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Theorem mapen 7678
Description: Two set exponentiations are equinumerous when their bases and exponents are equinumerous. Theorem 6H(c) of [Enderton] p. 139. (Contributed by NM, 16-Dec-2003.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapen  |-  ( ( A  ~~  B  /\  C  ~~  D )  -> 
( A  ^m  C
)  ~~  ( B  ^m  D ) )

Proof of Theorem mapen
Dummy variables  f 
g  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 7522 . 2  |-  ( A 
~~  B  <->  E. f 
f : A -1-1-onto-> B )
2 bren 7522 . 2  |-  ( C 
~~  D  <->  E. g 
g : C -1-1-onto-> D )
3 eeanv 1957 . . 3  |-  ( E. f E. g ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  <->  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  /\  E. g  g : C -1-1-onto-> D ) )
4 ovex 6307 . . . . . 6  |-  ( A  ^m  C )  e. 
_V
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  ( A  ^m  C )  e. 
_V )
6 ovex 6307 . . . . . 6  |-  ( B  ^m  D )  e. 
_V
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  ( B  ^m  D )  e. 
_V )
8 elmapi 7437 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( A  ^m  C )  ->  x : C --> A )
9 f1of 5814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  f : A
--> B )
109adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  f : A --> B )
11 fco 5739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A --> B  /\  x : C --> A )  ->  ( f  o.  x ) : C --> B )
1210, 11sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  x : C --> A )  ->  (
f  o.  x ) : C --> B )
13 f1ocnv 5826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : C -1-1-onto-> D  ->  `' g : D -1-1-onto-> C )
1413adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  `' g : D -1-1-onto-> C )
15 f1of 5814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' g : D -1-1-onto-> C  ->  `' g : D --> C )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  `' g : D --> C )
1716adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  x : C --> A )  ->  `' g : D --> C )
18 fco 5739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  o.  x
) : C --> B  /\  `' g : D --> C )  ->  (
( f  o.  x
)  o.  `' g ) : D --> B )
1912, 17, 18syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  x : C --> A )  ->  (
( f  o.  x
)  o.  `' g ) : D --> B )
2019ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
x : C --> A  -> 
( ( f  o.  x )  o.  `' g ) : D --> B ) )
218, 20syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
x  e.  ( A  ^m  C )  -> 
( ( f  o.  x )  o.  `' g ) : D --> B ) )
22 f1ofo 5821 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  f : A -onto-> B )
2322adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  f : A -onto-> B )
24 forn 5796 . . . . . . . . 9  |-  ( f : A -onto-> B  ->  ran  f  =  B
)
2523, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  ran  f  =  B )
26 vex 3116 . . . . . . . . 9  |-  f  e. 
_V
2726rnex 6715 . . . . . . . 8  |-  ran  f  e.  _V
2825, 27syl6eqelr 2564 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  B  e.  _V )
29 f1ofo 5821 . . . . . . . . . 10  |-  ( g : C -1-1-onto-> D  ->  g : C -onto-> D )
3029adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  g : C -onto-> D )
31 forn 5796 . . . . . . . . 9  |-  ( g : C -onto-> D  ->  ran  g  =  D
)
3230, 31syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  ran  g  =  D )
33 vex 3116 . . . . . . . . 9  |-  g  e. 
_V
3433rnex 6715 . . . . . . . 8  |-  ran  g  e.  _V
3532, 34syl6eqelr 2564 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  D  e.  _V )
36 elmapg 7430 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  _V  /\  D  e.  _V )  ->  ( ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  e.  ( B  ^m  D
)  <->  ( ( f  o.  x )  o.  `' g ) : D --> B ) )
3728, 35, 36syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
( ( f  o.  x )  o.  `' g )  e.  ( B  ^m  D )  <-> 
( ( f  o.  x )  o.  `' g ) : D --> B ) )
3821, 37sylibrd 234 . . . . 5  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
x  e.  ( A  ^m  C )  -> 
( ( f  o.  x )  o.  `' g )  e.  ( B  ^m  D ) ) )
39 elmapi 7437 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( B  ^m  D )  ->  y : D --> B )
40 f1ocnv 5826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  `' f : B -1-1-onto-> A )
4140adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  `' f : B -1-1-onto-> A )
42 f1of 5814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' f : B -1-1-onto-> A  ->  `' f : B --> A )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  `' f : B --> A )
4443adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  y : D --> B )  ->  `' f : B --> A )
45 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( y : D --> B  -> 
y : D --> B )
46 f1of 5814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g : C -1-1-onto-> D  ->  g : C
--> D )
4746adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  g : C --> D )
48 fco 5739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y : D --> B  /\  g : C --> D )  ->  ( y  o.  g ) : C --> B )
4945, 47, 48syl2anr 478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  y : D --> B )  ->  (
y  o.  g ) : C --> B )
50 fco 5739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' f : B --> A  /\  ( y  o.  g ) : C --> B )  ->  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) : C --> A )
5144, 49, 50syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  y : D --> B )  ->  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) : C --> A )
5251ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
y : D --> B  -> 
( `' f  o.  ( y  o.  g
) ) : C --> A ) )
5339, 52syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
y  e.  ( B  ^m  D )  -> 
( `' f  o.  ( y  o.  g
) ) : C --> A ) )
54 f1odm 5818 . . . . . . . . 9  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  dom  f  =  A )
5554adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  dom  f  =  A )
5626dmex 6714 . . . . . . . 8  |-  dom  f  e.  _V
5755, 56syl6eqelr 2564 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  A  e.  _V )
58 f1odm 5818 . . . . . . . . 9  |-  ( g : C -1-1-onto-> D  ->  dom  g  =  C )
5958adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  dom  g  =  C )
6033dmex 6714 . . . . . . . 8  |-  dom  g  e.  _V
6159, 60syl6eqelr 2564 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  C  e.  _V )
62 elmapg 7430 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( ( `' f  o.  ( y  o.  g ) )  e.  ( A  ^m  C
)  <->  ( `' f  o.  ( y  o.  g ) ) : C --> A ) )
6357, 61, 62syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
( `' f  o.  ( y  o.  g
) )  e.  ( A  ^m  C )  <-> 
( `' f  o.  ( y  o.  g
) ) : C --> A ) )
6453, 63sylibrd 234 . . . . 5  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
y  e.  ( B  ^m  D )  -> 
( `' f  o.  ( y  o.  g
) )  e.  ( A  ^m  C ) ) )
65 coass 5524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  o.  `' f )  o.  ( y  o.  g ) )  =  ( f  o.  ( `' f  o.  ( y  o.  g
) ) )
66 f1ococnv2 5840 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  ( f  o.  `' f )  =  (  _I  |`  B ) )
6766ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( f  o.  `' f )  =  (  _I  |`  B ) )
6867coeq1d 5162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  `' f )  o.  ( y  o.  g ) )  =  ( (  _I  |`  B )  o.  ( y  o.  g ) ) )
6949adantrl 715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( y  o.  g ) : C --> B )
70 fcoi2 5758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  o.  g ) : C --> B  -> 
( (  _I  |`  B )  o.  ( y  o.  g ) )  =  ( y  o.  g
) )
7169, 70syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( (  _I  |`  B )  o.  (
y  o.  g ) )  =  ( y  o.  g ) )
7268, 71eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  `' f )  o.  ( y  o.  g ) )  =  ( y  o.  g
) )
7365, 72syl5eqr 2522 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( f  o.  ( `' f  o.  ( y  o.  g
) ) )  =  ( y  o.  g
) )
7473eqeq2d 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  x )  =  ( f  o.  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) )  <->  ( f  o.  x )  =  ( y  o.  g ) ) )
75 coass 5524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  o.  x
)  o.  `' g )  o.  g )  =  ( ( f  o.  x )  o.  ( `' g  o.  g ) )
76 f1ococnv1 5842 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : C -1-1-onto-> D  ->  ( `' g  o.  g )  =  (  _I  |`  C ) )
7776ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( `' g  o.  g )  =  (  _I  |`  C ) )
7877coeq2d 5163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  x )  o.  ( `' g  o.  g ) )  =  ( ( f  o.  x )  o.  (  _I  |`  C ) ) )
7912adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( f  o.  x ) : C --> B )
80 fcoi1 5757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  o.  x ) : C --> B  -> 
( ( f  o.  x )  o.  (  _I  |`  C ) )  =  ( f  o.  x ) )
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  x )  o.  (  _I  |`  C ) )  =  ( f  o.  x ) )
8278, 81eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  x )  o.  ( `' g  o.  g ) )  =  ( f  o.  x
) )
8375, 82syl5eq 2520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  o.  g )  =  ( f  o.  x
) )
8483eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( y  o.  g )  =  ( ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  o.  g )  <->  ( y  o.  g )  =  ( f  o.  x ) ) )
85 eqcom 2476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  o.  g )  =  ( f  o.  x )  <->  ( f  o.  x )  =  ( y  o.  g ) )
8684, 85syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( y  o.  g )  =  ( ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  o.  g )  <->  ( f  o.  x )  =  ( y  o.  g ) ) )
8774, 86bitr4d 256 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  x )  =  ( f  o.  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) )  <->  ( y  o.  g )  =  ( ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  o.  g
) ) )
88 f1of1 5813 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  f : A -1-1-> B )
8988ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  f : A -1-1-> B )
90 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  x : C --> A )
9151adantrl 715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( `' f  o.  ( y  o.  g ) ) : C --> A )
92 cocan1 6180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A -1-1-> B  /\  x : C --> A  /\  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) : C --> A )  ->  ( ( f  o.  x )  =  ( f  o.  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) )  <->  x  =  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) ) )
9389, 90, 91, 92syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  x )  =  ( f  o.  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) )  <->  x  =  ( `' f  o.  (
y  o.  g ) ) ) )
9430adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  g : C -onto-> D )
95 ffn 5729 . . . . . . . . . 10  |-  ( y : D --> B  -> 
y  Fn  D )
9695ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  y  Fn  D
)
9719adantrr 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  x )  o.  `' g ) : D --> B )
98 ffn 5729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  o.  x
)  o.  `' g ) : D --> B  -> 
( ( f  o.  x )  o.  `' g )  Fn  D
)
9997, 98syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  Fn  D )
100 cocan2 6181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g : C -onto-> D  /\  y  Fn  D  /\  ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  Fn  D
)  ->  ( (
y  o.  g )  =  ( ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  o.  g )  <->  y  =  ( ( f  o.  x )  o.  `' g ) ) )
10194, 96, 99, 100syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( ( y  o.  g )  =  ( ( ( f  o.  x )  o.  `' g )  o.  g )  <->  y  =  ( ( f  o.  x )  o.  `' g ) ) )
10287, 93, 1013bitr3d 283 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  /\  ( x : C --> A  /\  y : D --> B ) )  ->  ( x  =  ( `' f  o.  ( y  o.  g
) )  <->  y  =  ( ( f  o.  x )  o.  `' g ) ) )
103102ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
( x : C --> A  /\  y : D --> B )  ->  (
x  =  ( `' f  o.  ( y  o.  g ) )  <-> 
y  =  ( ( f  o.  x )  o.  `' g ) ) ) )
1048, 39, 103syl2ani 656 . . . . 5  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  (
( x  e.  ( A  ^m  C )  /\  y  e.  ( B  ^m  D ) )  ->  ( x  =  ( `' f  o.  ( y  o.  g ) )  <->  y  =  ( ( f  o.  x )  o.  `' g ) ) ) )
1055, 7, 38, 64, 104en3d 7549 . . . 4  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  ( A  ^m  C )  ~~  ( B  ^m  D ) )
106105exlimivv 1699 . . 3  |-  ( E. f E. g ( f : A -1-1-onto-> B  /\  g : C -1-1-onto-> D )  ->  ( A  ^m  C )  ~~  ( B  ^m  D ) )
1073, 106sylbir 213 . 2  |-  ( ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  /\  E. g 
g : C -1-1-onto-> D )  ->  ( A  ^m  C )  ~~  ( B  ^m  D ) )
1081, 2, 107syl2anb 479 1  |-  ( ( A  ~~  B  /\  C  ~~  D )  -> 
( A  ^m  C
)  ~~  ( B  ^m  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   class class class wbr 4447    _I cid 4790   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000    |` cres 5001    o. ccom 5003    Fn wfn 5581   -->wf 5582   -1-1->wf1 5583   -onto->wfo 5584   -1-1-onto->wf1o 5585  (class class class)co 6282    ^m cmap 7417    ~~ cen 7510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-map 7419  df-en 7514
This theorem is referenced by:  mapdom1  7679  mapdom2  7685  pwen  7687  mappwen  8489  mapcdaen  8560  cfpwsdom  8955  rpnnen  13817  rexpen  13818
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