Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdunirnN Structured version   Unicode version

Theorem mapdunirnN 35658
Description: Union of the range of the map defined by df-mapd 35633. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdrn.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdrn.o  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
mapdrn.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdrn.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdrn.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
mapdrn.l  |-  L  =  (LKer `  U )
mapdunirn.c  |-  C  =  { g  e.  F  |  ( O `  ( O `  ( L `
 g ) ) )  =  ( L `
 g ) }
mapdunirn.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
mapdunirnN  |-  ( ph  ->  U. ran  M  =  C )
Distinct variable groups:    g, F    g, K    g, L    g, O    U, g    g, W
Allowed substitution hints:    ph( g)    C( g)    H( g)    M( g)

Proof of Theorem mapdunirnN
StepHypRef Expression
1 mapdrn.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdrn.o . . . 4  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 mapdrn.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
4 mapdrn.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 mapdrn.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  U )
6 mapdrn.l . . . 4  |-  L  =  (LKer `  U )
7 eqid 2454 . . . 4  |-  (LDual `  U )  =  (LDual `  U )
8 eqid 2454 . . . 4  |-  ( LSubSp `  (LDual `  U )
)  =  ( LSubSp `  (LDual `  U )
)
9 mapdunirn.c . . . 4  |-  C  =  { g  e.  F  |  ( O `  ( O `  ( L `
 g ) ) )  =  ( L `
 g ) }
10 mapdunirn.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10mapdrn 35657 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  M  =  ( ( LSubSp `  (LDual `  U
) )  i^i  ~P C ) )
1211unieqd 4212 . 2  |-  ( ph  ->  U. ran  M  = 
U. ( ( LSubSp `  (LDual `  U )
)  i^i  ~P C
) )
13 uniin 4222 . . . 4  |-  U. (
( LSubSp `  (LDual `  U
) )  i^i  ~P C )  C_  ( U. ( LSubSp `  (LDual `  U
) )  i^i  U. ~P C )
14 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (LDual `  U )
)  =  ( Base `  (LDual `  U )
)
151, 4, 10dvhlmod 35118 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
167, 15lduallmod 33161 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (LDual `  U )  e.  LMod )
1714, 8, 16lssuni 17154 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. ( LSubSp `  (LDual `  U ) )  =  ( Base `  (LDual `  U ) ) )
185, 7, 14, 15ldualvbase 33134 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Base `  (LDual `  U ) )  =  F )
1917, 18eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ( LSubSp `  (LDual `  U ) )  =  F )
20 unipw 4653 . . . . . . 7  |-  U. ~P C  =  C
2120a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. ~P C  =  C )
2219, 21ineq12d 3664 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U. ( LSubSp `  (LDual `  U )
)  i^i  U. ~P C
)  =  ( F  i^i  C ) )
23 ssrab2 3548 . . . . . . . 8  |-  { g  e.  F  |  ( O `  ( O `
 ( L `  g ) ) )  =  ( L `  g ) }  C_  F
249, 23eqsstri 3497 . . . . . . 7  |-  C  C_  F
25 dfss1 3666 . . . . . . 7  |-  ( C 
C_  F  <->  ( F  i^i  C )  =  C )
2624, 25mpbi 208 . . . . . 6  |-  ( F  i^i  C )  =  C
2726a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  i^i  C
)  =  C )
2822, 27eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U. ( LSubSp `  (LDual `  U )
)  i^i  U. ~P C
)  =  C )
2913, 28syl5sseq 3515 . . 3  |-  ( ph  ->  U. ( ( LSubSp `  (LDual `  U )
)  i^i  ~P C
)  C_  C )
301, 4, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10lclkr 35541 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  ( LSubSp `  (LDual `  U )
) )
31 fvex 5812 . . . . . . . . . 10  |-  (LFnl `  U )  e.  _V
325, 31eqeltri 2538 . . . . . . . . 9  |-  F  e. 
_V
3332rabex 4554 . . . . . . . 8  |-  { g  e.  F  |  ( O `  ( O `
 ( L `  g ) ) )  =  ( L `  g ) }  e.  _V
349, 33eqeltri 2538 . . . . . . 7  |-  C  e. 
_V
3534pwid 3985 . . . . . 6  |-  C  e. 
~P C
3635a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  ~P C
)
3730, 36elind 3651 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( (
LSubSp `  (LDual `  U
) )  i^i  ~P C ) )
38 elssuni 4232 . . . 4  |-  ( C  e.  ( ( LSubSp `  (LDual `  U )
)  i^i  ~P C
)  ->  C  C_  U. (
( LSubSp `  (LDual `  U
) )  i^i  ~P C ) )
3937, 38syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  C  C_  U. (
( LSubSp `  (LDual `  U
) )  i^i  ~P C ) )
4029, 39eqssd 3484 . 2  |-  ( ph  ->  U. ( ( LSubSp `  (LDual `  U )
)  i^i  ~P C
)  =  C )
4112, 40eqtrd 2495 1  |-  ( ph  ->  U. ran  M  =  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2803   _Vcvv 3078    i^i cin 3438    C_ wss 3439   ~Pcpw 3971   U.cuni 4202   ran crn 4952   ` cfv 5529   Basecbs 14296   LModclmod 17081   LSubSpclss 17146  LFnlclfn 33065  LKerclk 33093  LDualcld 33131   HLchlt 33358   LHypclh 33991   DVecHcdvh 35086   ocHcoch 35355  mapdcmpd 35632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-riotaBAD 32967
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-tpos 6858  df-undef 6905  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-0g 14503  df-mre 14647  df-mrc 14648  df-acs 14650  df-poset 15239  df-plt 15251  df-lub 15267  df-glb 15268  df-join 15269  df-meet 15270  df-p0 15332  df-p1 15333  df-lat 15339  df-clat 15401  df-mnd 15538  df-submnd 15588  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-sbg 15670  df-subg 15801  df-cntz 15958  df-oppg 15984  df-lsm 16260  df-cmn 16404  df-abl 16405  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-oppr 16848  df-dvdsr 16866  df-unit 16867  df-invr 16897  df-dvr 16908  df-drng 16967  df-lmod 17083  df-lss 17147  df-lsp 17186  df-lvec 17317  df-lsatoms 32984  df-lshyp 32985  df-lcv 33027  df-lfl 33066  df-lkr 33094  df-ldual 33132  df-oposet 33184  df-ol 33186  df-oml 33187  df-covers 33274  df-ats 33275  df-atl 33306  df-cvlat 33330  df-hlat 33359  df-llines 33505  df-lplanes 33506  df-lvols 33507  df-lines 33508  df-psubsp 33510  df-pmap 33511  df-padd 33803  df-lhyp 33995  df-laut 33996  df-ldil 34111  df-ltrn 34112  df-trl 34166  df-tgrp 34750  df-tendo 34762  df-edring 34764  df-dveca 35010  df-disoa 35037  df-dvech 35087  df-dib 35147  df-dic 35181  df-dih 35237  df-doch 35356  df-djh 35403  df-mapd 35633
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator