ) /\ ( G o. ( f o. F ) ) finSupp W ) )
35	26, 32, 34	sylanbrc 657	. 2 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> ( G o. ( f o. F ) ) e. T )
36	7, 27, 28, 13, 2, 29, 30, 22, 21, 31	mapfienlem3 7644	. 2 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) e. S )
37		coass 5344	. . . . . 6 |- ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) o. F ) = ( ( `' G o. g ) o. ( `' F o. F ) )
38	13	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> F : C -1-1-onto-> A )
39		f1ococnv1 5657	. . . . . . . . 9 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> ( `' F o. F ) = ( _I |` C ) )
40	38, 39	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( `' F o. F ) = ( _I |` C ) )
41	40	coeq2d 4989	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. g ) o. ( `' F o. F ) ) = ( ( `' G o. g ) o. ( _I |` C ) ) )
42		f1ocnv 5641	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G : B -1-1-onto-> D -> `' G : D -1-1-onto-> B )
43		f1of 5629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' G : D -1-1-onto-> B -> `' G : D --> B )
44	2, 42, 43	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> `' G : D --> B )
45	44	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> `' G : D --> B )
46		simpr 458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> g e. T )
47		breq1 4283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = g -> ( x finSupp W <-> g finSupp W ) )
48	47, 27	elrab2 3108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g e. T <-> ( g e. ( D ^m C ) /\ g finSupp W ) )
49	46, 48	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( g e. ( D ^m C ) /\ g finSupp W ) )
50	49	simpld 456	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> g e. ( D ^m C ) )
51		elmapi 7222	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. ( D ^m C ) -> g : C --> D )
52	50, 51	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> g : C --> D )
53		fco 5556	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' G : D --> B /\ g : C --> D ) -> ( `' G o. g ) : C --> B )
54	45, 52, 53	syl2anc 654	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( `' G o. g ) : C --> B )
55	54	adantrl 708	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( `' G o. g ) : C --> B )
56		fcoi1 5573	. . . . . . . 8 |- ( ( `' G o. g ) : C --> B -> ( ( `' G o. g ) o. ( _I |` C ) ) = ( `' G o. g ) )
57	55, 56	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. g ) o. ( _I |` C ) ) = ( `' G o. g ) )
58	41, 57	eqtrd 2465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. g ) o. ( `' F o. F ) ) = ( `' G o. g ) )
59	37, 58	syl5eq 2477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) o. F ) = ( `' G o. g ) )
60	59	eqeq2d 2444	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( f o. F ) = ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) o. F ) <-> ( f o. F ) = ( `' G o. g ) ) )
61		coass 5344	. . . . . . 7 |- ( ( `' G o. G ) o. ( f o. F ) ) = ( `' G o. ( G o. ( f o. F ) ) )
62	2	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> G : B -1-1-onto-> D )
63		f1ococnv1 5657	. . . . . . . . . 10 |- ( G : B -1-1-onto-> D -> ( `' G o. G ) = ( _I |` B ) )
64	62, 63	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( `' G o. G ) = ( _I |` B ) )
65	64	coeq1d 4988	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. G ) o. ( f o. F ) ) = ( ( _I |` B ) o. ( f o. F ) ) )
66	18	adantrr 709	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( f o. F ) : C --> B )
67		fcoi2 5574	. . . . . . . . 9 |- ( ( f o. F ) : C --> B -> ( ( _I |` B ) o. ( f o. F ) ) = ( f o. F ) )
68	66, 67	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( _I |` B ) o. ( f o. F ) ) = ( f o. F ) )
69	65, 68	eqtrd 2465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. G ) o. ( f o. F ) ) = ( f o. F ) )
70	61, 69	syl5eqr 2479	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( `' G o. ( G o. ( f o. F ) ) ) = ( f o. F ) )
71	70	eqeq2d 2444	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. g ) = ( `' G o. ( G o. ( f o. F ) ) ) <-> ( `' G o. g ) = ( f o. F ) ) )
72		eqcom 2435	. . . . 5 |- ( ( `' G o. g ) = ( f o. F ) <-> ( f o. F ) = ( `' G o. g ) )
73	71, 72	syl6bb 261	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. g ) = ( `' G o. ( G o. ( f o. F ) ) ) <-> ( f o. F ) = ( `' G o. g ) ) )
74	60, 73	bitr4d 256	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( f o. F ) = ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) o. F ) <-> ( `' G o. g ) = ( `' G o. ( G o. ( f o. F ) ) ) ) )
75		f1ofo 5636	. . . . 5 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> F : C -onto-> A )
76	38, 75	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> F : C -onto-> A )
77		ffn 5547	. . . . . 6 |- ( f : A --> B -> f Fn A )
78	10, 11, 77	3syl 20	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> f Fn A )
79	78	adantrr 709	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> f Fn A )
80		f1ocnv 5641	. . . . . . . . 9 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> `' F : A -1-1-onto-> C )
81		f1of 5629	. . . . . . . . 9 |- ( `' F : A -1-1-onto-> C -> `' F : A --> C )
82	13, 80, 81	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ph -> `' F : A --> C )
83	82	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> `' F : A --> C )
84		fco 5556	. . . . . . 7 |- ( ( ( `' G o. g ) : C --> B /\ `' F : A --> C ) -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) : A --> B )
85	54, 83, 84	syl2anc 654	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) : A --> B )
86		ffn 5547	. . . . . 6 |- ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) : A --> B -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) Fn A )
87	85, 86	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) Fn A )
88	87	adantrl 708	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) Fn A )
89		cocan2 5983	. . . 4 |- ( ( F : C -onto-> A /\ f Fn A /\ ( ( `' G o. g ) o. `' F ) Fn A ) -> ( ( f o. F ) = ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) o. F ) <-> f = ( ( `' G o. g ) o. `' F ) ) )
90	76, 79, 88, 89	syl3anc 1211	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( f o. F ) = ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) o. F ) <-> f = ( ( `' G o. g ) o. `' F ) ) )
91	2, 42	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> `' G : D -1-1-onto-> B )
92	91	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> `' G : D -1-1-onto-> B )
93		f1of1 5628	. . . . 5 |- ( `' G : D -1-1-onto-> B -> `' G : D -1-1-> B )
94	92, 93	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> `' G : D -1-1-> B )
95	52	adantrl 708	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> g : C --> D )
96	20	adantrr 709	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( G o. ( f o. F ) ) : C --> D )
97		cocan1 5982	. . . 4 |- ( ( `' G : D -1-1-> B /\ g : C --> D /\ ( G o. ( f o. F ) ) : C --> D ) -> ( ( `' G o. g ) = ( `' G o. ( G o. ( f o. F ) ) ) <-> g = ( G o. ( f o. F ) ) ) )
98	94, 95, 96, 97	syl3anc 1211	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. g ) = ( `' G o. ( G o. ( f o. F ) ) ) <-> g = ( G o. ( f o. F ) ) ) )
99	74, 90, 98	3bitr3d 283	. 2 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( f = ( ( `' G o. g ) o. `' F ) <-> g = ( G o. ( f o. F ) ) ) )
100	1, 35, 36, 99	f1o2d 6301	1 |- ( ph -> ( f e. S |-> ( G o. ( f o. F ) ) ) : S -1-1-onto-> T )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1362   e. wcel 1755   {crab 2709   _Vcvv 2962   class class class wbr 4280   e. cmpt 4338   _I cid 4618   `'ccnv 4826   |` cres 4829   o. ccom 4831   Fn wfn 5401   -->wf 5402   -1-1->wf1 5403   -onto->wfo 5404   -1-1-onto->wf1o 5405   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   ^m cmap 7202   finSupp cfsupp 7608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-1o 6908  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-fin 7302  df-fsupp 7609

This theorem is referenced by:  mapfien2  7646  wemapwe  7916  oef1o  7918