Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem3 Structured version   Unicode version

Theorem mapdpglem3 37503
Description: Lemma for mapdpg 37534. Baer p. 45, line 3: "infer...the existence of a number g in G and of an element z in (Fy)* such that t = gx'-z." (We scope $d  g w z
ph locally to avoid clashes with later substitutions into  ph.) (Contributed by NM, 18-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdpglem.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdpglem.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdpglem.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdpglem.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdpglem.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdpglem.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdpglem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdpglem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
mapdpglem.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
mapdpglem1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
mapdpglem2.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdpglem3.f  |-  F  =  ( Base `  C
)
mapdpglem3.te  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
mapdpglem3.a  |-  A  =  (Scalar `  U )
mapdpglem3.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mapdpglem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  C )
mapdpglem3.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdpglem3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
mapdpglem3.e  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
Assertion
Ref Expression
mapdpglem3  |-  ( ph  ->  E. g  e.  B  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( ( g  .x.  G
) R z ) )
Distinct variable groups:    t,  .-    t, C    t, J    t, M    t, N    t, X    t, Y    B, g    z, g, C    g, F    g, G, z    g, J, z   
g, M, z    g, N, z    R, g, z    .x. , g, z    g, Y, z, t    ph, g,
z
Allowed substitution hints:    ph( t)    A( z, t, g)    B( z, t)    .(+) ( z, t, g)    R( t)    .x. ( t)    U( z, t, g)    F( z, t)    G( t)    H( z, t, g)    K( z, t, g)    .- ( z, g)    V( z, t, g)    W( z, t, g)    X( z, g)

Proof of Theorem mapdpglem3
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdpglem3.te . . . 4  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
2 mapdpglem3.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
32oveq1d 6311 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( N `  { X } ) )  .(+)  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) )  =  ( ( J `  { G } )  .(+)  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) ) )
41, 3eleqtrd 2547 . . 3  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( J `  { G } )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
5 mapdpglem.h . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 mapdpglem.c . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
7 mapdpglem.k . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
85, 6, 7lcdlmod 37420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
9 mapdpglem3.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
10 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  (Scalar `  C )  =  (Scalar `  C )
11 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  (Scalar `  C )
)  =  ( Base `  (Scalar `  C )
)
12 mapdpglem3.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( Base `  C
)
13 mapdpglem3.t . . . . . . . . . . 11  |-  .x.  =  ( .s `  C )
14 mapdpglem2.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( LSpan `  C )
1510, 11, 12, 13, 14lspsnel 17775 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  (
w  e.  ( J `
 { G }
)  <->  E. g  e.  (
Base `  (Scalar `  C
) ) w  =  ( g  .x.  G
) ) )
168, 9, 15syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( J `  { G } )  <->  E. g  e.  ( Base `  (Scalar `  C ) ) w  =  ( g  .x.  G ) ) )
17 mapdpglem.u . . . . . . . . . . 11  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
18 mapdpglem3.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  (Scalar `  U )
19 mapdpglem3.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  A
)
205, 17, 18, 19, 6, 10, 11, 7lcdsbase 37428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Base `  (Scalar `  C ) )  =  B )
2120rexeqdv 3061 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. g  e.  ( Base `  (Scalar `  C ) ) w  =  ( g  .x.  G )  <->  E. g  e.  B  w  =  ( g  .x.  G
) ) )
2216, 21bitrd 253 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( J `  { G } )  <->  E. g  e.  B  w  =  ( g  .x.  G
) ) )
2322anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( w  e.  ( J `  { G } )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <->  ( E. g  e.  B  w  =  ( g  .x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) ) )
24 r19.41v 3009 . . . . . . 7  |-  ( E. g  e.  B  ( w  =  ( g 
.x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <-> 
( E. g  e.  B  w  =  ( g  .x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) )
2523, 24syl6rbbr 264 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. g  e.  B  ( w  =  ( g  .x.  G
)  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <->  ( w  e.  ( J `  { G } )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) ) )
2625exbidv 1715 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. w E. g  e.  B  (
w  =  ( g 
.x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <->  E. w ( w  e.  ( J `  { G } )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) ) )
27 df-rex 2813 . . . . 5  |-  ( E. w  e.  ( J `
 { G }
) E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z )  <->  E. w
( w  e.  ( J `  { G } )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) )
2826, 27syl6bbr 263 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. w E. g  e.  B  (
w  =  ( g 
.x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <->  E. w  e.  ( J `  { G } ) E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) )
29 mapdpglem3.r . . . . 5  |-  R  =  ( -g `  C
)
30 mapdpglem1.p . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
31 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( LSubSp `  C )  =  (
LSubSp `  C )
3231lsssssubg 17730 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  C )  C_  (SubGrp `  C ) )
338, 32syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( LSubSp `  C )  C_  (SubGrp `  C )
)
3412, 31, 14lspsncl 17749 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  G  e.  F )  ->  ( J `  { G } )  e.  (
LSubSp `  C ) )
358, 9, 34syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J `  { G } )  e.  (
LSubSp `  C ) )
3633, 35sseldd 3500 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J `  { G } )  e.  (SubGrp `  C ) )
37 mapdpglem.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
38 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
395, 17, 7dvhlmod 36938 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
40 mapdpglem.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
41 mapdpglem.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  U
)
42 mapdpglem.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( LSpan `  U )
4341, 38, 42lspsncl 17749 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
4439, 40, 43syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
455, 37, 17, 38, 6, 31, 7, 44mapdcl2 37484 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  e.  ( LSubSp `  C )
)
4633, 45sseldd 3500 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  e.  (SubGrp `  C )
)
4729, 30, 36, 46lsmelvalm 16797 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( ( J `  { G } )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) )  <->  E. w  e.  ( J `  { G } ) E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) )
4828, 47bitr4d 256 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. w E. g  e.  B  (
w  =  ( g 
.x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <-> 
t  e.  ( ( J `  { G } )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) ) )
494, 48mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  E. w E. g  e.  B  ( w  =  ( g  .x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) ) )
50 ovex 6324 . . . . 5  |-  ( g 
.x.  G )  e. 
