Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdspex Structured version   Unicode version

Theorem mapdspex 36465
Description: The map of a span equals the dual span of some vector (functional). (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdspex.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdspex.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdspex.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdspex.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdspex.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdspex.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdspex.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
mapdspex.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdspex.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdspex.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
mapdspex  |-  ( ph  ->  E. g  e.  B  ( M `  ( N `
 { X }
) )  =  ( J `  { g } ) )
Distinct variable groups:    B, g    C, g    g, J    g, M    g, N    g, X
Allowed substitution hints:    ph( g)    U( g)    H( g)    K( g)    V( g)    W( g)

Proof of Theorem mapdspex
StepHypRef Expression
1 mapdspex.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdspex.c . . . . 5  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
3 mapdspex.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41, 2, 3lcdlmod 36389 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
54adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  e.  (LSAtoms `  U
) )  ->  C  e.  LMod )
6 mapdspex.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
7 mapdspex.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
8 eqid 2467 . . . 4  |-  (LSAtoms `  U
)  =  (LSAtoms `  U
)
9 eqid 2467 . . . 4  |-  (LSAtoms `  C
)  =  (LSAtoms `  C
)
103adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  e.  (LSAtoms `  U
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
11 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  e.  (LSAtoms `  U
) )  ->  ( N `  { X } )  e.  (LSAtoms `  U ) )
121, 6, 7, 8, 2, 9, 10, 11mapdat 36464 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  e.  (LSAtoms `  U
) )  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  e.  (LSAtoms `  C
) )
13 mapdspex.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
14 mapdspex.j . . . 4  |-  J  =  ( LSpan `  C )
1513, 14, 9islsati 33791 . . 3  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  ( M `  ( N `  { X } ) )  e.  (LSAtoms `  C
) )  ->  E. g  e.  B  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  {
g } ) )
165, 12, 15syl2anc 661 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  e.  (LSAtoms `  U
) )  ->  E. g  e.  B  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  {
g } ) )
17 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( 0g
`  C )  =  ( 0g `  C
)
181, 2, 13, 17, 3lcd0vcl 36411 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0g `  C
)  e.  B )
1918adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  { ( 0g
`  U ) } )  ->  ( 0g `  C )  e.  B
)
20 fveq2 5864 . . . 4  |-  ( ( N `  { X } )  =  {
( 0g `  U
) }  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( M `
 { ( 0g
`  U ) } ) )
21 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  U )  =  ( 0g `  U
)
221, 6, 7, 21, 2, 17, 3mapd0 36462 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  {
( 0g `  U
) } )  =  { ( 0g `  C ) } )
2317, 14lspsn0 17434 . . . . . 6  |-  ( C  e.  LMod  ->  ( J `
 { ( 0g
`  C ) } )  =  { ( 0g `  C ) } )
244, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J `  {
( 0g `  C
) } )  =  { ( 0g `  C ) } )
2522, 24eqtr4d 2511 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  {
( 0g `  U
) } )  =  ( J `  {
( 0g `  C
) } ) )
2620, 25sylan9eqr 2530 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  { ( 0g
`  U ) } )  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  {
( 0g `  C
) } ) )
27 sneq 4037 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( 0g `  C )  ->  { g }  =  { ( 0g `  C ) } )
2827fveq2d 5868 . . . . 5  |-  ( g  =  ( 0g `  C )  ->  ( J `  { g } )  =  ( J `  { ( 0g `  C ) } ) )
2928eqeq2d 2481 . . . 4  |-  ( g  =  ( 0g `  C )  ->  (
( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  {
g } )  <->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  {
( 0g `  C
) } ) ) )
3029rspcev 3214 . . 3  |-  ( ( ( 0g `  C
)  e.  B  /\  ( M `  ( N `
 { X }
) )  =  ( J `  { ( 0g `  C ) } ) )  ->  E. g  e.  B  ( M `  ( N `
 { X }
) )  =  ( J `  { g } ) )
3119, 26, 30syl2anc 661 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  =  { ( 0g
`  U ) } )  ->  E. g  e.  B  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  {
g } ) )
32 mapdspex.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  U
)
33 mapdspex.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  U )
341, 7, 3dvhlmod 35907 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
35 mapdspex.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3632, 33, 21, 8, 34, 35lsator0sp 33798 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  e.  (LSAtoms `  U )  \/  ( N `  { X } )  =  {
( 0g `  U
) } ) )
3716, 31, 36mpjaodan 784 1  |-  ( ph  ->  E. g  e.  B  ( M `  ( N `
 { X }
) )  =  ( J `  { g } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815   {csn 4027   ` cfv 5586   Basecbs 14483   0gc0g 14688   LModclmod 17292   LSpanclspn 17397  LSAtomsclsa 33771   HLchlt 34147   LHypclh 34780   DVecHcdvh 35875  LCDualclcd 36383  mapdcmpd 36421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-riotaBAD 33756
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-undef 6999  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-0g 14690  df-mre 14834  df-mrc 14835  df-acs 14837  df-poset 15426  df-plt 15438  df-lub 15454  df-glb 15455  df-join 15456  df-meet 15457  df-p0 15519  df-p1 15520  df-lat 15526  df-clat 15588  df-mnd 15725  df-submnd 15775  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-sbg 15857  df-subg 15990  df-cntz 16147  df-oppg 16173  df-lsm 16449  df-cmn 16593  df-abl 16594  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-rng 16985  df-oppr 17053  df-dvdsr 17071  df-unit 17072  df-invr 17102  df-dvr 17113  df-drng 17178  df-lmod 17294  df-lss 17359  df-lsp 17398  df-lvec 17529  df-lsatoms 33773  df-lshyp 33774  df-lcv 33816  df-lfl 33855  df-lkr 33883  df-ldual 33921  df-oposet 33973  df-ol 33975  df-oml 33976  df-covers 34063  df-ats 34064  df-atl 34095  df-cvlat 34119  df-hlat 34148  df-llines 34294  df-lplanes 34295  df-lvols 34296  df-lines 34297  df-psubsp 34299  df-pmap 34300  df-padd 34592  df-lhyp 34784  df-laut 34785  df-ldil 34900  df-ltrn 34901  df-trl 34955  df-tgrp 35539  df-tendo 35551  df-edring 35553  df-dveca 35799  df-disoa 35826  df-dvech 35876  df-dib 35936  df-dic 35970  df-dih 36026  df-doch 36145  df-djh 36192  df-lcdual 36384  df-mapd 36422
This theorem is referenced by:  mapdpglem2  36470
  Copyright terms: Public domain W3C validator