Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdunirnN Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mapdunirnN 35218
Description: Union of the range of the map defined by df-mapd 35193. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdrn.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdrn.o  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
mapdrn.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdrn.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdrn.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
mapdrn.l  |-  L  =  (LKer `  U )
mapdunirn.c  |-  C  =  { g  e.  F  |  ( O `  ( O `  ( L `
 g ) ) )  =  ( L `
 g ) }
mapdunirn.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
mapdunirnN  |-  ( ph  ->  U. ran  M  =  C )
Distinct variable groups:    g, F    g, K    g, L    g, O    U, g    g, W
Allowed substitution hints:    ph( g)    C( g)    H( g)    M( g)

Proof of Theorem mapdunirnN
StepHypRef Expression
1 mapdrn.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdrn.o . . . 4  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 mapdrn.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
4 mapdrn.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 mapdrn.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  U )
6 mapdrn.l . . . 4  |-  L  =  (LKer `  U )
7 eqid 2451 . . . 4  |-  (LDual `  U )  =  (LDual `  U )
8 eqid 2451 . . . 4  |-  ( LSubSp `  (LDual `  U )
)  =  ( LSubSp `  (LDual `  U )
)
9 mapdunirn.c . . . 4  |-  C  =  { g  e.  F  |  ( O `  ( O `  ( L `
 g ) ) )  =  ( L `
 g ) }
10 mapdunirn.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10mapdrn 35217 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  M  =  ( ( LSubSp `  (LDual `  U
) )  i^i  ~P C ) )
1211unieqd 4208 . 2  |-  ( ph  ->  U. ran  M  = 
U. ( ( LSubSp `  (LDual `  U )
)  i^i  ~P C
) )
13 uniin 4218 . . . 4  |-  U. (
( LSubSp `  (LDual `  U
) )  i^i  ~P C )  C_  ( U. ( LSubSp `  (LDual `  U
) )  i^i  U. ~P C )
14 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (LDual `  U )
)  =  ( Base `  (LDual `  U )
)
151, 4, 10dvhlmod 34678 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
167, 15lduallmod 32719 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (LDual `  U )  e.  LMod )
1714, 8, 16lssuni 18163 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. ( LSubSp `  (LDual `  U ) )  =  ( Base `  (LDual `  U ) ) )
185, 7, 14, 15ldualvbase 32692 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Base `  (LDual `  U ) )  =  F )
1917, 18eqtrd 2485 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ( LSubSp `  (LDual `  U ) )  =  F )
20 unipw 4650 . . . . . . 7  |-  U. ~P C  =  C
2120a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ~P C  =  C )
2219, 21ineq12d 3635 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U. ( LSubSp `  (LDual `  U )
)  i^i  U. ~P C
)  =  ( F  i^i  C ) )
23 ssrab2 3514 . . . . . . . 8  |-  { g  e.  F  |  ( O `  ( O `
 ( L `  g ) ) )  =  ( L `  g ) }  C_  F
249, 23eqsstri 3462 . . . . . . 7  |-  C  C_  F
25 dfss1 3637 . . . . . . 7  |-  ( C 
C_  F  <->  ( F  i^i  C )  =  C )
2624, 25mpbi 212 . . . . . 6  |-  ( F  i^i  C )  =  C
2726a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  i^i  C
)  =  C )
2822, 27eqtrd 2485 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U. ( LSubSp `  (LDual `  U )
)  i^i  U. ~P C
)  =  C )
2913, 28syl5sseq 3480 . . 3  |-  ( ph  ->  U. ( ( LSubSp `  (LDual `  U )
)  i^i  ~P C
)  C_  C )
301, 4, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10lclkr 35101 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  ( LSubSp `  (LDual `  U )
) )
31 fvex 5875 . . . . . . . . 9  |-  (LFnl `  U )  e.  _V
325, 31eqeltri 2525 . . . . . . . 8  |-  F  e. 
_V
339, 32rabex2 4556 . . . . . . 7  |-  C  e. 
_V
3433pwid 3965 . . . . . 6  |-  C  e. 
~P C
3534a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  ~P C
)
3630, 35elind 3618 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( (
LSubSp `  (LDual `  U
) )  i^i  ~P C ) )
37 elssuni 4227 . . . 4  |-  ( C  e.  ( ( LSubSp `  (LDual `  U )
)  i^i  ~P C
)  ->  C  C_  U. (
( LSubSp `  (LDual `  U
) )  i^i  ~P C ) )
3836, 37syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  C  C_  U. (
( LSubSp `  (LDual `  U
) )  i^i  ~P C ) )
3929, 38eqssd 3449 . 2  |-  ( ph  ->  U. ( ( LSubSp `  (LDual `  U )
)  i^i  ~P C
)  =  C )
4012, 39eqtrd 2485 1  |-  ( ph  ->  U. ran  M  =  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   {crab 2741   _Vcvv 3045    i^i cin 3403    C_ wss 3404   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198   ran crn 4835   ` cfv 5582   Basecbs 15121   LModclmod 18091   LSubSpclss 18155  LFnlclfn 32623  LKerclk 32651  LDualcld 32689   HLchlt 32916   LHypclh 33549   DVecHcdvh 34646   ocHcoch 34915  mapdcmpd 35192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-riotaBAD 32525
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-tpos 6973  df-undef 7020  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-0g 15340  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-preset 16173  df-poset 16191  df-plt 16204  df-lub 16220  df-glb 16221  df-join 16222  df-meet 16223  df-p0 16285  df-p1 16286  df-lat 16292  df-clat 16354  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-subg 16814  df-cntz 16971  df-oppg 16997  df-lsm 17288  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-oppr 17851  df-dvdsr 17869  df-unit 17870  df-invr 17900  df-dvr 17911  df-drng 17977  df-lmod 18093  df-lss 18156  df-lsp 18195  df-lvec 18326  df-lsatoms 32542  df-lshyp 32543  df-lcv 32585  df-lfl 32624  df-lkr 32652  df-ldual 32690  df-oposet 32742  df-ol 32744  df-oml 32745  df-covers 32832  df-ats 32833  df-atl 32864  df-cvlat 32888  df-hlat 32917  df-llines 33063  df-lplanes 33064  df-lvols 33065  df-lines 33066  df-psubsp 33068  df-pmap 33069  df-padd 33361  df-lhyp 33553  df-laut 33554  df-ldil 33669  df-ltrn 33670  df-trl 33725  df-tgrp 34310  df-tendo 34322  df-edring 34324  df-dveca 34570  df-disoa 34597  df-dvech 34647  df-dib 34707  df-dic 34741  df-dih 34797  df-doch 34916  df-djh 34963  df-mapd 35193
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator