Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem6 Structured version   Unicode version

Theorem mapdpglem6 35419
Description: Lemma for mapdpg 35447. Baer p. 45, line 4: "If g were 0, then t would be in (Fy)*..." (Contributed by NM, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdpglem.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdpglem.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdpglem.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdpglem.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdpglem.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdpglem.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdpglem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdpglem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
mapdpglem.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
mapdpglem1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
mapdpglem2.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdpglem3.f  |-  F  =  ( Base `  C
)
mapdpglem3.te  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
mapdpglem3.a  |-  A  =  (Scalar `  U )
mapdpglem3.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mapdpglem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  C )
mapdpglem3.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdpglem3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
mapdpglem3.e  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
mapdpglem4.q  |-  Q  =  ( 0g `  U
)
mapdpglem.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdpglem4.jt  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) )  =  ( J `  { t } ) )
mapdpglem4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
mapdpglem4.g4  |-  ( ph  ->  g  e.  B )
mapdpglem4.z4  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
mapdpglem4.t4  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
mapdpglem4.xn  |-  ( ph  ->  X  =/=  Q )
mapdpglem4.g0  |-  ( ph  ->  g  =  .0.  )
Assertion
Ref Expression
mapdpglem6  |-  ( ph  ->  t  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
Distinct variable groups:    t,  .-    t, C    t, J    t, M    t, N    t, X    t, Y    B, g    z, g, C    g, F    g, G, z    g, J, z   
g, M, z    g, N, z    R, g, z    .x. , g, z    g, Y, z, t
Allowed substitution hints:    ph( z, t, g)    A( z, t, g)    B( z, t)    .(+) ( z, t, g)    Q( z, t, g)    R( t)    .x. ( t)    U( z, t, g)    F( z, t)    G( t)    H( z, t, g)    K( z, t, g)    .- ( z, g)    V( z, t, g)    W( z, t, g)    X( z, g)    .0. ( z, t, g)

Proof of Theorem mapdpglem6
StepHypRef Expression
1 mapdpglem4.t4 . 2  |-  ( ph  ->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) )
2 mapdpglem.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 mapdpglem.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
4 mapdpglem.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
52, 3, 4lcdlmod 35333 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
6 mapdpglem.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
7 mapdpglem.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
8 eqid 2443 . . . 4  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
9 eqid 2443 . . . 4  |-  ( LSubSp `  C )  =  (
LSubSp `  C )
102, 7, 4dvhlmod 34851 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
11 mapdpglem.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
12 mapdpglem.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  U
)
13 mapdpglem.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  U )
1412, 8, 13lspsncl 17080 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
1510, 11, 14syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
162, 6, 7, 8, 3, 9, 4, 15mapdcl2 35397 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  e.  ( LSubSp `  C )
)
17 mapdpglem4.g0 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  g  =  .0.  )
1817oveq1d 6127 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( g  .x.  G
)  =  (  .0. 
.x.  G ) )
19 mapdpglem3.a . . . . . 6  |-  A  =  (Scalar `  U )
20 mapdpglem4.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  A )
21 mapdpglem3.f . . . . . 6  |-  F  =  ( Base `  C
)
22 mapdpglem3.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  C )
23 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  C )  =  ( 0g `  C
)
24 mapdpglem3.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
252, 7, 19, 20, 3, 21, 22, 23, 4, 24lcd0vs 35356 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  .0.  .x.  G
)  =  ( 0g
`  C ) )
2618, 25eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( g  .x.  G
)  =  ( 0g
`  C ) )
2723, 9lss0cl 17050 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  ( M `  ( N `  { Y } ) )  e.  ( LSubSp `  C ) )  -> 
( 0g `  C
)  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
285, 16, 27syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0g `  C
)  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
2926, 28eqeltrd 2517 . . 3  |-  ( ph  ->  ( g  .x.  G
)  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
30 mapdpglem4.z4 . . 3  |-  ( ph  ->  z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
31 mapdpglem3.r . . . 4  |-  R  =  ( -g `  C
)
3231, 9lssvsubcl 17047 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  LMod  /\  ( M `  ( N `  { Y } ) )  e.  ( LSubSp `  C )
)  /\  ( (
g  .x.  G )  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) )  /\  z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) ) )  ->  ( (
g  .x.  G ) R z )  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) )
335, 16, 29, 30, 32syl22anc 1219 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( g  .x.  G ) R z )  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
341, 33eqeltrd 2517 1  |-  ( ph  ->  t  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   {csn 3898   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Basecbs 14195  Scalarcsca 14262   .scvsca 14263   0gc0g 14399   -gcsg 15434   LSSumclsm 16154   LModclmod 16970   LSubSpclss 17035   LSpanclspn 17074   HLchlt 33091   LHypclh 33724   DVecHcdvh 34819  LCDualclcd 35327  mapdcmpd 35365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-riotaBAD 32700
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-tpos 6766  df-undef 6813  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-0g 14401  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-poset 15137  df-plt 15149  df-lub 15165  df-glb 15166  df-join 15167  df-meet 15168  df-p0 15230  df-p1 15231  df-lat 15237  df-clat 15299  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-grp 15566  df-minusg 15567  df-sbg 15568  df-subg 15699  df-cntz 15856  df-oppg 15882  df-lsm 16156  df-cmn 16300  df-abl 16301  df-mgp 16614  df-ur 16626  df-rng 16669  df-oppr 16737  df-dvdsr 16755  df-unit 16756  df-invr 16786  df-dvr 16797  df-drng 16856  df-lmod 16972  df-lss 17036  df-lsp 17075  df-lvec 17206  df-lsatoms 32717  df-lshyp 32718  df-lcv 32760  df-lfl 32799  df-lkr 32827  df-ldual 32865  df-oposet 32917  df-ol 32919  df-oml 32920  df-covers 33007  df-ats 33008  df-atl 33039  df-cvlat 33063  df-hlat 33092  df-llines 33238  df-lplanes 33239  df-lvols 33240  df-lines 33241  df-psubsp 33243  df-pmap 33244  df-padd 33536  df-lhyp 33728  df-laut 33729  df-ldil 33844  df-ltrn 33845  df-trl 33899  df-tgrp 34483  df-tendo 34495  df-edring 34497  df-dveca 34743  df-disoa 34770  df-dvech 34820  df-dib 34880  df-dic 34914  df-dih 34970  df-doch 35089  df-djh 35136  df-lcdual 35328  df-mapd 35366
This theorem is referenced by:  mapdpglem8  35420
  Copyright terms: Public domain W3C validator