Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem3 Structured version   Unicode version

Theorem mapdpglem3 35320
Description: Lemma for mapdpg 35351. Baer p. 45, line 3: "infer...the existence of a number g in G and of an element z in (Fy)* such that t = gx'-z." (We scope $d  g w z
ph locally to avoid clashes with later substitutions into  ph.) (Contributed by NM, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdpglem.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdpglem.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdpglem.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdpglem.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdpglem.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdpglem.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdpglem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdpglem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
mapdpglem.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
mapdpglem1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
mapdpglem2.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdpglem3.f  |-  F  =  ( Base `  C
)
mapdpglem3.te  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
mapdpglem3.a  |-  A  =  (Scalar `  U )
mapdpglem3.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mapdpglem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  C )
mapdpglem3.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdpglem3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
mapdpglem3.e  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdpglem3  |-  ( ph  ->  E. g  e.  B  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( ( g  .x.  G
) R z ) )
Distinct variable groups:    t,  .-    t, C    t, J    t, M    t, N    t, X    t, Y    B, g    z, g, C    g, F    g, G, z    g, J, z   
g, M, z    g, N, z    R, g, z    .x. , g, z    g, Y, z, t    ph, g,
z
Allowed substitution hints:    ph( t)    A( z, t, g)    B( z, t)    .(+) ( z, t, g)    R( t)    .x. ( t)    U( z, t, g)    F( z, t)    G( t)    H( z, t, g)    K( z, t, g)    .- ( z, g)    V( z, t, g)    W( z, t, g)    X( z, g)

Proof of Theorem mapdpglem3
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdpglem3.te . . . 4  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
2 mapdpglem3.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
32oveq1d 6106 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( N `  { X } ) )  .(+)  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) )  =  ( ( J `  { G } )  .(+)  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) ) )
41, 3eleqtrd 2519 . . 3  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( J `  { G } )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
5 mapdpglem.h . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 mapdpglem.c . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
7 mapdpglem.k . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
85, 6, 7lcdlmod 35237 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
9 mapdpglem3.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
10 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  (Scalar `  C )  =  (Scalar `  C )
11 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  (Scalar `  C )
)  =  ( Base `  (Scalar `  C )
)
12 mapdpglem3.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( Base `  C
)
13 mapdpglem3.t . . . . . . . . . . 11  |-  .x.  =  ( .s `  C )
14 mapdpglem2.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( LSpan `  C )
1510, 11, 12, 13, 14lspsnel 17084 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
w  e.  ( J `
 { G }
)  <->  E. g  e.  (
Base `  (Scalar `  C
) ) w  =  ( g  .x.  G
) ) )
168, 9, 15syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( J `  { G } )  <->  E. g  e.  ( Base `  (Scalar `  C ) ) w  =  ( g  .x.  G ) ) )
17 mapdpglem.u . . . . . . . . . . 11  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
18 mapdpglem3.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  (Scalar `  U )
19 mapdpglem3.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  A
)
205, 17, 18, 19, 6, 10, 11, 7lcdsbase 35245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Base `  (Scalar `  C ) )  =  B )
2120rexeqdv 2924 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. g  e.  ( Base `  (Scalar `  C ) ) w  =  ( g  .x.  G )  <->  E. g  e.  B  w  =  ( g  .x.  G
) ) )
2216, 21bitrd 253 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( J `  { G } )  <->  E. g  e.  B  w  =  ( g  .x.  G
) ) )
2322anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( w  e.  ( J `  { G } )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <->  ( E. g  e.  B  w  =  ( g  .x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) ) )
24 r19.41v 2873 . . . . . . 7  |-  ( E. g  e.  B  ( w  =  ( g 
.x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <-> 
( E. g  e.  B  w  =  ( g  .x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) )
2523, 24syl6rbbr 264 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. g  e.  B  ( w  =  ( g  .x.  G
)  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <->  ( w  e.  ( J `  { G } )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) ) )
2625exbidv 1680 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. w E. g  e.  B  (
w  =  ( g 
.x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <->  E. w ( w  e.  ( J `  { G } )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) ) )
27 df-rex 2721 . . . . 5  |-  ( E. w  e.  ( J `
 { G }
) E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z )  <->  E. w
( w  e.  ( J `  { G } )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) )
2826, 27syl6bbr 263 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. w E. g  e.  B  (
w  =  ( g 
.x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <->  E. w  e.  ( J `  { G } ) E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) )
29 mapdpglem3.r . . . . 5  |-  R  =  ( -g `  C
)
30 mapdpglem1.p . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
31 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( LSubSp `  C )  =  (
LSubSp `  C )
3231lsssssubg 17039 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  C )  C_  (SubGrp `  C ) )
338, 32syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( LSubSp `  C )  C_  (SubGrp `  C )
)
3412, 31, 14lspsncl 17058 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( J `  { G } )  e.  (
LSubSp `  C ) )
358, 9, 34syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J `  { G } )  e.  (
LSubSp `  C ) )
3633, 35sseldd 3357 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J `  { G } )  e.  (SubGrp `  C ) )
37 mapdpglem.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
38 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
395, 17, 7dvhlmod 34755 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
40 mapdpglem.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
41 mapdpglem.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  U
)
42 mapdpglem.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( LSpan `  U )
4341, 38, 42lspsncl 17058 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
4439, 40, 43syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
455, 37, 17, 38, 6, 31, 7, 44mapdcl2 35301 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  e.  ( LSubSp `  C )
)
4633, 45sseldd 3357 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  e.  (SubGrp `  C )
)
4729, 30, 36, 46lsmelvalm 16150 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( ( J `  { G } )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )  <->  E. w  e.  ( J `  { G } ) E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) )
4828, 47bitr4d 256 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. w E. g  e.  B  (
w  =  ( g 
.x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <-> 
t  e.  ( ( J `  { G } )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) ) )
494, 48mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  E. w E. g  e.  B  ( w  =  ( g  .x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) )
50 ovex 6116 . . . . 5  |-  ( g 
.x.  G )  e. 
