Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem9 Structured version   Unicode version

Theorem mapdpglem9 35330
Description: Lemma for mapdpg 35356. Baer p. 45, line 4: "...so that x would consequently belong to Fy." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdpglem.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdpglem.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdpglem.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdpglem.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdpglem.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdpglem.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdpglem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdpglem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
mapdpglem.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
mapdpglem1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
mapdpglem2.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdpglem3.f  |-  F  =  ( Base `  C
)
mapdpglem3.te  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
mapdpglem3.a  |-  A  =  (Scalar `  U )
mapdpglem3.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mapdpglem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  C )
mapdpglem3.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdpglem3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
mapdpglem3.e  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
mapdpglem4.q  |-  Q  =  ( 0g `  U
)
mapdpglem.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdpglem4.jt  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
mapdpglem4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
mapdpglem4.g4  |-  ( ph  ->  g  e.  B )
mapdpglem4.z4  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
mapdpglem4.t4  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
mapdpglem4.xn  |-  ( ph  ->  X  =/=  Q )
mapdpglem4.g0  |-  ( ph  ->  g  =  .0.  )
Assertion
Ref Expression
mapdpglem9  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { Y }
) )
Distinct variable groups:    t,  .-    t, C    t, J    t, M    t, N    t, X    t, Y    B, g    z, g, C    g, F    g, G, z    g, J, z   
g, M, z    g, N, z    R, g, z    .x. , g, z    g, Y, z, t
Allowed substitution hints:    ph( z, t, g)    A( z, t, g)    B( z, t)    .(+) ( z, t, g)    Q( z, t, g)    R( t)    .x. ( t)    U( z, t, g)    F( z, t)    G( t)    H( z, t, g)    K( z, t, g)    .- ( z, g)    V( z, t, g)    W( z, t, g)    X( z, g)    .0. ( z, t, g)

Proof of Theorem mapdpglem9
StepHypRef Expression
1 mapdpglem.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdpglem.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
3 mapdpglem.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41, 2, 3dvhlmod 34760 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
5 mapdpglem.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
6 mapdpglem.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
7 mapdpglem.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  U
)
8 eqid 2443 . . . 4  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
9 mapdpglem.s . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  U )
107, 8, 9lmodvnpcan 17004 . . 3  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( X  .-  Y
) ( +g  `  U
) Y )  =  X )
114, 5, 6, 10syl3anc 1218 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y ) ( +g  `  U ) Y )  =  X )
12 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
13 mapdpglem.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  U )
147, 12, 13lspsncl 17063 . . . 4  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
154, 6, 14syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
16 mapdpglem.m . . . . 5  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
17 mapdpglem.c . . . . 5  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
18 mapdpglem1.p . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
19 mapdpglem2.j . . . . 5  |-  J  =  ( LSpan `  C )
20 mapdpglem3.f . . . . 5  |-  F  =  ( Base `  C
)
21 mapdpglem3.te . . . . 5  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
22 mapdpglem3.a . . . . 5  |-  A  =  (Scalar `  U )
23 mapdpglem3.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  A
)
24 mapdpglem3.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  C )
25 mapdpglem3.r . . . . 5  |-  R  =  ( -g `  C
)
26 mapdpglem3.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
27 mapdpglem3.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
28 mapdpglem4.q . . . . 5  |-  Q  =  ( 0g `  U
)
29 mapdpglem.ne . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
30 mapdpglem4.jt . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
31 mapdpglem4.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
32 mapdpglem4.g4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  g  e.  B )
33 mapdpglem4.z4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
34 mapdpglem4.t4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
35 mapdpglem4.xn . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =/=  Q )
36 mapdpglem4.g0 . . . . 5  |-  ( ph  ->  g  =  .0.  )
371, 16, 2, 7, 9, 13, 17, 3, 5, 6, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36mapdpglem8 35329 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  C_  ( N `  { Y } ) )
387, 9lmodvsubcl 16995 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  e.  V )
394, 5, 6, 38syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  e.  V )
407, 13lspsnid 17079 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  ( X  .-  Y )  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  e.  ( N `  {
( X  .-  Y
) } ) )
414, 39, 40syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  e.  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )
4237, 41sseldd 3362 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  e.  ( N `
 { Y }
) )
437, 13lspsnid 17079 . . . 4  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  Y  e.  ( N `  { Y } ) )
444, 6, 43syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { Y }
) )
458, 12lssvacl 17040 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  LMod  /\  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  U ) )  /\  ( ( X 
.-  Y )  e.  ( N `  { Y } )  /\  Y  e.  ( N `  { Y } ) ) )  ->  ( ( X 
.-  Y ) ( +g  `  U ) Y )  e.  ( N `  { Y } ) )
464, 15, 42, 44, 45syl22anc 1219 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y ) ( +g  `  U ) Y )  e.  ( N `  { Y } ) )
4711, 46eqeltrrd 2518 1  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { Y }
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   {csn 3882   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Basecbs 14179   +g cplusg 14243  Scalarcsca 14246   .scvsca 14247   0gc0g 14383   -gcsg 15418   LSSumclsm 16138   LModclmod 16953   LSubSpclss 17018   LSpanclspn 17057   HLchlt 33000   LHypclh 33633   DVecHcdvh 34728  LCDualclcd 35236  mapdcmpd 35274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-riotaBAD 32609
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-tpos 6750  df-undef 6797  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-0g 14385  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-poset 15121  df-plt 15133  df-lub 15149  df-glb 15150  df-join 15151  df-meet 15152  df-p0 15214  df-p1 15215  df-lat 15221  df-clat 15283  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-subg 15683  df-cntz 15840  df-oppg 15866  df-lsm 16140  df-cmn 16284  df-abl 16285  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-oppr 16720  df-dvdsr 16738  df-unit 16739  df-invr 16769  df-dvr 16780  df-drng 16839  df-lmod 16955  df-lss 17019  df-lsp 17058  df-lvec 17189  df-lsatoms 32626  df-lshyp 32627  df-lcv 32669  df-lfl 32708  df-lkr 32736  df-ldual 32774  df-oposet 32826  df-ol 32828  df-oml 32829  df-covers 32916  df-ats 32917  df-atl 32948  df-cvlat 32972  df-hlat 33001  df-llines 33147  df-lplanes 33148  df-lvols 33149  df-lines 33150  df-psubsp 33152  df-pmap 33153  df-padd 33445  df-lhyp 33637  df-laut 33638  df-ldil 33753  df-ltrn 33754  df-trl 33808  df-tgrp 34392  df-tendo 34404  df-edring 34406  df-dveca 34652  df-disoa 34679  df-dvech 34729  df-dib 34789  df-dic 34823  df-dih 34879  df-doch 34998  df-djh 35045  df-lcdual 35237  df-mapd 35275
This theorem is referenced by:  mapdpglem10  35331
  Copyright terms: Public domain W3C validator