_V
51 oveq1 6303 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( g  .x.  G )  ->  (
w R z )  =  ( ( g 
.x.  G ) R z ) )
5251eqeq2d 2471 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( g  .x.  G )  ->  (
t  =  ( w R z )  <->  t  =  ( ( g  .x.  G ) R z ) ) )
5352rexbidv 2968 . . . . 5  |-  ( w  =  ( g  .x.  G )  ->  ( E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z )  <->  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( ( g  .x.  G
) R z ) ) )
5450, 53ceqsexv 3146 . . . 4  |-  ( E. w ( w  =  ( g  .x.  G
)  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <->  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( ( g 
.x.  G ) R z ) )
5554rexbii 2959 . . 3  |-  ( E. g  e.  B  E. w ( w  =  ( g  .x.  G
)  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <->  E. g  e.  B  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( ( g 
.x.  G ) R z ) )
56 rexcom4 3129 . . 3  |-  ( E. g  e.  B  E. w ( w  =  ( g  .x.  G
)  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( w R z ) )  <->  E. w E. g  e.  B  ( w  =  (
g  .x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) t  =  ( w R z ) ) )
5755, 56bitr3i 251 . 2  |-  ( E. g  e.  B  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( ( g 
.x.  G ) R z )  <->  E. w E. g  e.  B  ( w  =  (
g  .x.  G )  /\  E. z  e.  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) t  =  ( w R z ) ) )
5849, 57sylibr 212 1  |-  ( ph  ->  E. g  e.  B  E. z  e.  ( M `  ( N `  { Y } ) ) t  =  ( ( g  .x.  G
) R z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819   E.wrex 2808    C_ wss 3471   {csn 4032   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14643  Scalarcsca 14714   .scvsca 14715   -gcsg 16181  SubGrpcsubg 16321   LSSumclsm 16780   LModclmod 17638   LSubSpclss 17704   LSpanclspn 17743   HLchlt 35176   LHypclh 35809   DVecHcdvh 36906  LCDualclcd 37414  mapdcmpd 37452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-riotaBAD 34785
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-undef 7020  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-0g 14858  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-preset 15683  df-poset 15701  df-plt 15714  df-lub 15730  df-glb 15731  df-join 15732  df-meet 15733  df-p0 15795  df-p1 15796  df-lat 15802  df-clat 15864  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-subg 16324  df-cntz 16481  df-oppg 16507  df-lsm 16782  df-cmn 16926  df-abl 16927  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-oppr 17398  df-dvdsr 17416  df-unit 17417  df-invr 17447  df-dvr 17458  df-drng 17524  df-lmod 17640  df-lss 17705  df-lsp 17744  df-lvec 17875  df-lsatoms 34802  df-lshyp 34803  df-lcv 34845  df-lfl 34884  df-lkr 34912  df-ldual 34950  df-oposet 35002  df-ol 35004  df-oml 35005  df-covers 35092  df-ats 35093  df-atl 35124  df-cvlat 35148  df-hlat 35177  df-llines 35323  df-lplanes 35324  df-lvols 35325  df-lines 35326  df-psubsp 35328  df-pmap 35329  df-padd 35621  df-lhyp 35813  df-laut 35814  df-ldil 35929  df-ltrn 35930  df-trl 35985  df-tgrp 36570  df-tendo 36582  df-edring 36584  df-dveca 36830  df-disoa 36857  df-dvech 36907  df-dib 36967  df-dic 37001  df-dih 37057  df-doch 37176  df-djh 37223  df-lcdual 37415  df-mapd 37453
This theorem is referenced by:  mapdpglem24  37532
  Copyright terms: Public domain W3C validator