Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdrn2 Structured version   Unicode version

Theorem mapdrn2 37253
Description: Range of the map defined by df-mapd 37227. TODO: this seems to be needed a lot in hdmaprnlem3eN 37463 etc. Would it be better to change df-mapd 37227 theorems to use  LSubSp `  C instead of  ran  M? (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdrn2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdrn2.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdrn2.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdrn2.t  |-  T  =  ( LSubSp `  C )
mapdrn2.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
mapdrn2  |-  ( ph  ->  ran  M  =  T )

Proof of Theorem mapdrn2
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdrn2.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 eqid 2443 . . 3  |-  ( ( ocH `  K ) `
 W )  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 mapdrn2.m . . 3  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
4 eqid 2443 . . 3  |-  ( (
DVecH `  K ) `  W )  =  ( ( DVecH `  K ) `  W )
5 eqid 2443 . . 3  |-  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  =  (LFnl `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)
6 eqid 2443 . . 3  |-  (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  =  (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)
7 eqid 2443 . . 3  |-  (LDual `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  =  (LDual `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)
8 eqid 2443 . . 3  |-  ( LSubSp `  (LDual `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) ) )  =  ( LSubSp `  (LDual `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) )
9 eqid 2443 . . 3  |-  { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  K ) `  W ) )  |  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) `  f ) }  =  { f  e.  (LFnl `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )  |  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) `  f ) }
10 mapdrn2.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10mapdrn 37251 . 2  |-  ( ph  ->  ran  M  =  ( ( LSubSp `  (LDual `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) )  i^i  ~P { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  K ) `  W ) )  |  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) `  f ) } ) )
12 mapdrn2.c . . 3  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
13 mapdrn2.t . . 3  |-  T  =  ( LSubSp `  C )
141, 2, 12, 13, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10lcdlss 37221 . 2  |-  ( ph  ->  T  =  ( (
LSubSp `  (LDual `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) )  i^i  ~P { f  e.  (LFnl `  (
( DVecH `  K ) `  W ) )  |  ( ( ( ocH `  K ) `  W
) `  ( (
( ocH `  K
) `  W ) `  ( (LKer `  (
( DVecH `  K ) `  W ) ) `  f ) ) )  =  ( (LKer `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) `  f ) } ) )
1511, 14eqtr4d 2487 1  |-  ( ph  ->  ran  M  =  T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   {crab 2797    i^i cin 3460   ~Pcpw 3997   ran crn 4990   ` cfv 5578   LSubSpclss 17557  LFnlclfn 34657  LKerclk 34685  LDualcld 34723   HLchlt 34950   LHypclh 35583   DVecHcdvh 36680   ocHcoch 36949  LCDualclcd 37188  mapdcmpd 37226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-riotaBAD 34559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6957  df-undef 7004  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-0g 14821  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-preset 15536  df-poset 15554  df-plt 15567  df-lub 15583  df-glb 15584  df-join 15585  df-meet 15586  df-p0 15648  df-p1 15649  df-lat 15655  df-clat 15717  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-sbg 16038  df-subg 16177  df-cntz 16334  df-oppg 16360  df-lsm 16635  df-cmn 16779  df-abl 16780  df-mgp 17121  df-ur 17133  df-ring 17179  df-oppr 17251  df-dvdsr 17269  df-unit 17270  df-invr 17300  df-dvr 17311  df-drng 17377  df-lmod 17493  df-lss 17558  df-lsp 17597  df-lvec 17728  df-lsatoms 34576  df-lshyp 34577  df-lcv 34619  df-lfl 34658  df-lkr 34686  df-ldual 34724  df-oposet 34776  df-ol 34778  df-oml 34779  df-covers 34866  df-ats 34867  df-atl 34898  df-cvlat 34922  df-hlat 34951  df-llines 35097  df-lplanes 35098  df-lvols 35099  df-lines 35100  df-psubsp 35102  df-pmap 35103  df-padd 35395  df-lhyp 35587  df-laut 35588  df-ldil 35703  df-ltrn 35704  df-trl 35759  df-tgrp 36344  df-tendo 36356  df-edring 36358  df-dveca 36604  df-disoa 36631  df-dvech 36681  df-dib 36741  df-dic 36775  df-dih 36831  df-doch 36950  df-djh 36997  df-lcdual 37189  df-mapd 37227
This theorem is referenced by:  mapdcl2  37258  mapdcv  37262  mapdincl  37263  mapdin  37264  mapdlsmcl  37265  mapdcnvatN  37268  hdmaprnlem3N  37455  hdmaprnlem3uN  37456  hdmaprnlem9N  37462  hdmaprnlem3eN  37463  hdmaprnlem16N  37467
  Copyright terms: Public domain W3C validator