Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdrn Structured version   Unicode version

Theorem mapdrn 35129
Description: Range of the map defined by df-mapd 35105. (Contributed by NM, 12-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdrn.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdrn.o  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
mapdrn.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdrn.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdrn.f  |-  F  =  (LFnl `  U )
mapdrn.l  |-  L  =  (LKer `  U )
mapdrn.d  |-  D  =  (LDual `  U )
mapdrn.t  |-  T  =  ( LSubSp `  D )
mapdrn.c  |-  C  =  { g  e.  F  |  ( O `  ( O `  ( L `
 g ) ) )  =  ( L `
 g ) }
mapdrn.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
Assertion
Ref Expression
mapdrn  |-  ( ph  ->  ran  M  =  ( T  i^i  ~P C
) )
Distinct variable groups:    g, F    g, K    g, L    g, O    U, g    g, W
Allowed substitution hints:    ph( g)    C( g)    D( g)    T( g)    H( g)    M( g)

Proof of Theorem mapdrn
StepHypRef Expression
1 mapdrn.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdrn.o . . 3  |-  O  =  ( ( ocH `  K
) `  W )
3 mapdrn.m . . 3  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
4 mapdrn.u . . 3  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
5 eqid 2423 . . 3  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
6 mapdrn.f . . 3  |-  F  =  (LFnl `  U )
7 mapdrn.l . . 3  |-  L  =  (LKer `  U )
8 mapdrn.d . . 3  |-  D  =  (LDual `  U )
9 mapdrn.t . . 3  |-  T  =  ( LSubSp `  D )
10 mapdrn.c . . 3  |-  C  =  { g  e.  F  |  ( O `  ( O `  ( L `
 g ) ) )  =  ( L `
 g ) }
11 mapdrn.k . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11mapd1o 35128 . 2  |-  ( ph  ->  M : ( LSubSp `  U ) -1-1-onto-> ( T  i^i  ~P C ) )
13 f1ofo 5776 . 2  |-  ( M : ( LSubSp `  U
)
-1-1-onto-> ( T  i^i  ~P C
)  ->  M :
( LSubSp `  U ) -onto->
( T  i^i  ~P C ) )
14 forn 5751 . 2  |-  ( M : ( LSubSp `  U
) -onto-> ( T  i^i  ~P C )  ->  ran  M  =  ( T  i^i  ~P C ) )
1512, 13, 143syl 18 1  |-  ( ph  ->  ran  M  =  ( T  i^i  ~P C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   {crab 2713    i^i cin 3373   ~Pcpw 3919   ran crn 4792   -onto->wfo 5537   -1-1-onto->wf1o 5538   ` cfv 5539   LSubSpclss 18093  LFnlclfn 32535  LKerclk 32563  LDualcld 32601   HLchlt 32828   LHypclh 33461   DVecHcdvh 34558   ocHcoch 34827  mapdcmpd 35104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-rep 4474  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-cnex 9541  ax-resscn 9542  ax-1cn 9543  ax-icn 9544  ax-addcl 9545  ax-addrcl 9546  ax-mulcl 9547  ax-mulrcl 9548  ax-mulcom 9549  ax-addass 9550  ax-mulass 9551  ax-distr 9552  ax-i2m1 9553  ax-1ne0 9554  ax-1rid 9555  ax-rnegex 9556  ax-rrecex 9557  ax-cnre 9558  ax-pre-lttri 9559  ax-pre-lttrn 9560  ax-pre-ltadd 9561  ax-pre-mulgt0 9562  ax-riotaBAD 32437
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-nel 2597  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-int 4194  df-iun 4239  df-iin 4240  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-riota 6206  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-of 6484  df-om 6646  df-1st 6746  df-2nd 6747  df-tpos 6923  df-undef 6970  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522  df-fin 7523  df-pnf 9623  df-mnf 9624  df-xr 9625  df-ltxr 9626  df-le 9627  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10556  df-2 10614  df-3 10615  df-4 10616  df-5 10617  df-6 10618  df-n0 10816  df-z 10884  df-uz 11106  df-fz 11731  df-struct 15061  df-ndx 15062  df-slot 15063  df-base 15064  df-sets 15065  df-ress 15066  df-plusg 15141  df-mulr 15142  df-sca 15144  df-vsca 15145  df-0g 15278  df-mre 15430  df-mrc 15431  df-acs 15433  df-preset 16111  df-poset 16129  df-plt 16142  df-lub 16158  df-glb 16159  df-join 16160  df-meet 16161  df-p0 16223  df-p1 16224  df-lat 16230  df-clat 16292  df-mgm 16426  df-sgrp 16465  df-mnd 16475  df-submnd 16521  df-grp 16611  df-minusg 16612  df-sbg 16613  df-subg 16752  df-cntz 16909  df-oppg 16935  df-lsm 17226  df-cmn 17370  df-abl 17371  df-mgp 17662  df-ur 17674  df-ring 17720  df-oppr 17789  df-dvdsr 17807  df-unit 17808  df-invr 17838  df-dvr 17849  df-drng 17915  df-lmod 18031  df-lss 18094  df-lsp 18133  df-lvec 18264  df-lsatoms 32454  df-lshyp 32455  df-lcv 32497  df-lfl 32536  df-lkr 32564  df-ldual 32602  df-oposet 32654  df-ol 32656  df-oml 32657  df-covers 32744  df-ats 32745  df-atl 32776  df-cvlat 32800  df-hlat 32829  df-llines 32975  df-lplanes 32976  df-lvols 32977  df-lines 32978  df-psubsp 32980  df-pmap 32981  df-padd 33273  df-lhyp 33465  df-laut 33466  df-ldil 33581  df-ltrn 33582  df-trl 33637  df-tgrp 34222  df-tendo 34234  df-edring 34236  df-dveca 34482  df-disoa 34509  df-dvech 34559  df-dib 34619  df-dic 34653  df-dih 34709  df-doch 34828  df-djh 34875  df-mapd 35105
This theorem is referenced by:  mapdunirnN  35130  mapdrn2  35131
  Copyright terms: Public domain W3C validator