Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem2a Structured version   Unicode version

Theorem mapdpglem2a 34951
Description: Lemma for mapdpg 34983. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdpglem.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdpglem.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdpglem.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdpglem.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdpglem.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdpglem.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdpglem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdpglem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
mapdpglem.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
mapdpglem1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
mapdpglem2.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdpglem3.f  |-  F  =  ( Base `  C
)
mapdpglem3.te  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
mapdpglem2a  |-  ( ph  ->  t  e.  F )
Distinct variable groups:    t,  .-    t, C    t, J    t, M    t, N    t, X    t, Y
Allowed substitution hints:    ph( t)    .(+) ( t)    U( t)    F( t)    H( t)    K( t)    V( t)    W( t)

Proof of Theorem mapdpglem2a
StepHypRef Expression
1 mapdpglem.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdpglem.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
3 mapdpglem.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41, 2, 3lcdlmod 34869 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
5 mapdpglem.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
6 mapdpglem.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 eqid 2429 . . . 4  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
8 eqid 2429 . . . 4  |-  ( LSubSp `  C )  =  (
LSubSp `  C )
91, 6, 3dvhlmod 34387 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
10 mapdpglem.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
11 mapdpglem.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  U
)
12 mapdpglem.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  U )
1311, 7, 12lspsncl 18135 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
149, 10, 13syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
151, 5, 6, 7, 2, 8, 3, 14mapdcl2 34933 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  e.  ( LSubSp `  C )
)
16 mapdpglem.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
1711, 7, 12lspsncl 18135 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
189, 16, 17syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
191, 5, 6, 7, 2, 8, 3, 18mapdcl2 34933 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  e.  ( LSubSp `  C )
)
20 mapdpglem1.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
218, 20lsmcl 18241 . . 3  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  ( M `  ( N `  { X } ) )  e.  ( LSubSp `  C )  /\  ( M `  ( N `  { Y } ) )  e.  ( LSubSp `  C ) )  -> 
( ( M `  ( N `  { X } ) )  .(+)  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) )  e.  ( LSubSp `  C )
)
224, 15, 19, 21syl3anc 1264 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( N `  { X } ) )  .(+)  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) )  e.  ( LSubSp `  C )
)
23 mapdpglem3.te . 2  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
24 mapdpglem3.f . . 3  |-  F  =  ( Base `  C
)
2524, 8lssel 18096 . 2  |-  ( ( ( ( M `  ( N `  { X } ) )  .(+)  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) )  e.  ( LSubSp `  C )  /\  t  e.  (
( M `  ( N `  { X } ) )  .(+)  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) ) )  ->  t  e.  F
)
2622, 23, 25syl2anc 665 1  |-  ( ph  ->  t  e.  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   {csn 4002   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084   -gcsg 16622   LSSumclsm 17221   LModclmod 18026   LSubSpclss 18090   LSpanclspn 18129   HLchlt 32625   LHypclh 33258   DVecHcdvh 34355  LCDualclcd 34863  mapdcmpd 34901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-riotaBAD 32234
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6981  df-undef 7028  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-0g 15299  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-preset 16124  df-poset 16142  df-plt 16155  df-lub 16171  df-glb 16172  df-join 16173  df-meet 16174  df-p0 16236  df-p1 16237  df-lat 16243  df-clat 16305  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-subg 16765  df-cntz 16922  df-oppg 16948  df-lsm 17223  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-oppr 17786  df-dvdsr 17804  df-unit 17805  df-invr 17835  df-dvr 17846  df-drng 17912  df-lmod 18028  df-lss 18091  df-lsp 18130  df-lvec 18261  df-lsatoms 32251  df-lshyp 32252  df-lcv 32294  df-lfl 32333  df-lkr 32361  df-ldual 32399  df-oposet 32451  df-ol 32453  df-oml 32454  df-covers 32541  df-ats 32542  df-atl 32573  df-cvlat 32597  df-hlat 32626  df-llines 32772  df-lplanes 32773  df-lvols 32774  df-lines 32775  df-psubsp 32777  df-pmap 32778  df-padd 33070  df-lhyp 33262  df-laut 33263  df-ldil 33378  df-ltrn 33379  df-trl 33434  df-tgrp 34019  df-tendo 34031  df-edring 34033  df-dveca 34279  df-disoa 34306  df-dvech 34356  df-dib 34416  df-dic 34450  df-dih 34506  df-doch 34625  df-djh 34672  df-lcdual 34864  df-mapd 34902
This theorem is referenced by:  mapdpglem5N  34954  mapdpglem22  34970
  Copyright terms: Public domain W3C validator