Theorem mapfi 15727

Description: Set exponentiation of finite sets is finite.

Assertion

Ref	Expression
mapfi	|- ((A e. Fin /\ B e. Fin) -> (A ^m B) e. Fin)

Proof of Theorem mapfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fixp 10180	. . . 4 |- ((B e. Fin /\ A e. Fin) -> (B X. A) e. Fin)
2	1	ancoms 484	. . 3 |- ((A e. Fin /\ B e. Fin) -> (B X. A) e. Fin)
3		pwfi 5661	. . 3 |- ((B X. A) e. Fin <-> ~P(B X. A) e. Fin)
4	2, 3	sylib 215	. 2 |- ((A e. Fin /\ B e. Fin) -> ~P(B X. A) e. Fin)
5		mapsspw 5400	. . 3 |- (B e. Fin -> (A ^m B) C_ ~P(B X. A))
6	5	adantl 424	. 2 |- ((A e. Fin /\ B e. Fin) -> (A ^m B) C_ ~P(B X. A))
7		ssfi 5630	. 2 |- ((~P(B X. A) e. Fin /\ (A ^m B) C_ ~P(B X. A)) -> (A ^m B) e. Fin)
8	4, 6, 7	syl11anc 524	1 |- ((A e. Fin /\ B e. Fin) -> (A ^m B) e. Fin)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   e. wcel 1300   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032   X. cxp 3984  (class class class)co 4884   ^m cmap 5381  Fincfn 5426

This theorem is referenced by:  ixpfi 15728

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-2o 5178  df-oadd 5179  df-er 5318  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430

Copyright terms: Public domain