MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapfi Structured version   Unicode version

Theorem mapfi 7828
Description: Set exponentiation of finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
mapfi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  ^m  B
)  e.  Fin )

Proof of Theorem mapfi
StepHypRef Expression
1 xpfi 7803 . . . 4  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( B  X.  A
)  e.  Fin )
21ancoms 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( B  X.  A
)  e.  Fin )
3 pwfi 7827 . . 3  |-  ( ( B  X.  A )  e.  Fin  <->  ~P ( B  X.  A )  e. 
Fin )
42, 3sylib 196 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ~P ( B  X.  A )  e.  Fin )
5 mapsspw 7466 . 2  |-  ( A  ^m  B )  C_  ~P ( B  X.  A
)
6 ssfi 7752 . 2  |-  ( ( ~P ( B  X.  A )  e.  Fin  /\  ( A  ^m  B
)  C_  ~P ( B  X.  A ) )  ->  ( A  ^m  B )  e.  Fin )
74, 5, 6sylancl 662 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  ^m  B
)  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767    C_ wss 3481   ~Pcpw 4016    X. cxp 5003  (class class class)co 6295    ^m cmap 7432   Fincfn 7528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532
This theorem is referenced by:  ixpfi  7829  hashmap  12474  hashpw  12475  hashf1lem2  12486  prmreclem2  14311  vdwlem10  14384  symgbasfi  16283  aannenlem1  22591  birthdaylem1  23147  dchrfi  23396  deranglem  28426
  Copyright terms: Public domain W3C validator