Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdsn Structured version   Unicode version

Theorem mapdsn 35298
Description: Value of the map defined by df-mapd 35282 at the span of a singleton. (Contributed by NM, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdsn.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdsn.o  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
mapdsn.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdsn.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdsn.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdsn.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdsn.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
mapdsn.l  |-  L  =  (LKer `  U )
mapdsn.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdsn.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
mapdsn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  { f  e.  F  |  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f ) } )
Distinct variable groups:    f, F    f, K    f, N    f, W    f, X    ph, f
Allowed substitution hints:    U( f)    H( f)    L( f)    M( f)    O( f)    V( f)

Proof of Theorem mapdsn
StepHypRef Expression
1 mapdsn.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdsn.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 eqid 2443 . . 3  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
4 mapdsn.f . . 3  |-  F  =  (LFnl `  U )
5 mapdsn.l . . 3  |-  L  =  (LKer `  U )
6 mapdsn.o . . 3  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
7 mapdsn.m . . 3  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
8 mapdsn.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
91, 2, 8dvhlmod 34767 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
10 mapdsn.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
11 mapdsn.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
12 mapdsn.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
1311, 3, 12lspsncl 17070 . . . 4  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
149, 10, 13syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14mapdval 35285 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  { f  e.  F  |  ( ( O `
 ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) } )
168ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
1710snssd 4030 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { X }  C_  V )
1811, 12lspssv 17076 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  { X }  C_  V )  ->  ( N `  { X } )  C_  V )
199, 17, 18syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  C_  V
)
2019ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( N `  { X } )  C_  V )
21 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) )
221, 2, 11, 6dochss 35022 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( N `  { X } )  C_  V  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) )  ->  ( O `  ( N `  { X } ) )  C_  ( O `  ( O `
 ( L `  f ) ) ) )
2316, 20, 21, 22syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( O `  ( N `  { X } ) )  C_  ( O `  ( O `
 ( L `  f ) ) ) )
241, 2, 6, 11, 12, 8, 17dochocsp 35036 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  ( N `  { X } ) )  =  ( O `  { X } ) )
2524ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( O `  ( N `  { X } ) )  =  ( O `  { X } ) )
26 simprl 755 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( O `  ( O `  ( L `
 f ) ) )  =  ( L `
 f ) )
2723, 25, 263sstr3d 3410 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f ) )
288ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
29 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  f  e.  F )
3010ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  X  e.  V )
31 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( O `  { X } ) 
C_  ( L `  f ) )
321, 6, 2, 11, 4, 5, 28, 29, 30, 31lcfl9a 35162 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( O `  ( O `  ( L `  f )
) )  =  ( L `  f ) )
339ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  U  e.  LMod )
3411, 4, 5, 33, 29lkrssv 32753 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( L `  f )  C_  V
)
351, 2, 11, 6dochss 35022 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( L `  f )  C_  V  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( O `  ( L `  f
) )  C_  ( O `  ( O `  { X } ) ) )
3628, 34, 31, 35syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( O `  ( L `  f
) )  C_  ( O `  ( O `  { X } ) ) )
371, 2, 6, 11, 12, 8, 10dochocsn 35038 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( O `  ( O `  { X } ) )  =  ( N `  { X } ) )
3837ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( O `  ( O `  { X } ) )  =  ( N `  { X } ) )
3936, 38sseqtrd 3404 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( O `  ( L `  f
) )  C_  ( N `  { X } ) )
4032, 39jca 532 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( ( O `  ( O `  ( L `  f
) ) )  =  ( L `  f
)  /\  ( O `  ( L `  f
) )  C_  ( N `  { X } ) ) )
4127, 40impbida 828 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  F )  ->  (
( ( O `  ( O `  ( L `
 f ) ) )  =  ( L `
 f )  /\  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  ( N `  { X } ) )  <-> 
( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
) )
4241rabbidva 2975 . 2  |-  ( ph  ->  { f  e.  F  |  ( ( O `
 ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) }  =  {
f  e.  F  | 
( O `  { X } )  C_  ( L `  f ) } )
4315, 42eqtrd 2475 1  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  { f  e.  F  |  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2731    C_ wss 3340   {csn 3889   ` cfv 5430   Basecbs 14186   LModclmod 16960   LSubSpclss 17025   LSpanclspn 17064  LFnlclfn 32714  LKerclk 32742   HLchlt 33007   LHypclh 33640   DVecHcdvh 34735   ocHcoch 35004  mapdcmpd 35281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-riotaBAD 32616
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-tpos 6757  df-undef 6804  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-fz 11450  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-0g 14392  df-poset 15128  df-plt 15140  df-lub 15156  df-glb 15157  df-join 15158  df-meet 15159  df-p0 15221  df-p1 15222  df-lat 15228  df-clat 15290  df-mnd 15427  df-submnd 15477  df-grp 15557  df-minusg 15558  df-sbg 15559  df-subg 15690  df-cntz 15847  df-lsm 16147  df-cmn 16291  df-abl 16292  df-mgp 16604  df-ur 16616  df-rng 16659  df-oppr 16727  df-dvdsr 16745  df-unit 16746  df-invr 16776  df-dvr 16787  df-drng 16846  df-lmod 16962  df-lss 17026  df-lsp 17065  df-lvec 17196  df-lsatoms 32633  df-lshyp 32634  df-lfl 32715  df-lkr 32743  df-oposet 32833  df-ol 32835  df-oml 32836  df-covers 32923  df-ats 32924  df-atl 32955  df-cvlat 32979  df-hlat 33008  df-llines 33154  df-lplanes 33155  df-lvols 33156  df-lines 33157  df-psubsp 33159  df-pmap 33160  df-padd 33452  df-lhyp 33644  df-laut 33645  df-ldil 33760  df-ltrn 33761  df-trl 33815  df-tgrp 34399  df-tendo 34411  df-edring 34413  df-dveca 34659  df-disoa 34686  df-dvech 34736  df-dib 34796  df-dic 34830  df-dih 34886  df-doch 35005  df-djh 35052  df-mapd 35282
This theorem is referenced by:  mapdsn2  35299  hdmaplkr  35573
  Copyright terms: Public domain W3C validator