Theorem mapfien 7856

Description: A bijection of the base sets induces a bijection on the set of finitely supported functions. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapfien.s	|- S = { x e. ( B ^m A ) | x finSupp Z }
mapfien.t	|- T = { x e. ( D ^m C ) | x finSupp W }
mapfien.w	|- W = ( G ` Z )
mapfien.f	|- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
mapfien.g	|- ( ph -> G : B -1-1-onto-> D )
mapfien.a	|- ( ph -> A e. _V )
mapfien.b	|- ( ph -> B e. _V )
mapfien.c	|- ( ph -> C e. _V )
mapfien.d	|- ( ph -> D e. _V )
mapfien.z	|- ( ph -> Z e. B )

Assertion

Ref	Expression
mapfien	|- ( ph -> ( f e. S |-> ( G o. ( f o. F ) ) ) : S -1-1-onto-> T )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   x, f, F   f, G, x   ph, f   x, D   S, f   T, f   x, W   x, Z

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( f)   B( f)   C( f)   D( f)   S( x)   T( x)   W( f)   Z( f)

Proof of Theorem mapfien

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2460	. 2 |- ( f e. S |-> ( G o. ( f o. F ) ) ) = ( f e. S |-> ( G o. ( f o. F ) ) )
2		mapfien.g	. . . . . . 7 |- ( ph -> G : B -1-1-onto-> D )
3		f1of 5807	. . . . . . 7 |- ( G : B -1-1-onto-> D -> G : B --> D )
4	2, 3	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> G : B --> D )
5	4	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> G : B --> D )
6		breq1 4443	. . . . . . . . . 10 |- ( x = f -> ( x finSupp Z <-> f finSupp Z ) )
7		mapfien.s	. . . . . . . . . 10 |- S = { x e. ( B ^m A ) | x finSupp Z }
8	6, 7	elrab2 3256	. . . . . . . . 9 |- ( f e. S <-> ( f e. ( B ^m A ) /\ f finSupp Z ) )
9	8	simplbi 460	. . . . . . . 8 |- ( f e. S -> f e. ( B ^m A ) )
10	9	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> f e. ( B ^m A ) )
11		elmapi 7430	. . . . . . 7 |- ( f e. ( B ^m A ) -> f : A --> B )
12	10, 11	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> f : A --> B )
13		mapfien.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
14		f1of 5807	. . . . . . . 8 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> F : C --> A )
15	13, 14	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : C --> A )
16	15	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> F : C --> A )
17		fco 5732	. . . . . 6 |- ( ( f : A --> B /\ F : C --> A ) -> ( f o. F ) : C --> B )
18	12, 16, 17	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> ( f o. F ) : C --> B )
19		fco 5732	. . . . 5 |- ( ( G : B --> D /\ ( f o. F ) : C --> B ) -> ( G o. ( f o. F ) ) : C --> D )
20	5, 18, 19	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> ( G o. ( f o. F ) ) : C --> D )
21		mapfien.d	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. _V )
22		mapfien.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. _V )
23		elmapg 7423	. . . . . 6 |- ( ( D e. _V /\ C e. _V ) -> ( ( G o. ( f o. F ) ) e. ( D ^m C ) <-> ( G o. ( f o. F ) ) : C --> D ) )
24	21, 22, 23	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( G o. ( f o. F ) ) e. ( D ^m C ) <-> ( G o. ( f o. F ) ) : C --> D ) )
25	24	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> ( ( G o. ( f o. F ) ) e. ( D ^m C ) <-> ( G o. ( f o. F ) ) : C --> D ) )
26	20, 25	mpbird 232	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> ( G o. ( f o. F ) ) e. ( D ^m C ) )
27		mapfien.t	. . . 4 |- T = { x e. ( D ^m C ) | x finSupp W }
28		mapfien.w	. . . 4 |- W = ( G ` Z )
29		mapfien.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. _V )
30		mapfien.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. _V )
31		mapfien.z	. . . 4 |- ( ph -> Z e. B )
32	7, 27, 28, 13, 2, 29, 30, 22, 21, 31	mapfienlem1 7853	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> ( G o. ( f o. F ) ) finSupp W )
33		breq1 4443	. . . 4 |- ( x = ( G o. ( f o. F ) ) -> ( x finSupp W <-> ( G o. ( f o. F ) ) finSupp W ) )
34	33, 27	elrab2 3256	. . 3 |- ( ( G o. ( f o. F ) ) e. T <-> ( ( G o. ( f o. F ) ) e. ( D ^m C ) /\ ( G o. ( f o. F ) ) finSupp W ) )
35	26, 32, 34	sylanbrc 664	. 2 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> ( G o. ( f o. F ) ) e. T )
36	7, 27, 28, 13, 2, 29, 30, 22, 21, 31	mapfienlem3 7855	. 2 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) e. S )
37		coass 5517	. . . . . 6 |- ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) o. F ) = ( ( `' G o. g ) o. ( `' F o. F ) )
38	13	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> F : C -1-1-onto-> A )
39		f1ococnv1 5835	. . . . . . . . 9 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> ( `' F o. F ) = ( _I |` C ) )
40	38, 39	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( `' F o. F ) = ( _I |` C ) )
41	40	coeq2d 5156	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. g ) o. ( `' F o. F ) ) = ( ( `' G o. g ) o. ( _I |` C ) ) )
42		f1ocnv 5819	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G : B -1-1-onto-> D -> `' G : D -1-1-onto-> B )
43		f1of 5807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' G : D -1-1-onto-> B -> `' G : D --> B )
44	2, 42, 43	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> `' G : D --> B )
45	44	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> `' G : D --> B )
46		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> g e. T )
47		breq1 4443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = g -> ( x finSupp W <-> g finSupp W ) )
48	47, 27	elrab2 3256	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g e. T <-> ( g e. ( D ^m C ) /\ g finSupp W ) )
49	46, 48	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( g e. ( D ^m C ) /\ g finSupp W ) )
50	49	simpld 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> g e. ( D ^m C ) )
51		elmapi 7430	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. ( D ^m C ) -> g : C --> D )
52	50, 51	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> g : C --> D )
53		fco 5732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' G : D --> B /\ g : C --> D ) -> ( `' G o. g ) : C --> B )
54	45, 52, 53	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( `' G o. g ) : C --> B )
55	54	adantrl 715	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( `' G o. g ) : C --> B )
56		fcoi1 5750	. . . . . . . 8 |- ( ( `' G o. g ) : C --> B -> ( ( `' G o. g ) o. ( _I |` C ) ) = ( `' G o. g ) )
57	55, 56	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. g ) o. ( _I |` C ) ) = ( `' G o. g ) )
58	41, 57	eqtrd 2501	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. g ) o. ( `' F o. F ) ) = ( `' G o. g ) )
59	37, 58	syl5eq 2513	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) o. F ) = ( `' G o. g ) )
60	59	eqeq2d 2474	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( f o. F ) = ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) o. F ) <-> ( f o. F ) = ( `' G o. g ) ) )
61		coass 5517	. . . . . . 7 |- ( ( `' G o. G ) o. ( f o. F ) ) = ( `' G o. ( G o. ( f o. F ) ) )
62	2	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> G : B -1-1-onto-> D )
63		f1ococnv1 5835	. . . . . . . . . 10 |- ( G : B -1-1-onto-> D -> ( `' G o. G ) = ( _I |` B ) )
64	62, 63	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( `' G o. G ) = ( _I |` B ) )
65	64	coeq1d 5155	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. G ) o. ( f o. F ) ) = ( ( _I |` B ) o. ( f o. F ) ) )
66	18	adantrr 716	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( f o. F ) : C --> B )
67		fcoi2 5751	. . . . . . . . 9 |- ( ( f o. F ) : C --> B -> ( ( _I |` B ) o. ( f o. F ) ) = ( f o. F ) )
68	66, 67	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( _I |` B ) o. ( f o. F ) ) = ( f o. F ) )
69	65, 68	eqtrd 2501	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. G ) o. ( f o. F ) ) = ( f o. F ) )
70	61, 69	syl5eqr 2515	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( `' G o. ( G o. ( f o. F ) ) ) = ( f o. F ) )
71	70	eqeq2d 2474	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. g ) = ( `' G o. ( G o. ( f o. F ) ) ) <-> ( `' G o. g ) = ( f o. F ) ) )
72		eqcom 2469	. . . . 5 |- ( ( `' G o. g ) = ( f o. F ) <-> ( f o. F ) = ( `' G o. g ) )
73	71, 72	syl6bb 261	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. g ) = ( `' G o. ( G o. ( f o. F ) ) ) <-> ( f o. F ) = ( `' G o. g ) ) )
74	60, 73	bitr4d 256	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( f o. F ) = ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) o. F ) <-> ( `' G o. g ) = ( `' G o. ( G o. ( f o. F ) ) ) ) )
75		f1ofo 5814	. . . . 5 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> F : C -onto-> A )
76	38, 75	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> F : C -onto-> A )
77		ffn 5722	. . . . . 6 |- ( f : A --> B -> f Fn A )
78	10, 11, 77	3syl 20	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> f Fn A )
79	78	adantrr 716	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> f Fn A )
80		f1ocnv 5819	. . . . . . . . 9 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> `' F : A -1-1-onto-> C )
81		f1of 5807	. . . . . . . . 9 |- ( `' F : A -1-1-onto-> C -> `' F : A --> C )
82	13, 80, 81	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ph -> `' F : A --> C )
83	82	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> `' F : A --> C )
84		fco 5732	. . . . . . 7 |- ( ( ( `' G o. g ) : C --> B /\ `' F : A --> C ) -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) : A --> B )
85	54, 83, 84	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) : A --> B )
86		ffn 5722	. . . . . 6 |- ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) : A --> B -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) Fn A )
87	85, 86	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ph /\ g e. T ) -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) Fn A )
88	87	adantrl 715	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. g ) o. `' F ) Fn A )
89		cocan2 6174	. . . 4 |- ( ( F : C -onto-> A /\ f Fn A /\ ( ( `' G o. g ) o. `' F ) Fn A ) -> ( ( f o. F ) = ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) o. F ) <-> f = ( ( `' G o. g ) o. `' F ) ) )
90	76, 79, 88, 89	syl3anc 1223	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( f o. F ) = ( ( ( `' G o. g ) o. `' F ) o. F ) <-> f = ( ( `' G o. g ) o. `' F ) ) )
91	2, 42	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> `' G : D -1-1-onto-> B )
92	91	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> `' G : D -1-1-onto-> B )
93		f1of1 5806	. . . . 5 |- ( `' G : D -1-1-onto-> B -> `' G : D -1-1-> B )
94	92, 93	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> `' G : D -1-1-> B )
95	52	adantrl 715	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> g : C --> D )
96	20	adantrr 716	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( G o. ( f o. F ) ) : C --> D )
97		cocan1 6173	. . . 4 |- ( ( `' G : D -1-1-> B /\ g : C --> D /\ ( G o. ( f o. F ) ) : C --> D ) -> ( ( `' G o. g ) = ( `' G o. ( G o. ( f o. F ) ) ) <-> g = ( G o. ( f o. F ) ) ) )
98	94, 95, 96, 97	syl3anc 1223	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( ( `' G o. g ) = ( `' G o. ( G o. ( f o. F ) ) ) <-> g = ( G o. ( f o. F ) ) ) )
99	74, 90, 98	3bitr3d 283	. 2 |- ( ( ph /\ ( f e. S /\ g e. T ) ) -> ( f = ( ( `' G o. g ) o. `' F ) <-> g = ( G o. ( f o. F ) ) ) )
100	1, 35, 36, 99	f1o2d 6502	1 |- ( ph -> ( f e. S |-> ( G o. ( f o. F ) ) ) : S -1-1-onto-> T )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   {crab 2811   _Vcvv 3106   class class class wbr 4440   |-> cmpt 4498   _I cid 4783   `'ccnv 4991   |` cres 4994   o. ccom 4996   Fn wfn 5574   -->wf 5575   -1-1->wf1 5576   -onto->wfo 5577   -1-1-onto->wf1o 5578   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   ^m cmap 7410   finSupp cfsupp 7818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-1o 7120  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-fin 7510  df-fsupp 7819

This theorem is referenced by:  mapfien2  7857  wemapwe  8128  oef1o  8130  fcobijfs  27207