Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdunirnN Structured version   Unicode version

Theorem mapdunirnN 35134
Description: Union of the range of the map defined by df-mapd 35109. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdrn.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdrn.o  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
mapdrn.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdrn.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdrn.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
mapdrn.l  |-  L  =  (LKer `  U )
mapdunirn.c  |-  C  =  { g  e.  F  |  ( O `  ( O `  ( L `
 g ) ) )  =  ( L `
 g ) }
mapdunirn.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
mapdunirnN  |-  ( ph  ->  U. ran  M  =  C )
Distinct variable groups:    g, F    g, K    g, L    g, O    U, g    g, W
Allowed substitution hints:    ph( g)    C( g)    H( g)    M( g)

Proof of Theorem mapdunirnN
StepHypRef Expression
1 mapdrn.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdrn.o . . . 4  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 mapdrn.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
4 mapdrn.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 mapdrn.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  U )
6 mapdrn.l . . . 4  |-  L  =  (LKer `  U )
7 eqid 2422 . . . 4  |-  (LDual `  U )  =  (LDual `  U )
8 eqid 2422 . . . 4  |-  ( LSubSp `  (LDual `  U )
)  =  ( LSubSp `  (LDual `  U )
)
9 mapdunirn.c . . . 4  |-  C  =  { g  e.  F  |  ( O `  ( O `  ( L `
 g ) ) )  =  ( L `
 g ) }
10 mapdunirn.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10mapdrn 35133 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  M  =  ( ( LSubSp `  (LDual `  U
) )  i^i  ~P C ) )
1211unieqd 4226 . 2  |-  ( ph  ->  U. ran  M  = 
U. ( ( LSubSp `  (LDual `  U )
)  i^i  ~P C
) )
13 uniin 4236 . . . 4  |-  U. (
( LSubSp `  (LDual `  U
) )  i^i  ~P C )  C_  ( U. ( LSubSp `  (LDual `  U
) )  i^i  U. ~P C )
14 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (LDual `  U )
)  =  ( Base `  (LDual `  U )
)
151, 4, 10dvhlmod 34594 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
167, 15lduallmod 32635 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (LDual `  U )  e.  LMod )
1714, 8, 16lssuni 18148 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. ( LSubSp `  (LDual `  U ) )  =  ( Base `  (LDual `  U ) ) )
185, 7, 14, 15ldualvbase 32608 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Base `  (LDual `  U ) )  =  F )
1917, 18eqtrd 2463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ( LSubSp `  (LDual `  U ) )  =  F )
20 unipw 4667 . . . . . . 7  |-  U. ~P C  =  C
2120a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ~P C  =  C )
2219, 21ineq12d 3665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U. ( LSubSp `  (LDual `  U )
)  i^i  U. ~P C
)  =  ( F  i^i  C ) )
23 ssrab2 3546 . . . . . . . 8  |-  { g  e.  F  |  ( O `  ( O `
 ( L `  g ) ) )  =  ( L `  g ) }  C_  F
249, 23eqsstri 3494 . . . . . . 7  |-  C  C_  F
25 dfss1 3667 . . . . . . 7  |-  ( C 
C_  F  <->  ( F  i^i  C )  =  C )
2624, 25mpbi 211 . . . . . 6  |-  ( F  i^i  C )  =  C
2726a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  i^i  C
)  =  C )
2822, 27eqtrd 2463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U. ( LSubSp `  (LDual `  U )
)  i^i  U. ~P C
)  =  C )
2913, 28syl5sseq 3512 . . 3  |-  ( ph  ->  U. ( ( LSubSp `  (LDual `  U )
)  i^i  ~P C
)  C_  C )
301, 4, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10lclkr 35017 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  ( LSubSp `  (LDual `  U )
) )
31 fvex 5887 . . . . . . . . 9  |-  (LFnl `  U )  e.  _V
325, 31eqeltri 2506 . . . . . . . 8  |-  F  e. 
_V
339, 32rabex2 4573 . . . . . . 7  |-  C  e. 
_V
3433pwid 3993 . . . . . 6  |-  C  e. 
~P C
3534a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  ~P C
)
3630, 35elind 3650 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( (
LSubSp `  (LDual `  U
) )  i^i  ~P C ) )
37 elssuni 4245 . . . 4  |-  ( C  e.  ( ( LSubSp `  (LDual `  U )
)  i^i  ~P C
)  ->  C  C_  U. (
( LSubSp `  (LDual `  U
) )  i^i  ~P C ) )
3836, 37syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  C  C_  U. (
( LSubSp `  (LDual `  U
) )  i^i  ~P C ) )
3929, 38eqssd 3481 . 2  |-  ( ph  ->  U. ( ( LSubSp `  (LDual `  U )
)  i^i  ~P C
)  =  C )
4012, 39eqtrd 2463 1  |-  ( ph  ->  U. ran  M  =  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   {crab 2779   _Vcvv 3081    i^i cin 3435    C_ wss 3436   ~Pcpw 3979   U.cuni 4216   ran crn 4850   ` cfv 5597   Basecbs 15106   LModclmod 18076   LSubSpclss 18140  LFnlclfn 32539  LKerclk 32567  LDualcld 32605   HLchlt 32832   LHypclh 33465   DVecHcdvh 34562   ocHcoch 34831  mapdcmpd 35108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-riotaBAD 32441
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-tpos 6977  df-undef 7024  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15108  df-ndx 15109  df-slot 15110  df-base 15111  df-sets 15112  df-ress 15113  df-plusg 15188  df-mulr 15189  df-sca 15191  df-vsca 15192  df-0g 15325  df-mre 15477  df-mrc 15478  df-acs 15480  df-preset 16158  df-poset 16176  df-plt 16189  df-lub 16205  df-glb 16206  df-join 16207  df-meet 16208  df-p0 16270  df-p1 16271  df-lat 16277  df-clat 16339  df-mgm 16473  df-sgrp 16512  df-mnd 16522  df-submnd 16568  df-grp 16658  df-minusg 16659  df-sbg 16660  df-subg 16799  df-cntz 16956  df-oppg 16982  df-lsm 17273  df-cmn 17417  df-abl 17418  df-mgp 17709  df-ur 17721  df-ring 17767  df-oppr 17836  df-dvdsr 17854  df-unit 17855  df-invr 17885  df-dvr 17896  df-drng 17962  df-lmod 18078  df-lss 18141  df-lsp 18180  df-lvec 18311  df-lsatoms 32458  df-lshyp 32459  df-lcv 32501  df-lfl 32540  df-lkr 32568  df-ldual 32606  df-oposet 32658  df-ol 32660  df-oml 32661  df-covers 32748  df-ats 32749  df-atl 32780  df-cvlat 32804  df-hlat 32833  df-llines 32979  df-lplanes 32980  df-lvols 32981  df-lines 32982  df-psubsp 32984  df-pmap 32985  df-padd 33277  df-lhyp 33469  df-laut 33470  df-ldil 33585  df-ltrn 33586  df-trl 33641  df-tgrp 34226  df-tendo 34238  df-edring 34240  df-dveca 34486  df-disoa 34513  df-dvech 34563  df-dib 34623  df-dic 34657  df-dih 34713  df-doch 34832  df-djh 34879  df-mapd 35109
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator