Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem2a Structured version   Unicode version

Theorem mapdpglem2a 36489
Description: Lemma for mapdpg 36521. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdpglem.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdpglem.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdpglem.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdpglem.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdpglem.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdpglem.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdpglem.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdpglem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
mapdpglem.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
mapdpglem1.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
mapdpglem2.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdpglem3.f  |-  F  =  ( Base `  C
)
mapdpglem3.te  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
mapdpglem2a  |-  ( ph  ->  t  e.  F )
Distinct variable groups:    t,  .-    t, C    t, J    t, M    t, N    t, X    t, Y
Allowed substitution hints:    ph( t)    .(+) ( t)    U( t)    F( t)    H( t)    K( t)    V( t)    W( t)

Proof of Theorem mapdpglem2a
StepHypRef Expression
1 mapdpglem.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdpglem.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
3 mapdpglem.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
41, 2, 3lcdlmod 36407 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  LMod )
5 mapdpglem.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
6 mapdpglem.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
7 eqid 2467 . . . 4  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
8 eqid 2467 . . . 4  |-  ( LSubSp `  C )  =  (
LSubSp `  C )
91, 6, 3dvhlmod 35925 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
10 mapdpglem.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
11 mapdpglem.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  U
)
12 mapdpglem.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  U )
1311, 7, 12lspsncl 17423 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
149, 10, 13syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
151, 5, 6, 7, 2, 8, 3, 14mapdcl2 36471 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  e.  ( LSubSp `  C )
)
16 mapdpglem.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
1711, 7, 12lspsncl 17423 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
189, 16, 17syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  U ) )
191, 5, 6, 7, 2, 8, 3, 18mapdcl2 36471 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { Y } ) )  e.  ( LSubSp `  C )
)
20 mapdpglem1.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  C )
218, 20lsmcl 17529 . . 3  |-  ( ( C  e.  LMod  /\  ( M `  ( N `  { X } ) )  e.  ( LSubSp `  C )  /\  ( M `  ( N `  { Y } ) )  e.  ( LSubSp `  C ) )  -> 
( ( M `  ( N `  { X } ) )  .(+)  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) )  e.  ( LSubSp `  C )
)
224, 15, 19, 21syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( M `  ( N `  { X } ) )  .(+)  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) )  e.  ( LSubSp `  C )
)
23 mapdpglem3.te . 2  |-  ( ph  ->  t  e.  ( ( M `  ( N `
 { X }
) )  .(+)  ( M `
 ( N `  { Y } ) ) ) )
24 mapdpglem3.f . . 3  |-  F  =  ( Base `  C
)
2524, 8lssel 17384 . 2  |-  ( ( ( ( M `  ( N `  { X } ) )  .(+)  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) )  e.  ( LSubSp `  C )  /\  t  e.  (
( M `  ( N `  { X } ) )  .(+)  ( M `  ( N `
 { Y }
) ) ) )  ->  t  e.  F
)
2622, 23, 25syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  t  e.  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {csn 4027   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Basecbs 14490   -gcsg 15730   LSSumclsm 16460   LModclmod 17312   LSubSpclss 17378   LSpanclspn 17417   HLchlt 34165   LHypclh 34798   DVecHcdvh 35893  LCDualclcd 36401  mapdcmpd 36439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-riotaBAD 33774
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6955  df-undef 7002  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-0g 14697  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-poset 15433  df-plt 15445  df-lub 15461  df-glb 15462  df-join 15463  df-meet 15464  df-p0 15526  df-p1 15527  df-lat 15533  df-clat 15595  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-subg 16003  df-cntz 16160  df-oppg 16186  df-lsm 16462  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-oppr 17073  df-dvdsr 17091  df-unit 17092  df-invr 17122  df-dvr 17133  df-drng 17198  df-lmod 17314  df-lss 17379  df-lsp 17418  df-lvec 17549  df-lsatoms 33791  df-lshyp 33792  df-lcv 33834  df-lfl 33873  df-lkr 33901  df-ldual 33939  df-oposet 33991  df-ol 33993  df-oml 33994  df-covers 34081  df-ats 34082  df-atl 34113  df-cvlat 34137  df-hlat 34166  df-llines 34312  df-lplanes 34313  df-lvols 34314  df-lines 34315  df-psubsp 34317  df-pmap 34318  df-padd 34610  df-lhyp 34802  df-laut 34803  df-ldil 34918  df-ltrn 34919  df-trl 34973  df-tgrp 35557  df-tendo 35569  df-edring 35571  df-dveca 35817  df-disoa 35844  df-dvech 35894  df-dib 35954  df-dic 35988  df-dih 36044  df-doch 36163  df-djh 36210  df-lcdual 36402  df-mapd 36440
This theorem is referenced by:  mapdpglem5N  36492  mapdpglem22  36508
  Copyright terms: Public domain W3C validator