_V
51 oveq1 6098 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( g  .x.  G )  ->  (
w R z )  =  ( ( g 
.x.  G ) R z ) )
5251eqeq2d 2454 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( g  .x.  G )  ->  (
t  =  ( w R z )  <->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) ) )
5352rexbidv 2736 . . . . 5  |-  ( w  =  ( g  .x.  G )  ->  ( E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z )  <->  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( ( g  .x.  G
) R z ) ) )
5450, 53ceqsexv 3009 . . . 4  |-  ( E. w ( w  =  ( g  .x.  G
)  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <->  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( ( g 
.x.  G ) R z ) )
5554rexbii 2740 . . 3  |-  ( E. g  e.  B  E. w ( w  =  ( g  .x.  G
)  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <->  E. g  e.  B  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( ( g 
.x.  G ) R z ) )
56 rexcom4 2992 . . 3  |-  ( E. g  e.  B  E. w ( w  =  ( g  .x.  G
)  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <->  E. w E. g  e.  B  ( w  =  (
g  .x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) t  =  ( w R z ) ) )
5755, 56bitr3i 251 . 2  |-  ( E. g  e.  B  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( ( g 
.x.  G ) R z )  <->  E. w E. g  e.  B  ( w  =  (
g  .x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) t  =  ( w R z ) ) )
5849, 57sylibr 212 1  |-  ( ph  ->  E. g  e.  B  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( ( g  .x.  G
) R z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   E.wrex 2716    C_ wss 3328   {csn 3877   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174  Scalarcsca 14241   .scvsca 14242   -gcsg 15413  SubGrpcsubg 15675   LSSumclsm 16133   LModclmod 16948   LSubSpclss 17013   LSpanclspn 17052   HLchlt 32995   LHypclh 33628   DVecHcdvh 34723  LCDualclcd 35231  mapdcmpd 35269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-riotaBAD 32604
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-tpos 6745  df-undef 6792  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-0g 14380  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-poset 15116  df-plt 15128  df-lub 15144  df-glb 15145  df-join 15146  df-meet 15147  df-p0 15209  df-p1 15210  df-lat 15216  df-clat 15278  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-subg 15678  df-cntz 15835  df-oppg 15861  df-lsm 16135  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-oppr 16715  df-dvdsr 16733  df-unit 16734  df-invr 16764  df-dvr 16775  df-drng 16834  df-lmod 16950  df-lss 17014  df-lsp 17053  df-lvec 17184  df-lsatoms 32621  df-lshyp 32622  df-lcv 32664  df-lfl 32703  df-lkr 32731  df-ldual 32769  df-oposet 32821  df-ol 32823  df-oml 32824  df-covers 32911  df-ats 32912  df-atl 32943  df-cvlat 32967  df-hlat 32996  df-llines 33142  df-lplanes 33143  df-lvols 33144  df-lines 33145  df-psubsp 33147  df-pmap 33148  df-padd 33440  df-lhyp 33632  df-laut 33633  df-ldil 33748  df-ltrn 33749  df-trl 33803  df-tgrp 34387  df-tendo 34399  df-edring 34401  df-dveca 34647  df-disoa 34674  df-dvech 34724  df-dib 34784  df-dic 34818  df-dih 34874  df-doch 34993  df-djh 35040  df-lcdual 35232  df-mapd 35270
This theorem is referenced by:  mapdpglem24  35349
  Copyright terms: Public domain W3C validator