Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem6 Structured version   Unicode version

Theorem mapdpglem6 37802
Description: Lemma for mapdpg 37830. Baer p. 45, line 4: "If g were 0, then t would be in (Fy)*..." (Contributed by NM, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdpglem.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdpglem.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdpglem.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdpglem.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdpglem.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdpglem.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdpglem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdpglem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
mapdpglem.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
mapdpglem1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
mapdpglem2.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdpglem3.f  |-  F  =  ( Base `  C
)
mapdpglem3.te  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
mapdpglem3.a  |-  A  =  (Scalar `  U )
mapdpglem3.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mapdpglem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  C )
mapdpglem3.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdpglem3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
mapdpglem3.e  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
mapdpglem4.q  |-  Q  =  ( 0g `  U
)
mapdpglem.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdpglem4.jt  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
mapdpglem4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
mapdpglem4.g4  |-  ( ph  ->  g  e.  B )
mapdpglem4.z4  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
mapdpglem4.t4  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
mapdpglem4.xn  |-  ( ph  ->  X  =/=  Q )
mapdpglem4.g0  |-  ( ph  ->  g  =  .0.  )
Assertion
Ref Expression
mapdpglem6  |-  ( ph  ->  t  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
Distinct variable groups:    t,  .-    t, C    t, J    t, M    t, N    t, X    t, Y    B, g    z, g, C    g, F    g, G, z    g, J, z   
g, M, z    g, N, z    R, g, z    .x. , g, z    g, Y, z, t
Allowed substitution hints:    ph( z, t, g)    A( z, t, g)    B( z, t)    .(+) ( z, t, g)    Q( z, t, g)    R( t)    .x. ( t)    U( z, t, g)    F( z, t)    G( t)    H( z, t, g)    K( z, t, g)    .- ( z, g)    V( z, t, g)    W( z, t, g)    X( z, g)    .0. ( z, t, g)

Proof of Theorem mapdpglem6
StepHypRef Expression
1 mapdpglem4.t4 . 2  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
2 mapdpglem.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 mapdpglem.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
4 mapdpglem.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
52, 3, 4lcdlmod 37716 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
6 mapdpglem.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
7 mapdpglem.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
8 eqid 2454 . . . 4  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
9 eqid 2454 . . . 4  |-  ( LSubSp `  C )  =  (
LSubSp `  C )
102, 7, 4dvhlmod 37234 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
11 mapdpglem.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
12 mapdpglem.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  U
)
13 mapdpglem.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  U )
1412, 8, 13lspsncl 17818 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
1510, 11, 14syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
162, 6, 7, 8, 3, 9, 4, 15mapdcl2 37780 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  e.  ( LSubSp `  C )
)
17 mapdpglem4.g0 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  g  =  .0.  )
1817oveq1d 6285 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( g  .x.  G
)  =  (  .0. 
.x.  G ) )
19 mapdpglem3.a . . . . . 6  |-  A  =  (Scalar `  U )
20 mapdpglem4.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
21 mapdpglem3.f . . . . . 6  |-  F  =  ( Base `  C
)
22 mapdpglem3.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  C )
23 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  C )  =  ( 0g `  C
)
24 mapdpglem3.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
252, 7, 19, 20, 3, 21, 22, 23, 4, 24lcd0vs 37739 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  .0.  .x.  G
)  =  ( 0g
`  C ) )
2618, 25eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( g  .x.  G
)  =  ( 0g
`  C ) )
2723, 9lss0cl 17788 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  ( M `  ( N `  { Y } ) )  e.  ( LSubSp `  C ) )  -> 
( 0g `  C
)  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
285, 16, 27syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0g `  C
)  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
2926, 28eqeltrd 2542 . . 3  |-  ( ph  ->  ( g  .x.  G
)  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
30 mapdpglem4.z4 . . 3  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
31 mapdpglem3.r . . . 4  |-  R  =  ( -g `  C
)
3231, 9lssvsubcl 17785 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  LMod  /\  ( M `  ( N `  { Y } ) )  e.  ( LSubSp `  C )
)  /\  ( (
g  .x.  G )  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) )  /\  z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) ) )  ->  ( (
g  .x.  G ) R z )  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) )
335, 16, 29, 30, 32syl22anc 1227 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( g  .x.  G ) R z )  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
341, 33eqeltrd 2542 1  |-  ( ph  ->  t  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   {csn 4016   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14716  Scalarcsca 14787   .scvsca 14788   0gc0g 14929   -gcsg 16254   LSSumclsm 16853   LModclmod 17707   LSubSpclss 17773   LSpanclspn 17812   HLchlt 35472   LHypclh 36105   DVecHcdvh 37202  LCDualclcd 37710  mapdcmpd 37748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-riotaBAD 35081
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-undef 6994  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-0g 14931  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-preset 15756  df-poset 15774  df-plt 15787  df-lub 15803  df-glb 15804  df-join 15805  df-meet 15806  df-p0 15868  df-p1 15869  df-lat 15875  df-clat 15937  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-subg 16397  df-cntz 16554  df-oppg 16580  df-lsm 16855  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-oppr 17467  df-dvdsr 17485  df-unit 17486  df-invr 17516  df-dvr 17527  df-drng 17593  df-lmod 17709  df-lss 17774  df-lsp 17813  df-lvec 17944  df-lsatoms 35098  df-lshyp 35099  df-lcv 35141  df-lfl 35180  df-lkr 35208  df-ldual 35246  df-oposet 35298  df-ol 35300  df-oml 35301  df-covers 35388  df-ats 35389  df-atl 35420  df-cvlat 35444  df-hlat 35473  df-llines 35619  df-lplanes 35620  df-lvols 35621  df-lines 35622  df-psubsp 35624  df-pmap 35625  df-padd 35917  df-lhyp 36109  df-laut 36110  df-ldil 36225  df-ltrn 36226  df-trl 36281  df-tgrp 36866  df-tendo 36878  df-edring 36880  df-dveca 37126  df-disoa 37153  df-dvech 37203  df-dib 37263  df-dic 37297  df-dih 37353  df-doch 37472  df-djh 37519  df-lcdual 37711  df-mapd 37749
This theorem is referenced by:  mapdpglem8  37803
  Copyright terms: Public domain W3C validator