Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdsn Structured version   Unicode version

Theorem mapdsn 36839
Description: Value of the map defined by df-mapd 36823 at the span of a singleton. (Contributed by NM, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdsn.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdsn.o  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
mapdsn.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdsn.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdsn.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdsn.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdsn.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
mapdsn.l  |-  L  =  (LKer `  U )
mapdsn.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdsn.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
mapdsn  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  { f  e.  F  |  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f ) } )
Distinct variable groups:    f, F    f, K    f, N    f, W    f, X    ph, f
Allowed substitution hints:    U( f)    H( f)    L( f)    M( f)    O( f)    V( f)

Proof of Theorem mapdsn
StepHypRef Expression
1 mapdsn.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdsn.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 eqid 2467 . . 3  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
4 mapdsn.f . . 3  |-  F  =  (LFnl `  U )
5 mapdsn.l . . 3  |-  L  =  (LKer `  U )
6 mapdsn.o . . 3  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
7 mapdsn.m . . 3  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
8 mapdsn.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
91, 2, 8dvhlmod 36308 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
10 mapdsn.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
11 mapdsn.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  U
)
12 mapdsn.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
1311, 3, 12lspsncl 17494 . . . 4  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
149, 10, 13syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14mapdval 36826 . 2  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  { f  e.  F  |  ( ( O `
 ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) } )
168ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
1710snssd 4178 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { X }  C_  V )
1811, 12lspssv 17500 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  { X }  C_  V )  ->  ( N `  { X } )  C_  V )
199, 17, 18syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  C_  V
)
2019ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( N `  { X } )  C_  V )
21 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) )
221, 2, 11, 6dochss 36563 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( N `  { X } )  C_  V  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) )  ->  ( O `  ( N `  { X } ) )  C_  ( O `  ( O `
 ( L `  f ) ) ) )
2316, 20, 21, 22syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( O `  ( N `  { X } ) )  C_  ( O `  ( O `
 ( L `  f ) ) ) )
241, 2, 6, 11, 12, 8, 17dochocsp 36577 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( O `  ( N `  { X } ) )  =  ( O `  { X } ) )
2524ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( O `  ( N `  { X } ) )  =  ( O `  { X } ) )
26 simprl 755 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( O `  ( O `  ( L `
 f ) ) )  =  ( L `
 f ) )
2723, 25, 263sstr3d 3551 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  (
( O `  ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f ) )
288ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
29 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  f  e.  F )
3010ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  X  e.  V )
31 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( O `  { X } ) 
C_  ( L `  f ) )
321, 6, 2, 11, 4, 5, 28, 29, 30, 31lcfl9a 36703 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( O `  ( O `  ( L `  f )
) )  =  ( L `  f ) )
339ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  U  e.  LMod )
3411, 4, 5, 33, 29lkrssv 34294 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( L `  f )  C_  V
)
351, 2, 11, 6dochss 36563 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( L `  f )  C_  V  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( O `  ( L `  f
) )  C_  ( O `  ( O `  { X } ) ) )
3628, 34, 31, 35syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( O `  ( L `  f
) )  C_  ( O `  ( O `  { X } ) ) )
371, 2, 6, 11, 12, 8, 10dochocsn 36579 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( O `  ( O `  { X } ) )  =  ( N `  { X } ) )
3837ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( O `  ( O `  { X } ) )  =  ( N `  { X } ) )
3936, 38sseqtrd 3545 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( O `  ( L `  f
) )  C_  ( N `  { X } ) )
4032, 39jca 532 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  F )  /\  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
)  ->  ( ( O `  ( O `  ( L `  f
) ) )  =  ( L `  f
)  /\  ( O `  ( L `  f
) )  C_  ( N `  { X } ) ) )
4127, 40impbida 830 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  e.  F )  ->  (
( ( O `  ( O `  ( L `
 f ) ) )  =  ( L `
 f )  /\  ( O `  ( L `
 f ) ) 
C_  ( N `  { X } ) )  <-> 
( O `  { X } )  C_  ( L `  f )
) )
4241rabbidva 3109 . 2  |-  ( ph  ->  { f  e.  F  |  ( ( O `
 ( O `  ( L `  f ) ) )  =  ( L `  f )  /\  ( O `  ( L `  f ) )  C_  ( N `  { X } ) ) }  =  {
f  e.  F  | 
( O `  { X } )  C_  ( L `  f ) } )
4315, 42eqtrd 2508 1  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  { f  e.  F  |  ( O `  { X } )  C_  ( L `  f ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2821    C_ wss 3481   {csn 4033   ` cfv 5594   Basecbs 14507   LModclmod 17383   LSubSpclss 17449   LSpanclspn 17488  LFnlclfn 34255  LKerclk 34283   HLchlt 34548   LHypclh 35181   DVecHcdvh 36276   ocHcoch 36545  mapdcmpd 36822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-riotaBAD 34157
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-undef 7014  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-0g 14714  df-poset 15450  df-plt 15462  df-lub 15478  df-glb 15479  df-join 15480  df-meet 15481  df-p0 15543  df-p1 15544  df-lat 15550  df-clat 15612  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-subg 16070  df-cntz 16227  df-lsm 16529  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-invr 17193  df-dvr 17204  df-drng 17269  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lsp 17489  df-lvec 17620  df-lsatoms 34174  df-lshyp 34175  df-lfl 34256  df-lkr 34284  df-oposet 34374  df-ol 34376  df-oml 34377  df-covers 34464  df-ats 34465  df-atl 34496  df-cvlat 34520  df-hlat 34549  df-llines 34695  df-lplanes 34696  df-lvols 34697  df-lines 34698  df-psubsp 34700  df-pmap 34701  df-padd 34993  df-lhyp 35185  df-laut 35186  df-ldil 35301  df-ltrn 35302  df-trl 35356  df-tgrp 35940  df-tendo 35952  df-edring 35954  df-dveca 36200  df-disoa 36227  df-dvech 36277  df-dib 36337  df-dic 36371  df-dih 36427  df-doch 36546  df-djh 36593  df-mapd 36823
This theorem is referenced by:  mapdsn2  36840  hdmaplkr  37114
  Copyright terms: Public domain W3C validator