Theorem mapen 5585

Description: Two set exponentiations are equinumerous when their bases and exponents are equinumerous. Theorem 6H(c) of [Enderton] p. 139.

Hypotheses

Ref	Expression
mapen.1	|- A e. _V
mapen.2	|- B e. _V
mapen.3	|- C e. _V
mapen.4	|- D e. _V

Assertion

Ref	Expression
mapen	|- ((A ~~ B /\ C ~~ D) -> (A ^m C) ~~ (B ^m D))

Proof of Theorem mapen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapen.1	. . . . . . . 8 |- A e. _V
2		mapen.2	. . . . . . . 8 |- B e. _V
3		mapen.3	. . . . . . . 8 |- C e. _V
4		mapen.4	. . . . . . . 8 |- D e. _V
5		eqid 1884	. . . . . . . 8 |- {<.x, y>. | (x e. (A ^m C) /\ y = ((f o. x) o. `'g))} = {<.x, y>. | (x e. (A ^m C) /\ y = ((f o. x) o. `'g))}
6	1, 2, 3, 4, 5	mapenlem2 5584	. . . . . . 7 |- ((f:A-1-1-onto->B /\ g:C-1-1-onto->D) -> {<.x, y>. | (x e. (A ^m C) /\ y = ((f o. x) o. `'g))}:(A ^m C)-1-1-onto->(B ^m D))
7		oprex 4907	. . . . . . . 8 |- (A ^m C) e. _V
8	7	f1oen 5457	. . . . . . 7 |- ({<.x, y>. | (x e. (A ^m C) /\ y = ((f o. x) o. `'g))}:(A ^m C)-1-1-onto->(B ^m D) -> (A ^m C) ~~ (B ^m D))
9	6, 8	syl 12	. . . . . 6 |- ((f:A-1-1-onto->B /\ g:C-1-1-onto->D) -> (A ^m C) ~~ (B ^m D))
10	9	ex 402	. . . . 5 |- (f:A-1-1-onto->B -> (g:C-1-1-onto->D -> (A ^m C) ~~ (B ^m D)))
11	10	19.23aiv 1674	. . . 4 |- (E.f f:A-1-1-onto->B -> (g:C-1-1-onto->D -> (A ^m C) ~~ (B ^m D)))
12	11	19.23adv 1584	. . 3 |- (E.f f:A-1-1-onto->B -> (E.g g:C-1-1-onto->D -> (A ^m C) ~~ (B ^m D)))
13	12	imp 377	. 2 |- ((E.f f:A-1-1-onto->B /\ E.g g:C-1-1-onto->D) -> (A ^m C) ~~ (B ^m D))
14	2	bren 5436	. 2 |- (A ~~ B <-> E.f f:A-1-1-onto->B)
15	4	bren 5436	. 2 |- (C ~~ D <-> E.g g:C-1-1-onto->D)
16	13, 14, 15	syl2anb 504	1 |- ((A ~~ B /\ C ~~ D) -> (A ^m C) ~~ (B ^m D))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  {copab 3395  `'ccnv 3985   o. ccom 3990  -1-1-onto->wf1o 3997  (class class class)co 4884   ^m cmap 5381   ~~ cen 5423

This theorem is referenced by:  mapdom1 5586  mapdom2 5588  pwen 5597  mapcdaen 6082  infmap1 8842

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-map 5383  df-en 5427

Copyright terms: Public domain