Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem26 Structured version   Unicode version

Theorem mapdpglem26 36370
Description: Lemma for mapdpg 36378. Baer p. 45 line 14: "Consequently there exist numbers u,v in G neither of which is 0 such that y = uy'' and..." (We scope $d  u ph locally to avoid clashes with later substitutions into 
ph.) (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpg.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
mapdpg.m  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
mapdpg.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
mapdpg.v  |-  V  =  ( Base `  U
)
mapdpg.s  |-  .-  =  ( -g `  U )
mapdpg.z  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
mapdpg.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
mapdpg.c  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
mapdpg.f  |-  F  =  ( Base `  C
)
mapdpg.r  |-  R  =  ( -g `  C
)
mapdpg.j  |-  J  =  ( LSpan `  C )
mapdpg.k  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
mapdpg.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdpg.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
mapdpg.g  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
mapdpg.ne  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
mapdpg.e  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
mapdpgem25.h1  |-  ( ph  ->  ( h  e.  F  /\  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
h } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R h ) } ) ) ) )
mapdpgem25.i1  |-  ( ph  ->  ( i  e.  F  /\  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
i } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R i ) } ) ) ) )
mapdpglem26.a  |-  A  =  (Scalar `  U )
mapdpglem26.b  |-  B  =  ( Base `  A
)
mapdpglem26.t  |-  .x.  =  ( .s `  C )
mapdpglem26.o  |-  O  =  ( 0g `  A
)
Assertion
Ref Expression
mapdpglem26  |-  ( ph  ->  E. u  e.  ( B  \  { O } ) h  =  ( u  .x.  i
) )
Distinct variable groups:    h, i, u    u, B    u, C    u, O    u,  .x.    ph, u
Allowed substitution hints:    ph( h, i)    A( u, h, i)    B( h, i)    C( h, i)    R( u, h, i)    .x. ( h, i)    U( u, h, i)    F( u, h, i)    G( u, h, i)    H( u, h, i)    J( u, h, i)    K( u, h, i)    M( u, h, i)    .- ( u, h, i)    N( u, h, i)    O( h, i)    V( u, h, i)    W( u, h, i)    X( u, h, i)    Y( u, h, i)    .0. ( u, h, i)

Proof of Theorem mapdpglem26
StepHypRef Expression
1 mapdpg.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 mapdpg.m . . . 4  |-  M  =  ( (mapd `  K
) `  W )
3 mapdpg.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
4 mapdpg.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  U
)
5 mapdpg.s . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  U )
6 mapdpg.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  U )
7 mapdpg.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  U )
8 mapdpg.c . . . 4  |-  C  =  ( (LCDual `  K
) `  W )
9 mapdpg.f . . . 4  |-  F  =  ( Base `  C
)
10 mapdpg.r . . . 4  |-  R  =  ( -g `  C
)
11 mapdpg.j . . . 4  |-  J  =  ( LSpan `  C )
12 mapdpg.k . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
13 mapdpg.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
14 mapdpg.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
15 mapdpg.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  F )
16 mapdpg.ne . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
17 mapdpg.e . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M `  ( N `  { X } ) )  =  ( J `  { G } ) )
18 mapdpgem25.h1 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( h  e.  F  /\  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
h } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R h ) } ) ) ) )
19 mapdpgem25.i1 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( i  e.  F  /\  ( ( M `  ( N `  { Y } ) )  =  ( J `  {
i } )  /\  ( M `  ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } ) )  =  ( J `  { ( G R i ) } ) ) ) )
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19mapdpglem25 36369 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( J `  { h } )  =  ( J `  { i } )  /\  ( J `  { ( G R h ) } )  =  ( J `  { ( G R i ) } ) ) )
2120simpld 459 . 2  |-  ( ph  ->  ( J `  {
h } )  =  ( J `  {
i } ) )
22 eqid 2460 . . . 4  |-  (Scalar `  C )  =  (Scalar `  C )
23 eqid 2460 . . . 4  |-  ( Base `  (Scalar `  C )
)  =  ( Base `  (Scalar `  C )
)
24 eqid 2460 . . . 4  |-  ( 0g
`  (Scalar `  C )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  C )
)
25 mapdpglem26.t . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  C )
261, 8, 12lcdlvec 36263 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  LVec )
2718simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  h  e.  F )
2819simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  i  e.  F )
299, 22, 23, 24, 25, 11, 26, 27, 28lspsneq 17544 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( J `  { h } )  =  ( J `  { i } )  <->  E. u  e.  (
( Base `  (Scalar `  C
) )  \  {
( 0g `  (Scalar `  C ) ) } ) h  =  ( u  .x.  i ) ) )
30 mapdpglem26.a . . . . . 6  |-  A  =  (Scalar `  U )
31 mapdpglem26.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  A
)
321, 3, 30, 31, 8, 22, 23, 12lcdsbase 36272 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  (Scalar `  C ) )  =  B )
33 mapdpglem26.o . . . . . . 7  |-  O  =  ( 0g `  A
)
341, 3, 30, 33, 8, 22, 24, 12lcd0 36280 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0g `  (Scalar `  C ) )  =  O )
3534sneqd 4032 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { ( 0g `  (Scalar `  C ) ) }  =  { O } )
3632, 35difeq12d 3616 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Base `  (Scalar `  C ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  C ) ) } )  =  ( B  \  { O } ) )
3736rexeqdv 3058 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ( ( Base `  (Scalar `  C ) )  \  { ( 0g `  (Scalar `  C ) ) } ) h  =  ( u  .x.  i
)  <->  E. u  e.  ( B  \  { O } ) h  =  ( u  .x.  i
) ) )
3829, 37bitrd 253 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( J `  { h } )  =  ( J `  { i } )  <->  E. u  e.  ( B  \  { O }
) h  =  ( u  .x.  i ) ) )
3921, 38mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  E. u  e.  ( B  \  { O } ) h  =  ( u  .x.  i
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   E.wrex 2808    \ cdif 3466   {csn 4020   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Basecbs 14479  Scalarcsca 14547   .scvsca 14548   0gc0g 14684   -gcsg 15719   LSpanclspn 17393   HLchlt 34022   LHypclh 34655   DVecHcdvh 35750  LCDualclcd 36258  mapdcmpd 36296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-riotaBAD 33631
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-tpos 6945  df-undef 6992  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-0g 14686  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-poset 15422  df-plt 15434  df-lub 15450  df-glb 15451  df-join 15452  df-meet 15453  df-p0 15515  df-p1 15516  df-lat 15522  df-clat 15584  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-subg 15986  df-cntz 16143  df-oppg 16169  df-lsm 16445  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-unit 17068  df-invr 17098  df-dvr 17109  df-drng 17174  df-lmod 17290  df-lss 17355  df-lsp 17394  df-lvec 17525  df-lsatoms 33648  df-lshyp 33649  df-lcv 33691  df-lfl 33730  df-lkr 33758  df-ldual 33796  df-oposet 33848  df-ol 33850  df-oml 33851  df-covers 33938  df-ats 33939  df-atl 33970  df-cvlat 33994  df-hlat 34023  df-llines 34169  df-lplanes 34170  df-lvols 34171  df-lines 34172  df-psubsp 34174  df-pmap 34175  df-padd 34467  df-lhyp 34659  df-laut 34660  df-ldil 34775  df-ltrn 34776  df-trl 34830  df-tgrp 35414  df-tendo 35426  df-edring 35428  df-dveca 35674  df-disoa 35701  df-dvech 35751  df-dib 35811  df-dic 35845  df-dih 35901  df-doch 36020  df-djh 36067  df-lcdual 36259
This theorem is referenced by:  mapdpglem32  36377
  Copyright terms: Public domain W3C validator